石家庄市第八十某中学七年级下册数学期末试卷培优测试卷

石家庄市第八十一中七年级下册数学期末试卷培优测试卷

一、解答题

1.已知，ABW0£,点C在28上方，连接8C、CD.

(1)如图1,求证：ZBCD+zCDE=AABC；

(2)如图2,过点C作CF_L8c交ED的延长线于点F,探究NABC和NF之间的数量关

系；

(3)如图3,在(2)的条件下，NCFD的平分线交CD于点G,连接G8并延长至点，,

若BH平分NABC,求NBGD-ZCGF的值.

2.已知，AEUBD,ZA=N£).

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,作NfiAE的平分线交于点/，点G为A8上一点，连接AG,若NC尸G的

平分线交线段AG于点〃，连接AC,gZACE=ZBAC+ZBGM,过点”作交

AG的延长线于点M,且3NE—5NAEH=18。，求NE4尸+NGW7的度数.

3.如图，直线PQ〃MN,一—副直角三角板AA8C,△。石尸中，

ZACB=NEDF=90",43C=4BAC=45°,ZDFE=30、NDEF=60.

(1)若A力所如图1摆放，当㈤力平分/户所时，讦明：FD平分/EFM.

图1

(2)若AABC,ADEF如图2摆放时，则ZPDE

图2

(3)若图2中固定，将ADE尸沿着AC方向平移,边Q户与直线PQ相交于点G.

作/尸GQ和NGE4的角平分线S、户H相交于点”(如图3),求NGHF的度数.

D

图3

(4)若图2中△£)£厂的周长35c7〃,A/=5C7〃，现将AABC固定，将ME/沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到△DEA，点。、E的对应点分别是。'、请直接写

出四边形。石4。'的周长.

(5)若图2中AD即固定，(如图4)将AA8C绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线4N首次重合的过程中，当线段AC与A/光下的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

图4

4.已知，如图1,射线PF分别与直线48,CD相交于E、F两点,NPFO的平分线与直线

A8相交于点M,射线PM交CD于点N,设/PFM=a。，ZEMF=6°,且(40・2a)2+|0

-20|=0

pp

Q

（1）a=,6=；直线八8与C。的位置关系是；

（2）如图2,若点G、H分别在射线和线段MF上，且NPNF,试找出NFMA/

与NG〃F之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3）,分别与48、C。相交于

点Ml和点/VI时，作NPM18的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中

今会的值是否改变？若不变，请求出其值：若变化，请说明理由.

5.如图，已知直线A8//射线CD,/CEB=110。./,是射线所上一动点，过点尸作

PQ//EC交射线CD于点、Q,连接CP.作NPb=NPC。，交直线A8于点尸，CG平分

NECF.

（1）若点/）,F,G都在点E的右侧.

①求NPCG的度数；

②若ZEGC-ZECG=30°,求NCPQ的度数.（不能使用“三角形的内角和是180。〃直接解

题）

（2）在点尸的运动过程中，是否存在这样的偕形，使/EGC:NEFC=3:2?若存在，直

接写出NCPQ的度数；若不存在.请说明理由.

二、解答题

6.为了安全起见在某段铁路两旁安置了两库可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM

开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯“射线从砂开始顺时针旋转至“便立即|可转，两

灯小停交乂照射巡视.若灯A转动的速度是每杪2度，灯8转动的速度是每杪1度.假定

主道路是平行的，即且N/MM：ZZM/V=3:2.

(1)填空：NHAN=

（2）若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线到达8Q之前，A灯转

动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C

作N4CO交尸。于点。，且ZACZ）=126。，则在转动过程中，请探究ZBAC与N3CD的数量

关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

7.为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条A8、BC、

ED,并说明理由；

（2）如图3,若NC=NO=35。，调整线段人B、AC使得48//CO求出此时DB的度数，

要求画出图形，并写出计算过程.

（3）若NC=85。，ZD=35°,AB/IDE,请直接写出此时DB的度数.

