人教版数学九年级上册第8讲 与圆有关的位置关系及计算提高练习题（含解析）

第8讲与圆有关的位置关系及计算

「点与圆的位置关系

直线和圆的位置关系

与圆有关的位置关系及计算

切线的判定与性质

弧长和扇形面积

知识点1点和圆的位置关系

点与圆的位置关系共有三种：圆内，圆上，圆外。

设点到圆心的距离为d,半径为r,

当dVr时，点在圆内；

当d=i'时，点在圆上；

当d>i■时，点在圆外。

【典例】

1.在平面直角坐标系xOy中，若点P(3,4)在。O内，则。O的半径r的取值范围是

【答案】r>5

【解析】解：•・•点P的坐标为(3,4),

•**OP=d3。42=5»

•・•点P(3,4)在OO内，

AOP<r,即r>5.

2.如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC为直径的半

圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最

长不超过

【答案】4m

【解析】解：连接0A,交。0于E点,

在RtaOAB中，0B=6m»BA=8m,

所以OA=

又因为0E=0B=6m,

所以AE=OA-OE=4m.

因此拴羊的绳长最长不超过4m.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点，且AEJ_BE,见线段

【答案】2710-2

•••AEJLBE,・,•点E在以AB为直径的半。O上,

连接CO交。O于点日，

・•・当点E位于点E位置时，线段CE取得最小值,

VAB=4,・・.OA=OB=OE，=2,

BC=6»OC=JBC2+0B2=462+22=2

则CE'=OC-OEZ=2V10・2

【方法总结】

在判定点与圆的位置关系时，先要确定两在要素:

1、点与圆心的距离

2、圆的半径

然后，通过两者的大小关系来判定点与圆的位置关系。

【随堂练习】

1.（2019•薛城区模拟）如图，若AA8C内接于半径为2的OO,且ZA=60。，连接。8、OC,

则边4C的长为（）

A.>/2B.GC.2D.26

【解答】解：过点O作OD_L3c于点O,如图所示：

则BD=CD,

•.•AAAC内接于半径为2的OO,且NA=60°,

/.ZBOC=2ZA=\200°,CO=BO=2,

:.NOBC=NOCB=3U0,

：.OD=-OB=\,BD=®)D=6,

2

二.BC=2BD=2y/3.

故选：O.

2.（2019春•富阳区期末）用反证法证明：“一个三角形中，至少有一个内角大于或等于

60。”.应假设（）

A.一个三角形中没有一个角大于或等于60。

B.一个三角形中至少有一个角小于60。

C.一个三角形中三个角都大于等于60。

D.一个三角形中有一个角大于等于60。

【解答】解：要证明原命施成立，则反证法假设的命题肯定不成从这一点出发，可以排

以ao,2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB,则A48C面积的最小值是（

【解答】解：过。作于连接3D,如图，

由题意：«（8,0）,C（0,-6）,

:.OB=8,OC=6,BC=1（），

则由三角形面积公式得，LxBCxDMJxOBxDC,

22

.\10xDM=64,

；.DM=6.4,

.•.圆。上点到直线y=+-6的最小距离是6.4-2=4.4.

/.A44c面积的最小值是1x10x4.4=22,

2

5.（2019•东西湖区模拟）如图，0。是AA3C的外接圆，是的直径，4）平分

NBAC.若人0=6,AC=5,则AB的长为（）

55

D.

T

【解答】解：过。作DEJ.A6于£：,

•.•/W是G)O的直径，

.•.4=90。，即CD_LAC,

\-AD=6,AC=5,

：,CD=>]AD2-AC2=x/H,

•.•AD平分N4AC,

/.DE=CD=yf\\,

,..{CD=DE

在RtACAD与RtAEAD中，

AD=AD

/.RtACAD二RtAEAD(HLi,

/.AE=AC=5,

设的=x,

AB=5+x，

•.•NC=/"££>=90。，ZB=/B,

:ZDEsmAC,

BDDE

ABAC

BDy/n

•\----=----,

5+x5

物业2

5

-AC2+BC2=AB~,

.25+(x/n(；+x)+而尸=(5+#2,

解得：x=史，(负值舍去)

7

90

AB=5+—=

7T

故选：A.

