苏科版七年级数学上册同步讲义 63 余角、补角、对顶角（学生版+解析）

第6章平面图形的认识（一）

6.3余角、补角、对顶角

0目标导航

课程标准课标解读

1.掌握余角、补角及对顶角的概念及性1.了解余补、互补的概念：熟练掌握余角、补角的性

质，会用其性质进行有关计算；质

2.了解方位角、钟表上有关角，并能解决2.能够准确的画出图形，掌握角的关系的应用，会进

一些实际问题.行图形语言和符号语言的相互转化

魏知识精讲

知识点01余角、补角、对顶角

1.余角与补角

（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另

一个角的余角.

类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另

一个角的补角.

（2）性质：同角（等角）的余角相等.同角（等角）的补角相等.

【微点拨】

（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关.

（2）一个锐角的补角比它的余角大90°.

【即学即练1】1.如果N1与N2互为余角，N1与N3互为补角，N2与N3的和等于平角的那么这三

个角的度数分别为（)

A.75°,15°,105°B.30°,60°,120°C.50°,40°,130°D.70°,20°,110°

2.对顶角

（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角.

（2）性质：对顶角相等.

【微点拨】

⑴对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

⑵只有两条直线相交时，才能产生对顶角.两条宣线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补

角满足的条件：①有公共顶点：②有一条公共边，另一边互为反向延长线.

【即学即练2】2.下列各图中，/I和N2是对顶角的是（）

A.T7B.

c-d-X/

知识点02方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线0A的方向是北偏东60。；射线0B的

方向是南偏西30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.

北

【微点拨】

（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示;

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；

（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的

正东、正西、正南、正北的方向；

（4）图中的点。是观测点，所有方向线（射线）都必须以0为端点.

【即学即练3】3.已知A、B两地的位置如图所示，且NBAC=60。，那么下列语句正确的是（）

A.A地在B地的北偏东60。方向B.A地在B地的北偏东30。方向

C.B地在A地的北偏东60。方向D.B地在A地的北偏东30。方向

知识点（）3钟表上有关角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°,时针每小时转30°,

时针1分钟转0.5。，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.

【即学即练4】4.15点整时针与分针的夹角度数为（）

A.60°B.75°C.90°D.100°

B能力拓展

考法01对顶角的定义

（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角.

（2）性质：对顶角相等.

5.一个角的余角是30度，则这个角是（）度.

A.20B.30C.60D.150

6.下列叙述正确的是（）

A.一个钝角和一个锐角一定互为补角B.每一个锐角都有余角

C.两个锐角一定互为余角D.一个钝角的余角是锐角

7.已知NA=50。，则NA的补角等于（）

A.40°B.100°C.130°D.150°

题组B能力提升练

1.已知N〃=30。，则N〃的余角的度数为（）

A.60°B.90°C.150°D.180°

2.若Na=45。-/?。，//=45。+〃。，则Na与少的关系是（）

A.互补B.互余C.和为钝角D.和为周角

3.下列说法错误的是（）

A.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；B.两点的所有连线中，线段最短；

C.连接两点的线段叫两点之间的距离；D.同角（等角）的补角相等.

4.65。15,的余角的补角等于一.

5.已知一个锐角的度数为71.52°,则这个角的余角为.（结果用度、分、秒米表示）

6.一个角的补角比它的余角的3倍少20。，这个角的度数是_____度.

7.一个锐角的补角比它的余角的3倍少40。，这个锐角的度数是.

题组C培优拔尖练

1.17.有下列说法：①锐角的补角一定是钝角②一个角的补集一定大于这个角③如果两个角是同一个角

的补角，那么这两个角相等④锐角和钝角互补，其中正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.一副三角板4片C，DBE，如图I放置，NB4C-45。），将三角板08七绕点4逆时针旋

转一定角度，如图2所示，且0。＜/底石＜90。，则下列结论中正确的个数有（）

①NQ8C+NA8E的角度恒为105°；

②在旋转过程中，若BM平分/DBA,BN平64EBC，NMBN的角度恒为定值；

③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90。的次数为2次；

④在图1的情况下，作NDBF=/EBF，则A8平分NO8产

D

BEC3C

/图1图

12

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上,下列各组角一定能互补的是（）

C

A.NBCD和/ACFB.NACD和NACF

C.NACB和NDCBD.NBCF和NACF

4.阅读下列语句：（1）延长射线OM；（2）平角是一条射线；13）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐

角定小丁•它的余角；（5）大丁直角且小丁平角的角是钝角；（6）个锐角的补角与这个锐角的余角的差

是90。；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若NA+NB+NC=180。，则这三个角互补；（9）互为邻补角

的两个角的平分线互相垂直.其中正确的说法有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.已知/。=34。55，，则Na的余角等于（）

A.66。5'B.65。5'C.65。55'D.55°5'

6.若NI,N2互为补角，且N1>N2,则下列表示N2的余角的式子中正确的是（）

①;（N1+N2）：②N1—90。；③g（Nl-N2）；④;（N2—N1）.

A.①B.②C.②③D.②④

7.已知一个角是这个角的余角的g,则这个角的度数是（）.

A.45°B.60°C.67.5°D.22.5°

第6章平面图形的认识（一）

6.3余角、补角、对顶角

0目标导航

课程标准课标解读

1.掌握余角、补角及对顶角的概念及性3.了解余补、互补的概念；熟练掌握余角、补角的性

质，会用其性质进行有关计算；质

2.了解方位角、钟表上有关角，并能解决4.能够准确的画出图形，掌握角的关系的应用，会进

一些实际问题.行图形语言和符号语言的相互转化

趣:知识精讲

知识点01余角、补角、对顶角

1.余角与补角

<1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个常互为氽角，简称互余，其中一个角叫做另

一个角的余角.

类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另

一个角的补角.

（2）性质：同角（等角）的余角相等.同角（等角）的补角相等.

【微点拨】

（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关.

（2）一个锐角的补角比它的余角大90°.

【即学即练1】1.如果N1与N2互为余角，/I与N3互为补角，N2与/3的和等于平角的g,那么这三

个角的度数分别为（)

A.75°,15°,105°B.30°,60°,120°C.50°,40°,130°D.70°,20°,l10°

【答案】A

【分析】

可以设出其中的一个角，然后表示出另两个角，根据N2与N3的和等于平角的,求解.

【详解】

解：设Nl=x°,则N2=90-x,Z3=180-x,

2

•・・N2与N3的和等于平角的

2

..90-X+180-JC=180X-,

3

解得x=75,

AZ1=75%Z2=15°,Z3=105%

故选：A.

2.对顶角

(1)定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角.

(2)性质：对顶角相等.

【微点拨】

(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角.两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补

角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.

【即学即练2】2.下列各图中，/I和N2是对顶角的是()

AJ

B

D-

【答案】C

【分析】

直接根据对顶角的概念判断即可得到答案.

【详解】

解：A、不符合对顶角概念，不符合题意；

B、不符合对顶角概念，不符合题意；

C、符合对顶角概念，符合题意；

D、不符合对顶角概念，不符合题意.

故选：C.

知识点02方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线0A的方向是北偏东60°；射线0B的

方向是南偏西30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.

【微点拨】

(1)正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示;

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；

（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的

正东、正西、正南、正北的方向；

（4）图中的点。是观测点，所有方向线（射线）都必须以。为端点.

【即学即练3】3.己知A、B两地的位置如图所示，且ZBAC=6O。，那么下列语句正确的是（）

A.A地在B地的北偏东60。方向B.A地在B地的北偏东30。方向

C.B地在A地的北偏东60。方向D.B地在A地的北偏东30。方向

【答案】D

【分析】

直接利用方向角的定义得出正确的语句.

【详解】

解:由图可知，B地在A地的北偏东30。方向，

故选：D.

知识点03钟表上有关角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°,时针每小时转30°,

时针1分钟转0.5°,利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.

【即学即练4】4.15点整时针与分针的夹角度数为（）

A.60°B,75°C.90°D.100°

【答案】C

【分析】

钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30。，15点整时，时针指到3上，分针指到12上,

15点整时针和分针夹角是3份即可得出答案.