8.如图1,。为直线A8上一点，过点。作射线OCNAOC=30°,将一直角三角板

（ZM=30°）的直角顶点放在点。处，一边。N在射线OA上，另一边与OC都在直线

AO^OB

备用图1备用图2

（工）几秒后ON与。。重合？

（2）如图2,经过/秒后，MN〃48,求此时才的值.

（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕。点以每秒6。的速度沿顺时针方向旋转一周,

那么经过多长时间OC与OM重合？请画图并说明理由.

（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分/MOB?请画图并说明理由.

9.（感知）如图①，AB//CD,ZAEP=40,ZPFD=130）,求NEPF的度数.小明想到了

以下方法：

pp

解：如图①，过点尸作月W〃人8,

.•.N1=a4稗=40（两直线平行，内错角相等）

QAB//CD（已知），

:.PM//CD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.N2+NP尸£>=180°（两直线平行,同旁内角互补）.

•・・NP尸。=130°（已知），

/.Z2=180-1300=501（等式的性质）.

.•.Nl+N2=40+50=90（等式的性质）.

即NE/于=90"（等量代换）.

（探究）如图②，ABUCD,ZAEP=50,ZPFC=120\求N£P/的度数.

（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，NP£4的平分线和NPFC的平分线交于点

G,则NG的度数是\

10.如图，已知4VHI8MN4=64。.点P是射线AM上一动点（与点八不重合），BC、

8D分别平分/ABP和NPBN,分别交射线4M于点C,D.

（1）①/48N的度数是；AMWBN,：.^ACB=A；

（2）求NCBD的度数：

（3）当点P运动时，/AP8与/4。8之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写

出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；

（4）当点P运动到使N4CB=NA8D时，NA8c的度数是.

三、解答题

11.如图，直线AB〃C力，E、尸是A3、CD上的两点，直线/与A3、8分别交于点

G、H,点，是直线/上的一个动点（不与点G、〃重合），连接尸E、PF.

EQBEB3

C-7^FDC-NFDc/下D

//备用圈/务用阳

(1)当点尸与点E、尸在一直线上时，NGEP=NEGP,N-7Q=60。，则

ZPFD=.

(2)若点。与点E、尸不在一直线上，试探索NAEP、NEPF、NCQ之间的关系，并证

明你的结论.

12.己知:如图①，直线MN_L直线PQ,垂足为0,点A在射线0P上，点3在射线。。上

(A、8不与。点重合)，点C在射线ON上且OC=2,过点。作直线〃/PQ.点。在点C的

左边且CO=3

⑴直接写出的A5CO面积;

(2)如图②，若ACJL8C,作NCBA的平分线交OC于E,交AC于川，试说明

ZCEF=ZCFE;

-工亡。

DC1

②

N

③

(3)如图③，若44。。=乙P4C,点“在射线。。上运动.ZAC8的平分线交D4的延长线

。靠的值是否变化?若不变,求出其值港变化,求出变化范围.

于点〃，在点B运动过程中

13.如图，MN//GH,点4、8分别在直线MN、GH上，点0在直线MMGH之间，若

ZNAO=\\60,"8〃=144。

(1)ZAOB=°：

(2)如图2,点C、D是公AO、NG3O角平分线上的法点，且NS加=35。，求NACO的

度数；

(3)如图3,点F是平面上的一点，连结以、FB,E是射线E4上的一点，若NM4E=

nZOAE,4HBF=n/OBF,且NA阳=60。，求/)的值.

GH上,在RfADEF中,/。庄=90。,边。石在直线48上，ZEDF=45°；

(1)如图1,求NB4N的度数；

(2)如图2,将沿射线84的方向平移，当点尸在例上时，求NA灰度数；

(3)将用△。砂在直线A8上平移，当以4。、尸为顶点的三角形是直角三角形时，直

接写出NQWV度数.

15.已知，如图1,直线l2_Ui，垂足为A,点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C

不与点A重合，点D在直线L上，点A的右侧，过点E在直线I上，点D的

下方.