6.（2019•潍坊一模）如图，A/WC为°。的内接三角形，为直径,NAC4的平分线CD

交OO于点。，且6=8,则NC84的度数是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.62.5°

【解答】解：・・・4A是。。的直径，

/.ZACB=90°»

ZACB的平分线CD殳OO于点、D,

/.ZACD=NBCD=45°,

,;CB=CD,

/.ZD=ZC»D=67.5°,

.-.ZA=ZD=67.5°,

NCBA=90。-NA=22.5°,

故选：B.

7.（2019•白水县一模）如图，丘）。是A46C的外接圆，直径4）=4,/A6c=/D4C,则

4c的长为（）

O

BC

D

A.272B.2C.4D.2

【解答】解:连接CD,如图所示:

•••4)是0。的直径，

.".ZACL>=90°,

ZADC=ZABC,ZABC=^DAC,

:.ZADC=/DAC，

：.AC=DC,AAC£＞是等按直角三角形,

AD=sf2AC,

知识点2直线和圆位置关系

直线和圆的三种位置关系：

(I)相交：当宜线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交.

(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切.这条直线叫做圆的切线，公共

点叫做切点.

(3)相高：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.

【典例】

L已知圆的半径为4,•直线上的•点与此圆的圆心距离为5,则直线与圆的位置关系为

【答案】相离、相切、相交均有可能

【解析】解：直线上有一点与此圆的圆心距离为5,

则圆心到直线的距离可能大于4或等于4或小于4,

所以直线与圆可能相离，可能相切，也可能相交.

2.已知/BAC=45。，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x,圻果半

径为1的。O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是

【答案】OVxW正

【解析】解：

当。0与直线AC相切时，设切点为D,如图，

AAD=OD=1,

由勾股定理得：A0=&,即此时*=沈，

所以当半径为1的。O与射线AC有公共点，x的取值范围是OVx《行

3.如图，点A,R,C均在坐标轴上，AO-BO-CO-1,过A,O,C作。D,E是0D上任意

一点，连结CE,BE,则CE2+BE2的最大值是

【解析】解：连接AC,DE,如图,

•:ZAOC=9()U,.'.AC为2D的直径,

:.点D在AC上,

VAO=BO=CO=1,

AA(0,1),B(-1,0),C(1,0),AC=&,D6，?

设E(m,n),

VEB2+EC2=(m-1)2+n2+(m+1)2+n2

=2(m2+n2)+2,

而m2+M表示E点到原点的距离，

・••当OE为直径时，E点到原点的距离最大，

・・・OD为平分NAOC,

/.m=n，

・.・DE」AC二返，

22

(m-l)2+(n-l)2二

22

即m2+n2=m+n

/.m=n=l,

,此时EB?+EC2=2(mW)+2=2(1+1)+2=6,

即CE?+BE2的最大值是6.

【方法总结】

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢?

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化

为直线和点(圆心)的位置关系.下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中百线与圆心

的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径.

•般地，直线与圆的位置关系有以下定理：

如果。。的半径为r,圆心O到直线/的距离为d,那么,

(1)d<r=直线/与。O相交：

(2)d=r=直线/与(DO相切；

(3)d>r0直线/与。O相离.

【随堂练习】

1.(2019♦长丰县二模)如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别相交于A,8两点，圆心P的

坐标为(1,0)，圆P与)，轴相切于点O.若将圆。沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，

横坐标为整数的点P的个数是()

【解答】解：•.•直线y=x+2与x轴、y轴分别相交于4,B两点,

圆心P的坐标为(1,0),

A点的坐标为：(-2,0),

8点的坐标为:(0,2),

/.AB=20,

将圆尸沿X轴向左移动，当圆尸与该直线相切于C|时，6G=1,

根据△48GSA44O,

.』=必=也

,'5一罚一浜

M=&,

的坐标为：(-1,0),

将圆P沿X轴向左移动，当圆夕与该直线相切于时，EC2=I,

根据△A'GsA/WO,

\_AP2AP2

"2~AB~2后，

AP^y/2,

己的坐标为：(一2-夜，0),

从-1到-2-6,整数点有-2,-3,故横坐标为整数的点P的个数是2个.

