2026年浙江省人教版七年级数学第11章一元二次方程练习题

2026年浙江省人教版七年级数学第11章一元二次方程练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在下列方程中，属于一元二次方程的是（）A.3x+2y=5B.x²-4x=0C.1-÷x=2D.x⁴-3x+1=0解析：一元二次方程的定义是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。选项A是二元一次方程，选项C分母含未知数，属于分式方程，选项D最高次数为4，属于一元四次方程。选项B符合一元二次方程的定义，故正确。2.若关于x的方程（m-1）x²+mx+3=0是一元一次方程，则m的值是（）A.1B.-1C.0D.1或-1解析：一元一次方程的形式为ax+b=0（a≠0）。若原方程是一元一次方程，则二次项系数必须为0，即m-1=0，解得m=1。此时方程变为x+3=0，符合一元一次方程定义。故正确。3.用配方法解方程x²-6x+5=0，下列变形正确的是（）A.x²-6x=-5B.(x-3)²=4C.x²-6x+9=4D.(x+3)²=14解析：配方法的步骤是：在方程x²-6x+5=0的左边添加并减去(-6/2)²=9，得到x²-6x+9=4，即(x-3)²=4。选项B正确。4.方程x²-4x+1=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根解析：根据根的判别式△=b²-4ac，计算△=(-4)²-4×1×1=16-4=12>0，故方程有两个不相等的实数根。选项B正确。5.若x₁、x₂是方程2x²-3x+1=0的两根，则x₁+x₂的值是（）A.3B.-3C.1/2D.3/2解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-b/a。原方程中a=2，b=-3，故x₁+x₂=-(-3)/2=3/2。选项D正确。6.解方程x²-5x=0的正确步骤是（）A.直接开平方，得x=±√5B.分解因式，得x(x-5)=0C.配方，得(x-5/2)²=25/4D.用求根公式，得x=5±√25解析：方程x²-5x=0可以通过分解因式法解为x(x-5)=0，得到x₁=0，x₂=5。选项B正确。7.若方程x²+px+q=0的一个根是2，另一个根是-3，则p、q的值分别是（）A.p=1，q=-6B.p=-1，q=6C.p=-5，q=-6D.p=5，q=6解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。已知x₁=2，x₂=-3，则2+(-3)=-p，解得p=1；2×(-3)=q，解得q=-6。选项A正确。8.下列方程中，通过直接开平方法可以解的是（）A.x²-9=0B.2x²-4=0C.x²+4=0D.x²-2x+1=0解析：直接开平方法适用于形如x²=a（a≥0）的方程。选项A中x²-9=0可变形为x²=9，符合条件；选项B需先变形为x²=2；选项C中x²+4=0无实数解；选项D需用配方法。故选项A正确。9.若方程x²-mx+9=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A.±6B.6C.-6D.3解析：根据根的判别式△=0，得到(-m)²-4×1×9=0，解得m²=36，即m=±6。选项A正确。10.已知方程x²-kx+16=0的两个根的平方和为10，则k的值是（）A.5B.-5C.8D.-8解析：设方程的两根为x₁、x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=k，x₁x₂=16。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=k²-32。由题意k²-32=10，解得k²=42，无整数解，故题目条件矛盾。但若题目允许非整数解，则k=±√42。由于选项无此答案，推测题目有误，若必须选择，可认为题目设计存在缺陷。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²-4x+4=0的根是________。参考答案：x₁=x₂=2解析：方程可变形为(x-2)²=0，故x=2是双重根。2.若方程2x²-kx+3=0的一个根是1，则k的值是________。参考答案：k=5解析：将x=1代入方程，得2×1²-k×1+3=0，解得k=5。3.方程x²-3x-4=0的根的判别式的值是________。参考答案：25解析：△=(-3)²-4×1×(-4)=9+16=25。4.若方程x²+px+q=0的两根之差为3，则p²-4q的值是________。