(1)12与b的位置关系是；

(2)如图1,若CE平分NBCD,且NBCD=70。，则NCED=。，ZADC=°；

(3)如图2,若CD_LBD于D,作/BCD的角平分线，交BD于F,交AD于G.试说明：

ZDGF=ZDFG；

(4)如图3,若NDBE=NDEB,点C在射线AM卜运动.NBDC的角平分线交EB的延长

线于点N,在点C的运动过程中，探索NNZBCD的值是否变化，若变化，请说明理由；

若不变化，请直接写出比值.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）证明见解析；⑵;（3）.

【分析】

（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性

质可得，由此即可得证；

（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质

解析：（1）证明见解析：（2）ZABC-ZF=90°；（3）45°.

【分析】

（1）过点。作b〃A5,先根据平行线的性质可得45C+N3b=180。，再根据平行公

理推论可得C/〃。E,然后根据平行线的性质可得NCDE+N次#+/8。＞=180。，由此即

可得证；

（2）过点C作CG〃/18,同（1）的方法，先根据平行线的性质得出

ZABC+ZBCG=180°,ZF+ZBCG+ZBCF=180°,从而可得NABC-/尸=NBCF,再

根据垂直的定义可得/及了=90。，由此即可得出结论：

（3）过点G作GM||A4,延长2至点N,先根据平行线的性质可得N/W”=ZMG〃，

4MGN=/DFG,从而可得NA/G〃—NMGN=NAM—NO/G,再根据角平分线的定义、

结合（2）的结论可得NMGH-/MGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

ZBGD-ZCGF=Z.MGH-ZMGN,由此即可得出答案.

【详解】

证明：（1）如图，过点。作。尸〃48,

ZA8C+N8b=180°,

vAB\\DEt

:.CFPDE,

;.NCDE+NDCF=180°,即NCDE+N8CF+N8CQ=180。,

:"CDE+/BCF+/BCD=AABC+NBCF,

:"BCD+/CDE=ZABC；

(2)如图，过点C作CG〃A5,

:.ZABC+ZBCG=}S0G,

vAB\\DEt

:.CG\\DE,

ZF+ZFCG=180°,即/尸+乙BCG+ZBCF=180°,

/.ZF+4BCG+NBCF=AABC+NBCG,

:.ZABC-4F=NBCF,

vCFIBC,

ZBCF=90°,

/.ZABC-ZF=90°：

(3)如图，过点6作训||人兄延长AG至点N,

：.ZABH=ZMGH,

AB\\DEt

：.GM||DE,

:.ZMGN=4DFG,

•.•8〃平分NABC,FN平分4CFD,

NABH=-NABC,NDFG=-ZCFD,

22

由(2)可知，ZABC-NCFD=90。,

NMGH-NMGN=/ABH—ZDFG=-AABC-ZCFD=45°,

22

ZBGD=ZMGH+ZMGD

V•-J,

,4CGF=4DGN=ZMGN+NMGD

/BGD-ZCGF=/MGH-AMGN=45°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性

质是解题关键.

2.（1）见解析；⑵

【分析】

（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即

可得证；

（2）过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得

出，再根据平角的

解析：（1）见解析；（2）72°

【分析】

（1）根据平行线的性质得出乙4+/«=1200,再根据等量代换可得N8+ND=180。,最后根

据平行线的判定即可得证；

（2）过点E作EP//CD,延长DC至Q,过点M作MN〃A8,根据平行线的性质及等量

代换可得出N£CQ=N8GM=NOR7,再根据平角的含义得出=NCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出NBHF=NCFH/CFA=/FAB:设

