河北省百师联盟2026届高三上学期开学摸底考试数学试卷（含解析）

河北省百师联盟2026届高三上学期开学摸底考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则()A. B. C. D.2．若复数z满足，则z的虚部为()A.1 B.i C. D.3．函数的部分图象大致为(

)A. B.C. D.4．已知，则()A. B. C. D.5．为响应“全民健身+电竞”融合潮流，某电竞馆举办“运动达人电竞赛”，赛前通过简单随机抽样，获得了18名选手1分钟内健身操动作完成数，结合电竞互动得分换算后如下(单位：分)：105，112，118，120，123，125，127，129，130，132，135，137，139，141，143，145，147，150这18名选手1分钟内健身操动作完成得分的第60百分位数为()A.132 B.133.5 C.135 D.1366．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其侧面积为，则圆台的体积为()A. B. C. D.7．已知函数，则，，的大小关系为(参考数据：，)()A. B.C. D.8．已知数列的首项为1，，则数列的前20项和为()A.190 B.380 C.210 D.420二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知曲线C的方程为，则下列说法中正确的有()A.曲线C可以是圆B.当时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆C.当时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线D.当曲线C是椭圆或双曲线时，焦距均为610．设,则下列说法正确的有(

)A.的展开式中所有项的系数的和为1B.C.D.11．关于函数，有下述四个结论，则正确的有()A.是的一个周期B.的最小值为C.在区间上单调递减D.在上有4052个零点三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________.13．已知向量，，若在方向上的投影向量为，则________.14．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值.16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17．（15分）在校园文化建设中，社团活动丰富多彩.学校为了解高一、二学生对手工制作社团的参与热情，将每月参与手工制作社团活动次数超过4次的学生认定为“积极参与”，每月参与手工制作社团活动次数不超过4次甚至从不参与的学生认定为“一般参与”.随机抽取100名学生，得到如下统计数据：学生参与热情合计积极参与一般参与高一学生302050高二学生252550合计5545100（1）依据的独立性检验，能否认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级有关联？（2）该校学生小李周一、周二计划参与社团活动，且周一从手工制作社团、绘画社团中随机选一个.若周一选手工制作社团，周二选手工制作社团的概率为；若周一选绘画社团，周二选手工制作社团的概率为.求小李周二选绘画社团的概率.（3）用频率估计概率，现从该校高一、二学生中随机抽取20名，记其中“积极参与”手工制作社团的学生人数为X，记“”的概率为，求使取得最大值的k的值.参考公式及数据：，其中.0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818．（17分）已知坐标平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程.（2）设直线与曲线C交于A，B两点，，直线与直线的倾斜角互补.①求k的值；②若，求面积的最大值.19．（17分）已知函数，其中.（1）求的单调区间；（2）若函数有两个不相等的零点，.①求实数a的取值范围；②证明：参考答案1．答案：C解析：依题意，，而，所以.故选：C2．答案：C解析：由题意得，，所以复数的虚部为.故选：C.3．答案：B解析：函数的定义域为R，且，则函数是奇函数，图象关于原点对称，选项AD不符合要求；又，选项C不符合要求，B符合.故选：B4．答案：D解析：因为，所以，所以，解得，故选：D5．答案：C解析：由，得第60百分位数应是从小到大排列中的第11个数，即135.故选：C6．答案：A解析：依题意，圆台的上下底面半径为4，6，设圆台母线为l，由圆台的侧面积为，得，解得，圆台的高，所以圆台的体积故选：A7．答案：A解析：函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，，由，所以.故选：A8．答案：C解析：根据，由可得，，，，，，由此可归纳通项公式为，则，故选：C.9．答案：BCD解析：由题意曲线C的方程为，显然，所以曲线C不可能是圆，A选项错误；当时，，所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆，B选项正确；当时，，所以曲线C是焦点在x轴上的双曲线，C选项正确；由于恒成立，所以当曲线C是椭圆或双曲线时，焦点均在x轴，当曲线C是椭圆时，结合选项B可知，，此时，解得，当曲线C是双曲线时，结合选项C可知，，此时，解得，所以当曲线C是椭圆或双曲线时，焦距均为6，D选项正确；故选：BCD10．答案：ABC解析：对于A,取,得的展开式中所有项的系数的和为,A正确；对于B,取,得,B正确；对于C,取,得,而,因此,C正确；对于D,依题意,,当i为偶数时,,当i为奇数时,,因此,D错误.11．答案：BD解析：A选项，，，故不是的一个周期，A错误；B选项，因为，，所以，当时，，故的最小值为，B正确；C选项，当时，，，故，由于在上单调递增，故在区间上单调递增，C错误；D选项，的定义域为R，且，故为偶函数，当时，，由于，所以时，的一个周期为，先考虑，此时，令，可得，故上有2026个零点，同理可得上有2026个零点，综上，在上有4052个零点，D正确.故选：BD12．答案：解析：不等式，即，因此解集为，若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，有（等号不同时成立），解得，经验证，符合题意.故答案为：.13．答案：7解析：设，的夹角为，由题意在方向上的投影向量为，所以，解得，故答案为：714．答案：解析：在底面中，，，由余弦定理，可得，设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为O，半径为，在中，由正弦定理可得，解得，因为平面，平面，且球心O到点P，A的距离相等，所以球心O到底面的距离为，在中，，故该三棱锥外接球的表面积为，故答案为：15．答案：（1）（2）解析：（1）在中，，代入整理得，又因为，，所以，所以，解得，因为，所以，解得.（2）因为D是中点，所以，两边平方得，所以，即，又由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，即面积的最大值为.16．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）设中点为O，连接，，因为四边形为菱形，，所以为正三角形，又为正三角形，则，，因为，所以，所以，即，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，，两两垂直，以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，则，，，，，易知平面的一个法向量，设平面的法向量，则，可得平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17．答案：（1）该校学生积极参与手工制作社团与年级没有关联（2）（3）解析：（1）零假设：该校学生积极参与手工制作社团与年级无关联，根据列联表，由可得：，根据小概率值的独立性检验，我们没有充足的理由推断不成立，所以认为该校学生积极参与手工制作社团与年级没有关联.（2）设事件“周一选手工制作社团”，则“周一选绘画社团”，设事件“周二选手工制作社团”，则“周二选绘画社团”，由题意可知，，，所以，所以，即小李周二选绘画社团的概率为.（3）由频率估计概率，从该校高一、二学生中随机抽取1名学生，该学生“积极参与”手工制作社团的概率，则，所以，所以，若，即，，解得，若，即，，解得，所以当时，最大.18．答案：（1）（2）①；②解析：（1）设圆心为，由题意可得，整理得，所以曲线C的方程为.（2）①设，，因为A，B两点在曲线上，则，，则，同理，联立，消去x得，所以，，因为直线与直线的倾斜角互补，所以，将，代入得，解得.②由①可知联立，消去x得，所以，，又，解得，所以，因为，点P到直线的距离，所以的面积，令，则，由得，所以，则，令解得，当时，，S单调递增，当时，，S单调递减，所以当时，的面积S最大，最大值为.19．答案：（1）答案见解析；（2）①；②证明见解析.解析：（1）函数的定义域为，，求导得，当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得；由，得或，函数在上单调递减，在，上单调递增；当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得；由，得或，函数在上单调递减，在，上单调递增，所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；当时，函数的递减区间为，递增区间为，；当时，函数的递增区间为；当时，函数的递减区间为，递增区间为，.（2）①由（1）知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意；当时