故选：A.

2.（2019•荔湾区校级模拟）行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的

车轮与地面的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【解答】解：因为行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的车轮与地面

的位置关系是相切，

故选：B.

3.（2019•南岗区一模）如图，在RtAABC中，ZC=9（）°,AC=3,BC=4,以点A为圆心

作圆，如果圆A与线段8c没有公共点，那么圆A的半径，•的取值范围是（）

A.5陪3B.3<r<5C.厂=3或/•=5D.()＜厂＜3或r＞5

【解答】解：•.•在RtAABC中，ZC=90°,4C=3,8c=4,以点A为圆心作圆，

当圆A的半径0v〃<3或r>5时，圆A与线段4c没有公共点;

故选：

4.（2018秋•丹江口市期末）如图，在AABC中，AC=6,BC：=8,AB=\(),D,E分别

是AC,8C的中点，则以上为直径的圆与的位置关系是（)

A

CEB

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

4

【解答】解：过点C作CM_LA6于点M,交。石于点"，CEB

.\CMxAB=ACxBC,

石分别是AC、3C的中点，

：.DEHAB,DE=-AB=5,

2

：.CN=MN=、CM，

2

:.MN=24,

•••以0E为直径的圆半径为2.5,

/.r=2.5>2.4»

.•.以OE为直径的圆与A〃的位置关系是：相交.

故选：B.

5.（2018秋•滨湖区期末）若直线/与半径为6的OO相交，则圆心O到直线/的距离"为（

）

A.d<6B.d=6C.d>6D,4,6

【解答】解：•.•GX9的半径为6,直线上与相交，

二.圆心到直线的距离小于圆的半径，

即Q,d<6.

故选：A.

6.（2018秋•邺州区期木）圆。的半径为5,若直线与该圆相离，则圆心。到该直线的距离

可能是（）

A.2.5B.石C.5D.6

【解答】解：•.•直线与圆相离，

二.圆心到直线的距离>5,

故选：D.

二.填空题（共5小题）

7.(2019•南涛区一模)如图，已知在AA4C中，46=90°,AC=4,BC=3,动点N从

点C出发，沿着CA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点仞从点4出发，沿

着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为，秒(0<h2.5),以“为圆

心，M4长为半径的0也与4?的另一个交点为点。，连结DN.当0M与线段ON只有一

个公共点时，/的取值范围是或

【解答】解：•.•AA4C中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

：.AB=ylAC2+BC2=742+32=5,

分两种情况：

①当力N与OM相切时，则NMM=90。，

,:CN=AM=t，

,.AN=4-t,AD=2t,

vZA=ZA,ZMMN〃8=90°，

：.MDNSMCB,

ANAD4-/2r

/.——=——，即Hn----=—,

ABAC54

8

.•.当0</,,g时，OM与DN只有一个交点；

②当Z)NJ_AC时，贝iJZDN4=90。，

，：CN=AM=t，

,\AN=4-t,A£>=2f,

•/ZA=ZA,ZDNA=ZACB=90°,

:2NDSMCB、

ANADHn4-72/

ACBC45

解得：r=—

*/0＜，，2.5,

综上所述，f的取值范围为0<心§或2v.,2

7132

故答案为：0V忆§或型《心』.

7132

8.（2018秋•黄埔区期末）圆的半径为5的,如果圆心到直线的距离为3加,那么直线与圆

有公共点的个数是，

【解答】解：•・•圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是3c川，

3<5,

即半径大于圆心到直线的而离，

.•.直线与圆的位置关系是相交，

即直线与圆有2个交点.

故答案为：2

9.（2018秋•祁江区期末）如图，在RtAABC中，ZC=90%BC=3,AC=4,。、石分

别是AC、3c上的一点，且DE=3,若以DE为直径的圆与斜边A3相交于M、N,则

的最大值为-.