NFAB=a/CFH=B，根据角的和差可得出NA£C=2NA”,结合已知条件

3NAEC-544-/=180。可求得4切=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

（1）证明：vAE//BD

/.ZA+ZB=I8O°

•.•ZA=ZD

Zfi+ZD=180°

AB//CD；

（2）过点、E作EP//CD,延长DC至Q,过点M作必V〃A8

-AB//CD

ZQCA=ZCAB,4BGM=4DFG,/CFH=/BHF,^CFA=FAG

•/ZACE=ZBAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=NR4C+NBGM

/ECQ=NBGM=NDFG

/ECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

:./ECF=ZCFG

AB//CD

AB//EP

ZPEA=NEAB,4PEC=NECF

ZAEC=/PEC-ZPEA

ZAEC=Z.ECF-NEAB

NECF=NA£C+ZEAB

MF平分ZfiAE

AZEAF=ZFAB=-ZEAB

2

FH平分/CFG

4CFH=乙HFG=-/CFG

2

QCD//AB

/BHF=乙CFH/CFA=NFAB

设4FAB=a,4CFH=0

ZAFH=4CFH-ZCFA=ZCFH-ZFAI3

:仆FH=B-a,4BHF=4CFH=。

：.ZECF+2ZAFH=ZAEC+NEAB+2ZAFH=ZAEC+2/7

NECF+2ZAFH=NE+2/BHF

：.ZAEC=2ZAFH

v3ZA£C-5Z4/7/=180°

ZAFH=\S°

，：FH】HM

：.NFHM=90。

NGHM=90。—。

NCFM+NNMF=\80°

，NHMB=4HMN=90°-/?

AEAF=/FAB

NEAF=ZCE4=NCFH-NAFH=/7-18°

/./EAF+NGMH=O-18°+9O0-户=72。

ZEAF+ZGMH=72°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

3.(1)见详解：(2)15°；(3)67.5°：(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性

解析：(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性质即可求得答案；

(3)如图3,分别过点F、H作FLIIMN,HRIIPQ,运用平行线性质和角平分线定义即可

得出答案；

,,

(4)根据平移性质可得。'A=DF,DD=EE=AF=5cmf再结合。E+EF+DF=35cm,可得

出答案；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当8GIDE时，②当8GIEF时，③当8cliDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解

即可.

【详解】

(1)如图1,在ADEF中，ZEDF=90°,NDFE=30°,ZDEF=60°,

E

图1

1.,ED平分/PEF,

/.ZP£F=2NPED=2/DEF=2x60°=120°,

PQIIMN,

：.ZMFE=13Q°-APEF=180°-120°=60°,

ZMFD=NMFE-ADFE=60°-30°=30°,

/.ZMFD=NDFE,

FD平分NEFM；

(2)如图2,过点£作£日1乂初

图2

Z84c=45°,

ZKEA=484C=45°,

PQIIMN,EKWMN,

/.PQIIEK,

：.ZPOE=NOEK=NDEFYKEA,

又二ZDEF=60°.

ZPDE=600-45o=15°,

故答案为：15。；

(3)如图3,分别过点F、H作F如MN,HR11PQ,

图3

NL0=N84C=45°,ZRHG=Z.QGH,

FL\lMN,HRWPQ,PQIMN,

FLIIPQIIHR,

：.ZQGF+/GFL=180°,ZRHF=/HFL=AHFA-ZLFA,

,.ZFGQ和/GFA的角平分线GH、FH相交于点H,

NQGH=；NFGQ,/HFA=g/GFA,

Z。/±=3。°,

ZGE4=180°-ZDFE=150°,

...ZHFA=^AGFA=75°f

：.ZRHF=NHFL=Z.HFA-NLE4=75°-45°=30°,

ZGFL=AGFA-/.LE4=150°-45°=105°,

；.NRHG=NQGH=；NFGQ=g(180°-105°)=37.5°,

ZGHF=NRHG+/RHF=37.5°+30°=67.5"；

(4)如图4,•.•将AOEF沿着8方向平移至点F与八重合,平移后的得到△D'E'A,

图4

；.D'A=DF,DD'=E&=4F=5cm,

*/OE+EF+OF=35cm,

0£+EF+oa+AF+00'=35+10=45(cm),

即四边形。£4/的周长为45cm；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈,即每秒转3。,

分三种情况：

8CIIOE时，如图5,此时ACIIDF,

3t=30,

解得：t=10；

BCWEF时，如图6,

ZBAE-8=45°,

/.ZBAM=Z.8AE+/E4M=450+45°=90°,

3t=90,

解得：t=30；

图7

,/ZDRM=NEAM+Z.DFE=450+30°=75°,

ZBKA=2DRM=75°,

■：ZACK=180°-/ACB=9D0,

/.ZCAK=90°-Z.8KA=15°,

/.ZC4E=180°-NEAM-NCAK=180°-45°-15°=120°,

3t=120,

解得：t=40,

综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时,线段BC与△DEF的一

条边平行.