【详解】

解：15点整，时针和分针夹角是3份，每份30。，

故3x3O°=9O°.

故选:C.

Q能力拓展

考法01对顶角的定义

（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角.

（2）性质：对顶角相等.

【典例1】下列图形中的两个角互为补角的是（）

A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④

【答案】C

【分析】

根据互补两角之和为180。求解即可.

【详解】

解：•・•①④两个角相加为180°,

，①④互为补角.

故选：C.

考法02求一个角的补角

（1）定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补用，简称互补，其中一个角叫做另一个角的

补角.

（2）性质：同角（等角）的余角相等.同角（等角）的补角相等.

【典例2］已知Na是锐角，/a与Np互补，N0与Ny互余，则Na与/7的关系为（）

A.Za-Zy=90°B.Za+Zy=90°C.Za+Zy=l80°D.Za=Zy

【答案】A

【分析】

根据补角和余角的定义关系式，然后消去即可.

【详解】

解：・・・/a与N0互补，Np与/丫互余，

AZa+Zp=180o,Zp+Zy=90o.

/.Za-Zy=90°.

故选：A.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.若N1与N2互补，/1=55。15',则N2的度数为（)

A.124045zB.134°45'C.35°45'D.34°45'

【答案】A

【分析】

根据邻补角的定义以及1。=60，，卜=60〃进行计算即可.

【详解】

解：・・・N1+N2=18O。，Nl=55。⑹，

.*.Z2=l800-55o15<=124°45\

故选：A.

2.已知一个角是60。，那么这个角的补角的度数是（）

A.120°B.150°C.60°D.30°

【答案】A

【分析】

根据和为180。的两个角互为补角求解即可.

【详解】

解：因为一个角是60。,互补两角的和是180。,

所以这个角的补角的度数是180°-60°=120°,

故选：A.

3.已知NA=105。，则/A的补角的余角等于（）

A.35°；B.25°；C.15°；D.5°；

【答案】C

【分析】

两个角互补时和为180。，据此可求出NA的补角，然后再根据余角的定义进行求解即可.

【详解】

解：NA的补角:180°-105°=75°,

它的余角=90。-75。=15°,

故选：C.

4.已知/A=7（）。，则NA的余角的补角为（）

A.160°B.150°C.110°D.130°

【答案】A

【分析】

先求出NA的余角，再求出余角的补角即可.

【详解】

解：•・・/A=70。，

・•・NA的余角=90。・70。=20°,

・•・ZA的余角的补角=180。-20。=160。，

故选：A.

5.一个角的余角是30度，则这个角是（）度.

A.20B.30C.60D.150

【答案】C

【分析】

相加等于90。的两角称作互为余角，也作两角互余.其中一个一定是另一个的余角，因而，求这个角，就可

以用90。减去这个角的度数.

【详解】

解：90°-30°=60°,

所以这个角是60。.

故选：C.

6.下列叙述正确的是()

A.一个钝角和一个锐角一定互为补角B.每一个锐角都有余角

C.两个锐角一定互为余角D.一个钝角的余鱼是锐角

【答案】B

【分析】

根据锐角和钝角的概念及余角和补角的概念逐一判断即可.

【详解】

解：A,一个钝角和一个锐角的和不一定等于180。，所以不一定互为补角，此选项错误；

B.每一个锐角都有余角，此选项正确；

C.如果两个角和是90°,那么它们互为余角，但两个锐角的和不一定等于900,此选项错误:

D.钝角没有余角，此选项错误.

故选B.

7.已知NA=50。,则NA的补角等于()

A.40°R,100。C.130°D.150。

【答案】C

【分析】

两角互补和为180°,求NA的补角只要用180°-ZA即可.

【详解】

解：・・・NA=50。，

/•ZA的补角=180°・ZA=180°-50°=130°

故选C.

题组B能力提升练

1.已知Na=30。，则Na的余角的度数为（）

A.60°B.90°C.150°D.180°

【答案】A

【分析】

根据余角定义直接解答.

【详解】

解：Na的度数是90。-/2=90。-30。=60。.

故选：A.