【解答】解：如图，连接OM,作。"JL45丁”，CKA.ABTK.

z

•lOHLMN,

:.MH=HN,

MN=2MH=lyjOM2-OH1,

•.­ZDC'E=90°,OD=OE,

3

:.OC=OD=OE=OM=-，

2

二.欲求MN的最大值，只要求出的最小值即可，

3

...OC=~,

2

.••点C的运动轨迹是以C为圆心3为半径的圆，

2

在RtAACB中，•.•4C=3，AC=4,

/.AI3=5，

L.AB・CK=1・AC・BC,

22

:.CK=—，

5

当C,O,H共线，且与CK重合时，的值最小，

：.OH的最小值为上一3=2,

5210

MN的最大值=2检2_电2=弓，

故答案为2.

5

10.（2018秋•翁牛特旗期末）如图，已知直线），=1.1-3与x轴、y轴分别交于A、8两点，

尸是以C（0.1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结24、P3.则面积的最小值

是々

【解答】解：过C作CA/J_A8于M,连接AC,MC的延长线交°C于N,

则由三角形面积公式得,—xABxCM=—xOAxBC,

22

.\5xCM=16,

5

圆C上点到直线），=八-3的最小距离是3-1=1,

455

面积的最小值是1x5x11=11,

252

故答案是：

2

11.（2019•蔡甸区模拟）己知RtAABC中，AC=3,BC=4,以。为圆心，以，•为半径作

圆.若此圆与线段四只有一个交点，则r的取值范围为或r=£_.

【解答】解：过点。作CDJ•八4于点。,

••.AC=3,BC=4.如果以点C为圆心，「为半径的圆与斜边也只有一个公共点,

AB=5，

当直线与圆相切时，d=r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边只有一个公共点,

.,.CDxAB=ACxBC，

当直线与圆如图所示也可以有一个交点,

3<4,

17

故答案为：3<小4或r=上.

三.解答题（共1小题）

12.（2019•宿豫区模拟）如图，A4是的直径，。是弦AC延长线上一点，且便="。,

的延长线交于点E,过点C作CF_LBO,垂足为点尸.

（1）b与OO有怎样的位置关系？请说明理由；

（2）若BF+CF=6,G>0的半径为5,求既的长度.

【解答】解：（1）B与0O相切.连接BC,OC,

•・•/W是OO的直径，

ZACB=90°,

,/AB=BD，

:4=小,

又•.•。4=。8，

「.OC是AAm的中位线.

:.OC//BD,

NOCF=ZCFD=90°，

即B_LOC.

.,.CF与OO相切；

(2)过点O作OHLBE于点H,则NOCF=NCFH=/OHB=90°,

.•・四边形OCFH是矩形，

;.OC=FH,OH=CF,

设=丫•

•.OC=5,BF+CE=6,

..BF=5-x,OH=CF=6-(5-x)=x+l,

在RtABOH中，由勾股定理知：

222

BH+OH=OBf即产+(X+1)2=52,

解得百=3,々=T(不合题意，舍去).

:.BH=3,

•;OHiBE,

,.BH=EH=-BE,

2

:.BE=2BH=2x3=6.

知识点3切线的性质及判定定理

1.切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点

叫做切点。

2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直。

3.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圜的切线。

注意：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂

直，缺一不可。

4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

1、圆的外切四边形的两组对边的和相等;

如图，ABCD为圆0的外切四边形，VAL=AP,BL=BM,CM=CN,DN=DP,故：

AB+CD=AD+BC,即有以上结论。

2、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

【典例】

1.如图，ZABC=80°,0为射线BC上一点，以点。为圆心，工0B长为半径作。O,要使

2

射线与。相切，应冷射线绕点按顺时针方向旋转

ABA0BAB

I,

BO

【答案】50。或110°

【解析】解:如图;

①当BA，与。O相切，且BA，位于BC上方时，设切点为P,连接OP,则NOPB=90。；

RtAOPB中，OB=2OP,

・•・ZA,BO=30°：

JZABAz=50°；

②当BA，与0O相切，JIBA，位十BC卜方时；

同①，可求得NAB0=3()。；

此时NABA'=800+30°=l10°；

故旋转角a的度数为50。或110°,

2.如图，OCh的半径为1,正方形ABCD的边长为4,点Ch为正方形ABCD的中心，OiO2

_LCD于点P,0102=5.现将G)Oi绕点P按顺时针方向旋转180。,则在旋转过程中,0Oi

与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现次？

【解析】解：・・・0Ch的半径为1,正方形ABCD的边长为4,点02为正方形ABCD的中心,

0Q2垂直CD于P点，

圆Oi与以P为圆心，以2为半径的圆相外切，

・••根据图形得出有3次.