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平

行线性质是解题关键.

4.（1）20,20,；（2）；（3）的值不变，

【分析】

（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；

（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；

（3）作的平分线交的延长线于

2FPN

解析：（1）20,20,AB//CD；（2）ZFMV+ZGHF=180°；（3）'的值不变,

NFPN、二？

NQ一一

【分析】

（1）根据（40-2々门+|夕-20|=0,即可计算0和£的值,再根据内错角相等可证A8//CO；

（2）先根据内错角相等记G”〃PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

/FMN+NGHF=18V；

（3）作NPEM的平分线交的延长线于R，先根据同位角相等证必/"0，得

/FQMi=NR,设/PER=/REB=x,NPMM==y,得出/七/^=2/穴，即可

得空也=2

伶ZQ

【详解】

解：(1)v(40-2a)2+|/7-20|=0,

.•.40-2a=0,』-20=0,

.”=尸=20,

Z.PFM=ZMFN=20°,AEMF=20°,

:.4EMF=/MFN,

ABHCD；

故答案为：20、20,AB//CD；

(2)/FMN+NGHF=18V；

理由：由(1)得A8//C。，

NF=/PME,

\'ZMGH=^MNF,

"PME=/MGH,

:.GH//PN,

NG“M=NFMN,

4GHF+/GHM=180°,

NFMN+NGHF=180。；

NFPN4FPN、

(3)的值不变,=2.

NQ

理由：如图3中，作NPEM的平分线交用卫的延长线干R，

-AB//CD,

/.NPEMi=4PFN,

\^PER=^PEM,,NPF2=g/PFN,

：.NPER=NPFQ,

J.ERUFQ,

图3

/./FQM\=NR,

设NPER=NREB=x,NPM】R=NRMe=y,

y=x+ZR

则有：2cy=2cx+//ESPAM“，

可得NEP%=2ZR,

NEPM、=2ZFQMl,

./“M.2

-ZFQMt•

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

5.(1)①35°；(2)55°；(2)存在，或

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=ZGCF=20°

解析：(1)①35。；(2)55°；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=/GCF=20。，再根据PQIICE,

即可得出/CPQ=N£CP=60°；

(2)设NEGC=3x,ZEFC=2x,则/GCF=3x-2x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点£的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)CD,

ZCE8+ZFCQ=180°,

•••ZCfB=110°,

ZECQ=70。,

,/ZPCF=ZPCQ,CG平分/ECF,

...ZPCG=ZPCF+ZFCG/NQCF+g/FCE=Z£CQ=35°；

(2)\-AB\\CD,

NQCG=ZEGC,

ZQCG+Z£CG=ZECQ=70°,

/.ZEGC+ZECG=70°,

又•••ZEGC-Z.ECG=30°,

ZEGC=50°,ZECG=20°.

ZECG=ZGCF=20°,ZPCF=iPCQ=g(70°-40°)=15°,

•「PQIICE,

：.ZCPQ=ZECP=NECQ-NPCQ=70o-15°=55°.

(2)52.5。或7.5。,

设NEGC=3x°,ZEFC=2x\

•.,4811CD,

：.ZQCG=ZEGC=3x°,ZQCF=ZEFC=2x°,

则NGCF=ZQCG-NQCF=3xQ-2x0=x°,

ZPCF=ZPCQ=；4FCQ=；NEFC=x°,

则N£CG=ZGCF=NPCF=NPCD=X。,

ZECD=70°,

/.4x=70°,解得x=17.5°,

ZCPQ=3x=52.5°；

②当点G、F在点E的左侧时，反向延长C。到H,

Q

,/ZEGC=3x,ZEFC=2x°t

...NGCH"EGC=3x0,NFCH=NEFC=2x°,

ZECG入GCF=GCH-NFCH-x0,

•/ZCGF=1800-3x\ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

/.ZFCQ=NECF+NECQ=27.5°x2+7O0=1250,

ZPCQ=yZFCQ=62.59,

/.ZCPQ=ZECP=62.5°-55°=7.5°,

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相

等是解题的关键.