2.若Nc=45°-〃。，/「=45。+〃°,则Na与〃的关系是（）

A.互补B.互余C.和为钝角D.和为周角

【答案】B

【分析】

把两个角相加，然后根据余先的定义解答.

【详解】

解：VZa+Zp=45o-no+45o+no=90°,

・・・Na与Np互余.

故选：B.

3.下列说法错误的是（)

A.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；B.两点的所有连线中，线段最短；

C.连接两点的线段叫两点之间的距离；D.同角（等角）的补角相等.

【答案】C

【分析】

利用线段定义、确定直线的条件、两点间的距离的定义及补角的性质分别判断后即可■确定正确的选项.

【详解】

解：A.经过两点有一条直线，并且只有一条直线，说法正确；

B.两点的所有连线中，线段最短，说法正确；

C.连接两点的线段的尺度叫做这两点之间的距离，故原说法错误；

D.同角（等角）的补角相等，说法正确.

故选：C.

4.65。15,的余角的补角等于一.

【答案】155。15'

【分析】

先求65。151的余角，再求余角的补角.

【详解】

65,15，的余角为90。—65。15'=24°45',

则65。15,的余角的补角为180。―24O45'=155O15'.

故答案为：155。⑹.

5.已知一个锐角的度数为71.52。，则这个角的余角为.（结果用发、分、秒来表示）

【答案】18。28'48〃

【分析】

先求出余角，再转化为度、分、秒的形式.

【详解】

解：一个锐角的度数为71.52。，则这个角的余角为90。・71.52。=18.48。,

18.48。=18。288=18°28'48",

故答案为：18。28'48〃.

6.一个角的补角比它的余角的3倍少20。，这个角的度数是度.

【答案】35

【分析】

设这个角为x度.根据一个角的补角比它的余角的3倍少20。，构建方程即可解决问题.

【详解】

解：设这个角为x度.

则l80°・x=3(900-x)-20°,

解得：x=35°.

答：这个角的度数是35。.

故答案为：35.

7.一个锐角的补角比它的余角的3倍少40。，这个锐角的度数是.

【答案】25。

【分析】

设这个角为叫根据余角的和等于90。，补角的和等于180。表示出这个角的补角与余角，然后杈据题意列出

方程求解即可.

【详解】

解：设这个角为明则它的补角为180。4,余角为90。4，

根据题意得，180°-a=3（900-a）-40°,

解得a=25°.

故答案为:25°.

题组C培优拔尖练

1.17.有下列说法：①锐角的补角一定是钝角②一个角的补隹一定大于这个角③如果两个角是同一个角

的补角，那么这两个角相等④锐角和钝角互补，其中正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根据互为补角的两角和为180。，可知锐角的补角一定是钝角，锐角和补角不一定互补，故①正确,

④不正确；

当一个角力钝角时，这个角的补角为锐角，钝角大于锐角，故②不正确；

根据同角或等角的补角相等，可知③正确：

故选：B.

2.一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（NO=30。、ZBAC=45°）,将三角板OBE绕点8逆时针旋

转一定角度，如图2所示，且（）。＜/。3七＜90。，则下列结论中正确的个数有（）

①NDBC+N/WE的角度恒为105。；

②在旋转过程中，若BM平分NDBA,BN平分NEBC,NM8N的角度恒为定值;

③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90。的次数为2次;

④在图1的情况下，作/DBF=/EBF，则AB平分

图1

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】

根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得.

【详解】

NO=30°,ABAC=45°,/DEB=ZACB=90°

ZDBE=90°-ZD=60°,/ABC=90°-ABAC=45°

如图1,当0。＜/8e(45。时

/DBC+ZABE=/DBE+4CBE+(/ABC-NCBE)

=ZDBE+ZABC=105°

如图2,当45°vNCBE<90。时

ZDBC+ZABE=/DBE+4CBE+(ZCBE-/ABC)

=60°+ACBE+(ZCBE-45°)