3.如图，。0的半径OC=5cm,直线1_LOC,垂足为H,且1交。O于A、B两点，AB=8cm,

则1沿OC所在直线平移后与。O相切，则平移的距离是:

【答案】2cm或8cm

【解析】解：如图，连接0B,

VAB1OC,AAH=BH,

.・.BH」AB」X8=4,

22

在RtABOH中，OB=OC=5,

AOH=7OB2-BH2=3,

又•・•将直线1通过平移使直线1与。O相切，

・•・直线I垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，

，当向下平移时，直线1平移的距离=5-3=2(cm)；

当向上平移时，直线I平移的距离=5+3=8(cm).

综上：平移的距离是2cm或8cm。

【方法总结】

1、在遇有圆的切线问题时，经常添加过切点的半径作为辅助线。

2、遇有圆的直径时，通常在圆周上另找一点，从这一点分别向直径的两个端点连结线段，

来构造•个直角三角形。

4.如图，在ZkABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分NABC交AE于点M,经过B、

M两点的。。交BC『点G,交AB于点EFB恰为。0的直径.

判断AE与。0的位置关系，并说明理由。

理由如下：

连接OM,则OM=OB,.,.ZOMB=ZOBM.

•JBM平分NABC,AZOBM=ZEBM.

AZOMB=ZEBM.AOM//BC.

/.ZAMO=ZAEB.

在AABC中，AB=AC,AE是角平分线，

AAE1BC.AZAEB=90°.

AZAMO=90°.AOM1AE.

・・・AE与。O相切;

5.如图，在。O中，AB为直径，AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD_LAO于点D,

交AC于点E,交。O于点F,M是GE的中点，连接CF,CM,判断CM与00的位置关系,

并说明理由.

【解析】解：CM与。0相切.理由如下:

连接0C,如图,

VGD±AO于点D,ZG+ZGBD=90°,

TAB为直径，AZACB=90°,

•・・M点为GE的中点，

・•・MC=MG=ME,JZG=Z1,

VOB=OC,AZB=Z2,

Zl+Z2=90°,:.ZOCM=90°,

AOCXCM,，CM为00的切线；

6.如图所示，AB为。0的直径，AD平分NCAB,AC1CD,垂足为C.

(1)判断CD与。0的位置关系，并说明理由；

(2)求证：ZCDA=ZAED.

【解析】证明：（1）CD是。0的切线,

如图，连接0D,

VOA=OD,/.Z0DA=Z0AD,

•.'AD平分NCAB,AZOAD=ZCAD,

ZODA=ZCAD,

VAC1CD,即NCAD+NCDA=90°,/.ZODA+ZCDA=90°,

A0D1CD,即CD是。0的切线：

(2)连接BD,

〈AB为直径，AZADB=90°,

，NB+NBAD=90。，NB=NAED,

.\ZAED+ZBAD=90°,

VZCDA+ZCAD=90°,ZCAD=ZBAD,

AZCDA=ZAED.

【方法总结】

在证明圆的切线问题中，主要有两种题型：

1、知半径，证垂直

2、知乖育，讦半径

解决切线相关问题的技巧

①注意利用切线长定理进行线段转换。

②注意利用切线长定理的推论进行角度转换。

③见切线连半径是处理切线问题的“通法

【随堂练习】

1.(2019•黄冈二模)如图，正三角形4JC的边长为2,点A,〃在半径为0的圆上，点C

在圆内，将正三角形A8C绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_75。_.

【解答】解：如图，分别连接。4、OR,

•：OA=OB=五,AB=2,

是等腰直角三角形，

/.Z6t4B=45°,

,/A4BC是等边三角形，

.♦.NK4C=60°,

/.ZC4O=15°,

•••AC与圆相切,

.\ZCAO=90°,

/.ZC4C=75°,

当边AC第一次与圆相切时，旋转角为75。,

故答案为：75°.