二、解答题

6.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根据NBAM+NBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

数；

(2)设A灯转动t秒，

解析：(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，Z3AC=2ZBCD

【分析】

(1)根据N明M+N84V=180。，ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到N84V的度数；

(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0V1V90时，根

据2t=1・(30+t),可得t=30；当90VtV150时，根据1・(30+t)+(2M80)=180,可得

t=110；

(3)设灯A射线转动时间为t秒，根据N84C=2t-108。，ZBCD=126°-Z8C4=t-54°,即可得

出NBAC：Z88=2：1,据此可得NBACfllZBCD关系不会变化.

【详解】

解：(1)NB4M+N84N=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,

2

/.ZB/4/V=180oxy=72°,

故答案为：72：

(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0VtV90时,如图1,

ffil

,/PQIIMN,

ZPBD=Z.BDA,

■：ACWBD,

：.ZCAM=Z.BDA.

/.ZCAM=tPBD

2t=l・(30+t),

解得f=30；

②当90VtV150时，如图2,

1/PQIIMN,

ZPBD+Z804=180°,

,/ACWBD,

ZCAN=Z.BDA

：.ZP8D+NCAN=180°

：.1*(30+t)+(2M80)=180,

解得t=110,

综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行;

(3)N8AC和N8C。关系不会变化.

理由：设灯4射线转动时间为t秒，

/.ZBAC=72°-(180°-2t)=2M08°,

又二ZADC=108°-t,

Z8a=180°-/ABC-Z.84c=180”,而NACD=126°,

Z8CD=126°-Z88=126,(180°-t)="54°,

/.ZBAC：ZBCD=2：1,

BPZ832/BCD,

ZBAC和NBCD关系不会变化.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想

进行求解，解题时注意：构直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

7.（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50°

或130。或60。或120°

【分析】

（1）过点C作CFIIAB,根据NB=50。,N085°,ZD=35°,即可得C

解析：（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50。或130。或

60。或120。

【分析】

（1）过点C作CFIIA8,根据NB=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得CFIIED,进而可以判断

AB平行于E。；

（2）根据题意作4811CD,即可N8=NC=35°；

（3）分别画图，根据平行线的性质计算出N8的度数.

【详解】

解：（1）48平行于ED,理由如下：

如图2,过点C作CFIIAB,

/.ZBCF=/8=50°,

丁ZBCD=85°,

ZFCD=85°-50°=35°,

・「Z0=35。，

ZFCD=ZD,

/.CFIIED,

1/CFIIAB,

（2）如图，即为所求作的图形.

ABWCD,

/.ZABC=AC=35°,

的度数为：35。：

图4

A'BWCD,

/.ZABC+AC=180°,

「•/8的度数为：145°；

」.N8的度数为：35。或145。：

(3)如图2,过点C作CFIIAB,

:48IIDE,

CFIIDE,

：.ZFCD=Z0=35°,

,/Z8385°,

Z8CF=850・35°=50°,

/.Z8=NBCF=50\

答：N8的度数为50。.

如图5,过C作CFIIA8,则A8IICFIICD,

如图6,•/ZC=85°,Z0=35°,

c

图6

ZCFD=1800-85o-350=60o,

ABWDE,

：.Z8=ZCFD=6Q\

如图7,同理得：/B=35°+85°=120°,

综上所述，N8的度数为50。或130。或60。或120。.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运

用.

8.（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）秒，画图见解析

【分析】

（1）用角的度数除以转动速度即可得；

（2）求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t；

（3）设NAON=3

70

解析：（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）—秒，画图见解析

3

【分析】

（1）用角的度数除以转动速度即可得；

（2）求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t;

（3）设NAON=3t,则NAOC=30、6t,由题意列出方程，解方程即可；

（4）根据转动速度关系和OC平分NMOB,由题意列出方程，解方程即可.