参考答案：9解析：设两根为x₁、x₂，x₁-x₂=3，根据根与系数关系x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。则(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=p²-4q，代入x₁-x₂=3，得9=p²-4q，即p²-4q=9。5.方程(x-1)²=4的解是________。参考答案：x₁=5，x₂=-3解析：开平方得x-1=±2，解得x₁=3，x₂=-1。6.若方程x²-mx+1=0有实数根，则m的取值范围是________。参考答案：m≤2解析：根据根的判别式△≥0，得(-m)²-4×1×1≥0，解得m²≥4，即m≤-2或m≥2。但题目要求"有实数根"，需取交集，故m≤-2或m≥2。若题目允许m=2，则取值范围m≤-2或m≥2。若题目要求"有两个实数根"，则需m≤-2或m≥2。7.方程2x²-7x+3=0的较小根是________。参考答案：1/2解析：分解因式得(2x-1)(x-3)=0，解得x₁=1/2，x₂=3，较小根为1/2。8.若方程x²-kx+1=0的两根的倒数和为5，则k的值是________。参考答案：-4解析：设两根为x₁、x₂，根据根与系数关系x₁+x₂=k，x₁x₂=1。又1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂=k，由题意k=5。但需注意题目要求"倒数和"，即1/x₁+1/x₂=5，故k=5。若题目要求"倒数之和为5"，则k=5。9.方程x²-2x+1=0的解的情况是________。参考答案：有两个相等的实数根解析：根据根的判别式△=(-2)²-4×1×1=0，故有两个相等的实数根。10.若方程x²-mx+9=0的两根的平方和为10，则m的值是________。参考答案：±√34解析：设两根为x₁、x₂，根据根与系数关系x₁+x₂=m，x₁x₂=9。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-18。由题意m²-18=10，解得m²=28，即m=±√28=±2√7。但选项无此答案，推测题目有误，若必须选择，可认为题目设计存在缺陷。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²+1=0没有实数根。参考答案：正确解析：根据根的判别式△=0²-4×1×1=-4<0，故方程没有实数根。2.若x₁、x₂是方程x²-5x+6=0的两根，则x₁+x₂=5。参考答案：正确解析：根据根与系数关系x₁+x₂=-(-5)/1=5。3.方程(x-2)²=9的解是x=±3。参考答案：错误解析：开平方得x-2=±3，解得x₁=5，x₂=-1。4.若方程2x²-kx+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤-2或k≥2。参考答案：正确解析：根据根的判别式△=k²-4×2×1=k²-8≥0，解得k≤-2或k≥2。5.方程x²-4x+4=0的解是x₁=2，x₂=2。参考答案：正确解析：方程可变形为(x-2)²=0，故x=2是双重根。6.若方程x²+px+q=0的两根的平方和为9，则p²-4q=9。参考答案：错误解析：设两根为x₁、x₂，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q。由题意p²-2q=9，即p²-4q=18。7.方程x²-3x+2=0的解是x₁=1，x₂=2。参考答案：正确解析：分解因式得(x-1)(x-2)=0，解得x₁=1，x₂=2。8.若方程x²-mx+1=0的两根的倒数和为5，则m的值是5。参考答案：正确解析：设两根为x₁、x₂，根据根与系数关系x₁+x₂=m，x₁x₂=1。又1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂=m，由题意m=5。9.方程x²-4x+5=0的解的情况是两个不相等的实数根。参考答案：错误解析：根据根的判别式△=(-4)²-4×1×5=16-20=-4<0，故方程没有实数根。10.若方程x²-kx+9=0的两根的平方和为10，则k的值是±√34。参考答案：错误解析：设两根为x₁、x₂，根据根与系数关系x₁+x₂=k，x₁x₂=9。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=k²-18。由题意k²-18=10，解得k²=28，即k=±2√7。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知方程x²-mx+1=0的两根的平方和为10，求m的值。参考答案：m=±2√7解析：设两根为x₁、x₂，根据根与系数关系x₁+x₂=m，x₁x₂=1。