线性代数期末试题(同济大学第五版)1

线性代数试题（附答案）

一、填空题（每题2分，共20分）

1234

2

1.行列式:340_

3200-----------------------------------------0

5000

2.若齐次线性方程组有非零解，且，则的值为。

3.若4X4阶矩阵A的行列式同=3,4是A的伴随矩阵则

A*=o

4.A为阶矩阵，且，则

5,和是的两组基，且，若由基到基的基变换公式为

()=()A，则A

6.向量a=(-1,0,3-5),/?=(4,-2,0,1),其内积为

31111-1

7.设A212,8=2-10，则A8之迹"(A8)=

123j[1-11

8.若3x3阶矩阵A的特征值分别为1,-2,3,则A”的特征值分别为.

9.二次型/。”々，与心工:与三“^的正惯性指数为

10.矩阵为正定矩阵，则的取值范围是。

二、单项选择（每小题2分，共12分）

a2b2a2b3

1.矩阵A=，其中q+。力产(),/=1,2,3,4,则"A)=J。

出仇a3b3

a4b3

A.1B.2C.3D.4

2.齐次线性方程分的基础解系中含有解向量的个数是.）

A.1B、2C、3D、4

3.已知向量组

q=（1,1,1,0）必=（。，鼠0』），。3=（2,2,。』）,4=（。，。，2,1）线性相关，则％=

()

A.-1B.-2C.0D.1

4.A、B..)

A.B二EB、A=EC、A=BD、AB=BA

~21r

5.已知4是矩阵A=121的特征向量则k=()

112

A.1或2B.-1或-2C.1或-2D.T或2

00

-21

0-0

6.下列矩阵中与矩阵2合同的是（）

O05

A.B.

C.D

三、计算题（每小题9分，共63分）

1.计算行列式

2.当有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组

的通解。

3.给定向量组。当为何值时，向量组线性相关？当线性组线性

相关时，求出极大线性无关组，并将其们向量用极大线性无关组线性表

zK©

4.设矩阵，。

5.已知阶正交矩阵，且|A|<0。

（1）求行列式|A|的值；（2）求行列式|A+E|的值。

6.已知实对称矩阵

（1）求正交矩阵Q,使Q7AQ为对角矩阵；（2）求A10。

7.将二次型化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。

四、证明题（5分）

A.B均为n阶矩阵，且A.B.A+B均可逆，证明：

（A'+B-1）-1=B（A+B）-,A

试题二

一、填充题（每小题2分，共20分）

000

002

0n-\…00

n0•••0o|

2......（n为正整数）。

3.设A=，贝IJ二。

4.非齐次线性方程组=%有唯一解的充分必要条件是

5.向量。=（3,1），在基％=（1,2）。7=（2,1）,下的坐标为o

6.A.B.C有ABC=E,E为。

7.若阶矩阵A有一特征值为2,则

三、计算题（每小题9分，共63分）

123…〃一1n

1-I0•••00

02-2…00

1.计算行列式

•••・・・••••••・•♦

000­••2-n0

000…n-\\-n

2.当、为何值时有解，在有解的情况下，求其全部解（用

其导出组的基础解系线性表示）。

3,求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无

关组线性表示。

0101-1

4.设4X+B=X，其中A=-111,B=20，求X

-10-15-3

11()'000

5.已知矩阵4=11。与3=03(),相似

00300x

（1）求x;（2）求可逆矩阵P,使尸飞尸=8

6.给定，将其化为正准交基，并求向量。

7.化二次型为标准形，写出相对应的非奇异线性变换。并指出二次型的

秩、正惯性指数与符号差。

四、证明题（7分）

如果A是〃阶矩阵（〃>2）,且“A）=〃-1,试证"A"）=1

一、填空题（每小题2分，共20分）

1.16..2..3.2..4...5...6.-9

7...8.1....9...10....

二、单项选择（每小题2分，共12分）

1.A2.B3.C4.D5.C6.B

三、计算题(每小题9分，共63分)

1.将第2列的倍，第3列的倍统统加到第1列上去，得

2.先对方程组的增广矩阵进行初等行变换

所以，当方程组有解，特解其导出的基础解系为原方程组的全部

解为为任意常数。

3.由向量组《,42M3M为列向量组作矩阵

当时，向量组线性相关。向量组的极大线性无关组是且

4.由AX=2X+B得,(A-2E)X=B

r—Il

10036

所以有X=(4-2E)-1B=0-1-111

12_||_2_3

0

5.由于则因为，，所以

所以，

6.,所以A的4特征值为。对应与特征于

的特征向量，标准正交化；对应于特征值的特征向量，，标准正交化,

由此可得正交矩阵，

-000-

使得QTAQMQrAOu020=A为对角矩阵。

002_

2

7.二次型/=(xpx2,x})=(xl+x2+x3)+三+2七工3

x=%+/+占卜1=y一丹

令刈=%+与所作的可逆线性变换为卜2=%-%

可将原二次型化为标准型f=y\y}-y：

四、证明题(5分)

证明：(A-+B-1)3(A+B「A=+B广A+B(A+A

+BY1A-1\1=A-l(A+B)B^=A-]ABi+A'BBl=+A”

试题二

一、填空题

1•♦♦♦^4•••

5...6.A..7...8.AB=B..9.1或一..10.

二、单项选择题

..3...4...5.A

三、计算题

/?(/7+1)

23n-\n

-1000

1.原式二02-200

0002-n0

000n-11-n

2

1-1112001

3

03-3-1-3

2.A->一01-1

09-9-3。一14~3

0000a-5

06-6-2/7-14

0000b-8

当。=5且。=8时线性方程组有解

全部解为X=r+G/+q4ci7c2为任意常数。

413

2-13811150

3T

1150-31-22

3.A=—>01,1

17-1906-243