【详解】

解：（1）V304-3=10,

10秒后ON与OC重合；

（2）MNIIAB

ZBOM=ZM=30°,

:ZAON+ZBOM=90°,

...ZAON=60\

t=60v3=20

二.经过t秒后，MNIIAB,t=20秒.

(3)如图3所示：

图3

•/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM,

三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕0点以每秒6。的速度旋转,

设NAON=3t,则NAOC=300+6t,

,/OC与OM重合，

ZAOC+ZBOC=180°,

可得：(30°+6t)+(90°-3t)=180°,

解得：t=20秒；

即经过20秒时间OC与OM重合；

(4)如图4所示：

•/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

V三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕0点以每秒6。的速度旋转，

设NA0N=3t,ZAOC=30°46t,;ZBOM+ZAON=90°,

/.ZBOC=ZCOM=^-ZBOM=y(90°-3t),

由题意得：180°-(30°+6t)(90°-3t),

70

解得：t=二秒，

即经过四秒OC平分/MOB.

3

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细

观察图形，找到各个量之旬的关系求出角的度数是解题的关键.

9.［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线

解析：［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据/PEA的平分线和/PFC的平分线交于点G,

可得/G的度数.

【详解】

ZMPE=ZAEP=50°（两直线平行,内错角相等）

VABHCD（已知），

APMIICD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.NPFC=NMPF=120。（两直线平行,内错角相等）.

ZEPF=ZMPF-MPE=120*50o=70o（等式的性质）.

答：NEPF的度数为70。；

［应用］如图③所示，

EG是/PEA的平分线,PG是/PFC的平分线，

过点G作GMIIAB,

・•.NMGE=ZAEG=25。（两直线平行，内错角相等）

VABIICD（已知），

/.GMIICD（平行于同一釜直线的两直线平行），

/.ZGFC=ZMGF=60°（两直线平行，内错角相等）.

/.ZG=ZMGF-MGE=60°-25°=35°.

答：NG的度数是35。.

故答案为：35.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定

与性质.

10.(1)①②；(2)；(3)不变，，理由见解析；(4)

【分析】

(1)①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行

线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；

(2)由角平分线的

解析：(1)①116。，②CBN；(2)58°；(3)不变，ZAPB:ZADB=2;1,理由见解析；

(4)29°.

【分析】

(1)①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，

两直线平行，内错角相等可直接写出；

(2)由角平分线的定义可以证明NCBD=g/ABN,即可求出结果；

(3)不变，ZAPB：ZADB=2:1,证NAPB=NPBN,ZPBN=2ZDBN,即可推出结论；

(4)可先证明NABC=NDBN,由(1)ZABN=116\可推出NCBD=58。，所以

ZABC+ZDBN=58°,则可求出/ABC的度数.

【详解】

解：(1)(I)-：AM//BN,ZA=64°,

ZABN=180°-ZA=116°,

故答案为：116。；

②:AM//BN,

/.ZACB=ZCBN,

故答案为:CBN：

(2)AM//BN,

ZABN+ZA=180°,

ZABN=180°-64O=116°,

ZABP+ZPBN=116°,

,.BC平分NABP,BD平分NPBN,

ZABP=2ZCBP,ZPBN=2ZDBP,

2ZCBP+2ZDBP=116°,

/.ZCBD=ZCBP+ZDBP=58°；

(3)不变，

ZAPB：ZADB=2：1,

•「AM//BN,

/.ZAPB=ZPBN,ZADB=ZDBN,

•••BD平分NPBN,

/.ZPBN=2NDBN,

/.ZAPB：ZADB=2：1：

(4)VAM//BN,

/.ZACB=ZCBN,

当NACB=ZABD时，

则有NCBN=ZABD,

/.ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBN

/.ZABC=ZDBN,

由(1)ZABN=116°,

ZCBD=58°,

ZABC+ZDBN=58°,

ZABC=29°,

故答案为:29°.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关健是能熟练运用平行线的性质并能

灵活运用角平分线的定义等.

三、解答题

11.(1)120°；(2)NEPF=NAEP+NCFP或NAEP=NEPF+NCFP,证明见详

解.