2.（2019春•利津县期末）在&4AC中，以A4为直径作0O,交的中点。，过点。

作OEJ.AC，垂足为E.求证：

（1）。石是0O的切线；

（2）AB=AC.

C

【解答】证明：（1）连接OD,

•.•O是的中点，。是8C的中点,

是AA4C的中位线，

..OD//AC,

•.DEA.AC,

；.DEkOD,

」.力石是。。的切线；

（2）连接4）,

•.•/W是的直径，

/.ZAD^=90°，

..AD1BC,

・・•。是5c的中点,

垂直平分3C,

.\AB=AC.

3.（2019•碑林区校级二模）如图，四边形A8CD内接于OO,对角线8£＞为0。直径，点石

在4C延长线上，且NE=NE4C.

（1）求证：班是的切线：

（2）求AC//DE,当A8=8,CD=2,求OO的半径.

【解答】（1）证明：如图，・・・8。是直径,

.\ZBCD=90°,

.•.Z£+ZCDE=90°,

•/ZE=Za4C,

ZE4C+ZCDE=90°.

•・•ZBAC=ZBDC，

；.NBDC+NCDE=9(r,

.\ZBDF=90°,即：BDA.DE,

•点。在0。上，

.•.DE是OO的切线；

(2)解：\AC//DE,BDLDE,

J.BDLAC.

•.•8。是0O直径，

/.AF=CF,

：.AB=BC=8,

在RtABCD中，BD=JBC2+CD2=782+22=2>/17

.•・OO半径的长是后.

4.(2019•姑苏区校级二模)如图，AAC7?内接于圆O,A5为直径，CD工AB与点、D,E为

圆外一点，EOLAB,与BC交于点G,与圆O交于点/，连接EC,且EG=EC.

(1)求证：EC是圆。的切线：

(2)当NABC=22.5。时，连接C/,

①求证：AC=CF；

②若AD=1,求线段AG的长.

【解答】(1)证明：连接OC,

•;OC=OB,

NOCB=NB,

\EOA.AB,

NOG8+N8=90°,

\EG=EC,

;./ECG=NEGC，

•;/EGC=4OGB,

Z.OCB+^ECG=N8+/OGB=90°，

:.OCLCE,

二.EC是圆O的切线；

(2)①证明：•/ZA£?C=22.5°,NOCB=NB,

ZAOC=45°,

\EOLAB,

.-.ZCOF=45°,

AC=CF,

:.AC=CFt

②解：作CW_LO£于M,

•.•A8为直径，

.•.ZACH=90°

vZABC=22.5°,NGOB=900,

.•.ZA=NOG8=N67.5。，

/.ZFGC=67.5°,

vZCOF=45°,OC=OF,

Z.OFC=Z.OCF=67.5°:

:.NGFC=NFGC,

:.CF=CG,

:.FM=GM，

•••NAOC=/COF,CDiOA,CMA.OF,

：.CD=DM，

在RtAACD和RtAFCM中

AC=GF

CD=CM

：.RtAACD三RtAFCM(HL),

FM=AL)=\,

:.FG=2FM=2.

知识点4弧长和扇形面积

1.相关名词

弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。

扇形：一条弧和经过这条瓠两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇

形)。

圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所匡成的

几何体叫做圆锥。

圆锥的高：圆锥的顶点到员1锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；

圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离“

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周

长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长x母线.2；

没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧

面展开图是扇形。

2.圆中有关计算：

(1)圆的面积公式：S=JIR"周长C=2TTR.

(2)弧长：圆心角为n。、半径为R,J^=".

(3)扇形的面积：圆心角为n。，半径为R,弧长为I,S；~=

(4)弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

(5)圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为1的圆柱的体积为二，供!面积

为2冗RL全面积为­-I.

(6)圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为1,高为h的圆锥的侧面积为7iRl,

全面积为：二二，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有•季—.

【典例】

1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，则此扇形的面积为

.09

【答案】①冗(m2)

2

【解析】解：如图，连接AC,

B

•・•从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，即NABC=90。，

，AC为直径，即AC=2m,AB=BC,

VAB2+BC2=22,

/.AB=BC=V2m»

••・阴影部分的面积是9兀-:乎兀(n?)