15°+2ZCBE

因此，NOBC+NABE的角度不恒为105。，则①错误

如图1,当0。＜/。3石工45。时

/ABM=-/DBA=L(NDBE-Z.ABE)=30°--NABE

222

由角平分线的定义得，

4NBE=-NEBC=-(AABC-NABE)=22.5°--NABE

222

:"MBN=ZABM+ZABE+ANBE

=30°--ZABE+22.5°--/ABE+NABE=52.5°

22

如图2,当45°vNCBEv90。时

ZABM=-/DBA=-(ZDBE+NABE)=30°+-ZABE

222

由角平分线的定义得，111

ZNBE=-ZEBC=-(ZABC+ZABE]=22.5°+-ZABE

[222

:"MBN=ZABM+/NBE-ZABE

=30°+-ZABE+22.5°+-/ABE-ZABE=52.5°

22

因此，NMBN的角度恒为定值52.5。，则②正确

v()0<ZCBE<90°

二.BE边与三角板A8C的三边所任直线夹角不可能成90。

如图1,当00<NC8EW45。时，设DE与AB的交点为F

ABFE=90°-ZABE=90°-(ZABC-ZCBE)

=90°-(45°-ZCBE)

=45°+ZCBE

v0°<45°+ZC^<90°,UP00<Z^FE<90°

•/ADBC=NDBE+/CBE=60。+/CBE

/.60°<ZDBC<105°

・・•/DBA=ZDBC-ZABC=60°+ZCBE-45°=15°+ZCBE

/.15°<ZDM<60°

二•DE只与三角板ABC的AB边所在直线夹角成90。，次数为I次；DB只与三角板A5c的BC边所在直

线夹角成90。，次数为1次

如图2,当45。</。8后<90。时，延长DE交AB于点F

/BFE=90°-NABE=90。一(NCBE-NABC)

=90。—(NC8E—45。)

=135°-ZCfiE

・・•45。<135°-/CBE<90°，即45°<ZBFE<90°

・.・ZDBC=NDBE+NCBE=60°+/CBE

/.105°<ZDBC<150°

・・•/DBA=ZDBC-ZABC=60°+/CBE-45。=15。+/CBE

:.600<ZDBA<i05°

••・只有DB与三角板ABC的AB边所在直线夹角成90。，次数为1次

因此，在旋转过程中，两块二角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次，则③错误

如图3,作/DBF=NEBF=L/DBC=30。

2

ZABD=ZDBC-AABC=60。-45°=15°

“NABF=ZABC-NEBF=45°-30°=!5°

•./ARD=/ABF,即AA平分歹

如图4,^ZDBF=Z£5F=150°

显然A8不平分NDBb，则④错误

综上，正确的个数只有②这1个

故选：A.

3.如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面匕下列各组角一定能互补的是（）

A.NBCD和NACFB./ACD和NACF

C.ZACBfUZDCBD.NBCF和NACF

【答案】A

【分析】

因为是直角三角板，所以NACB和NDCF都等于90。，所以利用角的和差把选项中的角能转化成

ZACB+ZDCF即为正确答案.

【详解】

•・•NBCD+NACF=ZBCD+ZACD+ZDCF=ZACB+ZDCF=90°-90°=180°,

工选A

4.阅读下列语句：（1）延长射线OM；（2）平角是一条射线；13）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐

角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差

是90。；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若NA+N8+NC=180。，则这三个角互补；（9）互为邻补角

的两个角的平分线互相垂直.其中正确的说法有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】

利用对顶角，邻补角，直线，射线，线段，角的概念，余角和补角等知识点逐项进行分析即可作出判断.

【详解】

解：（1）射线有起点，终点在无穷远处，无法延长，故（1）错俣；

（2）角的定义是具有公共点的两条射线组成的图形.故（2）错误：

（3）在直线上画两点，两点之间的部分就是一条线段，在直线上画一点，这点把直线分成两部分，这两部

分就是两个相反方向的射线.所以线段和射线都是直线的一部分.故（3）正确；

（4）两个角的和等于90。，就说这两个角互为余角.如45。+45。=90。，故（4）错误；

（5）根据钝角的定义可知，大于直角而小于平角的角叫做钝角.故（5）正确;

（6）因为补角=18（）。-这个角，而余角=90。-这个角，故（6）项正确；

（7）相等