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2。由题意m²-2=10，解得m²=12，即m=±2√3。2.若方程x²-px+q=0的两根分别为2和-3，求p、q的值。参考答案：p=1，q=-6解析：根据根与系数关系x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。已知x₁=2，x₂=-3，则2+(-3)=-p，解得p=1；2×(-3)=q，解得q=-6。3.用配方法解方程x²-6x+5=0。参考答案：x₁=5，x₂=1解析：方程变形为x²-6x=-5，添加并减去(-6/2)²=9，得x²-6x+9=4，即(x-3)²=4。开平方得x-3=±2，解得x₁=5，x₂=1。4.若方程x²-kx+9=0有两个相等的实数根，求k的值。参考答案：k=±6解析：根据根的判别式△=0，得(-k)²-4×1×9=0，解得k²=36，即k=±6。5.已知方程x²-mx+1=0的两根的倒数和为5，求m的值。参考答案：m=5解析：设两根为x₁、x₂，根据根与系数关系x₁+x₂=m，x₁x₂=1。又1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂=m，由题意m=5。6.若方程x²-px+q=0的两根的平方和为10，求p²-4q的值。参考答案：p²-4q=18解析：设两根为x₁、x₂，根据根与系数关系x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q。由题意p²-2q=10，即p²-4q=20。7.方程x²-4x+4=0的解是什么？参考答案：x₁=x₂=2解析：方程可变形为(x-2)²=0，故x=2是双重根。8.若方程x²-mx+9=0的两根的平方和为10，求m的值。参考答案：m=±2√7解析：设两根为x₁、x₂，根据根与系数关系x₁+x₂=m，x₁x₂=9。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-18。由题意m²-18=10，解得m²=28，即m=±2√7。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某长方形的周长为20cm，面积是15cm²，求长方形的长和宽。参考答案：长=5cm，宽=3cm解析：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得x+y=10，xy=15。解方程x²-10x+15=0，根据根的判别式△=(-10)²-4×1×15=100-60=40>0，方程有两个不相等的实数根。解得x₁=5，x₂=3，故长方形的长和宽分别为5cm和3cm。2.某工厂生产某种产品，固定成本为2万元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润达到4万元，至少需要生产多少件产品？参考答案：至少生产1000件解析：设生产x件产品，根据题意得利润=80x-(50x+20000)=4万元，即30x=40000，解得x=1000，故至少需要生产1000件产品。3.某班级组织植树活动，如果每人植3棵，则还剩10棵树；如果每人植5棵，则还差5棵树。求该班级有多少名学生？参考答案：该班级有10名学生解析：设该班级有x名学生，根据题意得3x+10=5x-5，解得x=10，故该班级有10名学生。4.某长方形的周长为20cm，面积是15cm²，求长方形的长和宽。参考答案：长=5cm，宽=3cm解析：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得x+y=10，xy=15。解方程x²-10x+15=0，根据根的判别式△=(-10)²-4×1×15=100-60=40>0，方程有两个不相等的实数根。解得x₁=5，x₂=3，故长方形的长和宽分别为5cm和3cm。5.某工厂生产某种产品，固定成本为2万元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润达到4万元，至少需要生产多少件产品？参考答案：至少生产1000件解析：设生产x件产品，根据题意得利润=80x-(50x+20000)=4万元，即30x=40000，解得x=1000，故至少需要生产1000件产品。6.某班级组织植树活动，如果每人植3棵，则还剩10棵树；如果每人植5棵，则还差5棵树。求该班级有多少名学生？参考答案：该班级有10名学生解析：设该班级有x名学生，根据题意得3x+10=5x-5，解得x=10，故该班级有10名学生。7.某长方形的周长为20cm，面积是15cm²，求长方形的长和宽。