3602

【题干】如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半

径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10,则该餐盘的面积是

【答案】50n-5073

【解析】由扇形面积减去二角形面积求出弓形面积，二个弓形与••个等边二角形面枳之和即

为餐盘面积.

解：该餐盘的面积为3（6。需I。：#HO?）+*x102=50兀-50无

2.如图，蒙占包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为257tm2,

圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是

【答案】（30兀+5点永）nr

【解析】解：设底面圆的半径为R,

贝l|7tR2=25n,解得R=5,

圆锥的母线长？/再招:恒，

所以圆锥的侧面积=工・2穴5•伤=5恒心

2

圆柱的侧面积=2兀・5・3=3（）兀，

所以需要毛毡的面积二（30九+5/西）m2

【方法总结】

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

需根据不同的情况作出不同的处理：

①当弓形所含弧为劣弧时，S.；=S

②当弓形所含弧为优弧时，S产S,+SA

③当弓形所含弧为半圆时，S弓=—Sffll

2

【随堂练习】

1.（2019•兴庆区校级三模）如图，为的直径，点C在OO上，若NOC4=40。，AB=6,

则弧8C的长为（）

B,物C与

33-T

【解答】解：•.•OA=OC，

ZOC4=ZA=40°,

/.ZBOC=ZA+ZOC4=80%

80•开・344

3c的长

1803

故选：D.

2.（2019•云南模拟）如图，在RtAACR中，/ACA=9O。，AC.=\,将RtAACR绕点C顺时

针旋转90。后得到RtADCE，点B经过的路径为BE,相线段AB绕点4顺时针旋转6（产后,

点8恰好落在CE上的点F处，点4经过的路径为8尸，则图中阴影部分的面积是（）

c%

【解答】解：5阴二，38+S娟形C8E-S母形ABF

90•不“后・

=-*1*\/3+60•12?

2360360

671

------1-----

212

故选：A.

3.（2019•黄州区校级模拟）如图，RtAABC的斜边3C=4,ZABC=30°,以AB、AC为

直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为（）

c

亨—8

C.—~y/3D.

6

【解答】解：如图，设点E是两圆的公共点,连接AE,取AC,4?的中点G,H.

在RtAABC中，•.•ZC4B=90°,ZABC=30°,8C=4,

/.AC=2,AB=20/C=60。,

/./AHE=60°,/AGE=120°,

}\iHAE~SgEH+S思形UtA-SgEG

6OWG)2正双a12O.^.l2I,

4----------xlx

360436022

浮声,

6

故选：C.

4.（2019•临沂）如图，0O中，AB=ACZAC8=75。，8c=2,则阴影部分的面积是（

)

24

C.4+一乃D.2+—不

33

【解答】解：•.•人8=4C,

AB=AC，

•.ZACK=75。，

ZABC=ZACB=75°,

/.Zft4C=30°,

NAOC=600，

•;OB=OC,

.•.ABOC是等边三角形，

：.OA=OB=OC=BC=2,

作AD上3C,

•「AB=AC,

BD=CD,

.•.AO经过圆心O,

：.OD=—OB=y/3,

2

.,.40=2+6，

1

S^c=-BC^AD=2+yj3,0c=3阮功=6

-#=2+g

S阴影=SMW+S明形08c-S20c=2+^3

360

故选：4.

5.（2019•随县一模）如图，将AA8C绕点。顺时针旋转60。得到△AbC,已知AC=6,

BC=4,则线段/W扫过的图形面积为（）

A,包

2

C.6兀D.以上答案都不对

【解答】解：•.•将AA8C绕点。顺时针旋转60。得到△490

MBC=△A'B'C>NBCB=ZACA=60°，

rr口口/忖，八3=皿CC60^-x6260^,x4210万

■'•阴影J分的面积二邑|窗”-S扇形依8,=—7TT---------TTT—=—'

3OU3OU、

故选：。.

6.（2019•阜宁县一模）如图，边

长为2的正方形A68的四个顶

点分别在扇形0b的半径0E、

OF和所上，H.点4是线段03

的中点，则所的长为（）

【解答】解：连接X,"•'…

•・•四边形A3CD是正方形，

..AD=AB=BC=2,ZABC=ZDAB=90°=ZDAO,

•.•A为04的中点，

：.OB=2AB=A,

在RtZkOBC中，由勾股定理得：OC=yjBC2+Ofi2=>/2:+42=2^,

•.•A为。4的中点，AI3=AD=2,

：.OA=AD=2,

\-ZDAO=90°,

.\ZDOA=ZADO=45°,

.所的长为45月x（2石）二正乃,

1802

故选：D.

7.（2019•庆云县二模）如图，在A4BC中，入4=5,AC=3,BC=4,将A4BC绕一逆时

针方向旋转40。得到AAOE,点8经过的路径为弧比>,则图中阴影部分的面积为（）

------------------------------

143325

A.一兀一6B.33+乃C.—^--3D.—

389

【解答】解：•.•AB=5,AC=3,BC=4,

「.AAHC为直角三角形，

由题意得，AAED的面积=A/\8C的面积，

由图形可知，阴影部分的面积=MED的面积+扇形4出的面积-AABC的面积,

阴影部分的面积二扇形4）8的面积="工

3609

故选：D.

8.（2019•郸州区模拟）圆锥的母线长为10,侧面积为604，则这个圆锥的底面周长为（

)

A.10%B.124C.16〃D.204

【解答】解：设底面圆的周长为x.

由题意：—xx10=60^>

2

二.x=12万，

故选：13.

9.（2019•资阳区一模）如图，DE是边长为2的菱形A5C7）的高，CE=1,以点。为园心,

班的长为半径画弧，交BD于F,交QC于G,则图中阴影部分的面积为（）

旦

AD7：\/3D.

A.7TD•—C•7T

226

【解答】解：•.•。石是边长为2的菱形A8CL＞的高，CE=l,

ZDEC=90°,DC=2,

cosZDCE=-,DE=\22-12=73,

2

/./DCE=60。,

.\ZADC=120°,

Zra7=60°,

.••图中阴影部分的面积为：60小（后=工,

3602

故选：B.

10.（2019•东阳市模拟）圆锥的底面面积为16%母线长为6a〃，则这个圆锥的侧面积

为（）

A.24cm2B.247ra???C.48。/D.48乃加

［解答］解：•圆锥的底面面积为16万,

圆锥的半径为40〃，

这个圆锥的侧面积=；・2m4S=244（c＞）.

故选：13.

11.（2018秋•滨海新区期末）已知扇形的圆心角为50°,半径长为5则该扇形的弧长为（

）

.254057rc25万D.空

18363636

【解答】解：扇形的弧长=竺叱=也，

18018

故选：A.

12.（2018秋•海曙区期木）如图，已知。。的半径为5,弦A6=8,CD=6,贝1J图中阴景乡

部分面积为（)

D

0595

A.—TV-24B.9乃C.%-12D.9乃一6

22

【解答】解：如图，过点。作OE_LA8于石，作O/J_C£＞于/，

由垂径定理得，AE=-AB=-xS=4,

22

CF=-CD=-x6=3,

22

由勾股定理得，OEZOA^—AE，=152—42=3,

OF=yJoC2-CF2=>/52-32=4,

/.AE=OF,OE=CF,

在A4OE和中，

AE=OF

«NAEO=NOFC=90。，

OE=CF

.•.AAOE二△OCF(SAS),

/.ZAOE=NOCF,

ZOCF+ZCOF=90°,

「.NAOE+NC。产=90。，

.•・ZAOB+/COD=2(ZAOE+ZCOF)=2x90°=180°,

把弧CD旋转到点。与点8重合.

.•.AA4c为直角三角形，且AC为圆的直径；

•.•人6=8,8=6,

/.AC=10(勾股定理),

I125

.,•阴影部分的面积=S半圜-SgBc=—4x5"—x6x8=—7T—24；

222

故选：A.

图1

13.（2018秋•香洲区期末）如图，在扇形。44中，2408=120°,点C是弧A8上的一个

动