【分析】

(1)根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由ABIICD,

ZFHP=60°,可以推出

解析：(1)120°;(2)NEPF=NAEP+NCFP或NAEP=NEPF+NCFP,证明见详解.

【分析】

(1)根据题意，当点尸与点E、尸在•直线上时，作出图形，由ABIICD,ZFHP-60e,可

以推出NGEP=NEGP=60。,计算/PFD即可；

(2)根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB

上方时；③当点P在CD下方时，分别求出NAEP、/EPF、NCFP之间的关系即可.

【详解】

(1)当点尸与点E、尸在一直线上时，作图如下，

,/ABIICD,ZFHP=60°,NGEP=NEGP,

NGEP=NEGP=ZFHP=60°,

ZEFD=1800-ZGEP=180c-60°=120°,

/.ZPFD=120°,

故答案为：120。；

(2)满足关系式为NEPF=ZAEP+ZCFP或/AEP=ZEPF+ZCFP.

证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：

①当点P在AB与CD之间时，

过点P作PQHAB,如下图，

,/ABIICD,

PQHABIICD,

/.ZAEP=ZEPQ,ZCFP=ZFPQ,

ZEPF=ZEPQ+ZFPQ=ZAEP+ZCFP,

②当点P在AB上方时，如下图所示,

,/ZAEP=ZEPF+ZEQP,

ABIICD,

...ZCFP=ZEQP,

ZAEP=ZEQF,

ZEQF=ZEPF+ZCFP,

J.ZAEP=ZEPF+ZCFP,

EB

综上所述，NAEP、NEPF、NCFP之间满足的关系式为：NEPF=NAEP+NCFP或

ZAEP=ZEPF+ZCFP,

故答案为：ZEPF=ZAEP+ZCFP或NAEP=ZEPF+ZCFP.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨

论问题.

12.⑴3；⑵见解析;⑶见解析

【详解】

分析：(1)因为4BCD的高为0C,所以BCD;CD・OC,(2)利用

ZCFE+ZCBF=90°,ZOBE+ZOEB=90°,求出NCEF二N

解析：(1)3;(2)见解析;⑶见解析

【详解】

分析：(1)因为△8C。的高为0C,所以SAB8=]CD・0C,(2)利用NCFE+NCBF=90。,

ZOBE+ZOEB=90°,求出/CEF=NCFE.

(3)由NABC+NACB=2ZDAC,ZH+NHCA=NDAC,ZACB=2Z.HCA,求出/48c=2/H,

即可得答案.

详解：(1)SA88=!C0・0C=[X3X2=3.

22

(2)如图②,\'AC±BC,：.Z.BCF=9Q\ZCFE+ZCfiF=90°.二•直线MN_L直线PQ,

J.ZBOC=ZOBE+Z.OEB=9D°.：BF是/CBA的平分线，ZCBF=NOBE.丁ZC£F=ZOBE,

ZCFE+NCBF=NCEF+NOBE,：.ZCEF=NCFE.

(3)如图③，••,直线川PQ,N4DC=N%D.NADC=NDAC

ZC/AP=2ZDAC.,/ZABC+NACB=NCAP,

ZA8C+NACB=2ZDAC.ZH+NHCA=NDAC,:.ZABC+ZACB=2ZH+2ZHCA

/H

:CH是，N4C8的平分线,ZACB=2Z.HCA,：.ZABC=2^H,：.------=-.

ZABC2

H

②®

点睛：本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求解.

13.(1)100；(2)75°；(3)n=3.

【分析】

(1)如图：过。作OP〃MN,由MN//OP//GH得NNAO+ZPOA=180°,

ZPOB+ZOBH=180°,即NNAO+ZAOB+zOB

解析：(1)100；(2)75°；(3)n=3.

【分析】

(1)如图：过。作OP“MN,由MN//OP//GH得NNAO+NPO4=180°,

ZPOB+Z.OBH=180°,即/NAO+Z.AOB+Z.。8H=360°,即可求出/AOB；

(2)如图：分别延长八C、C。交GH于点E、F,先根据角平分线求得NNAC=58。，再根据

平行线的性质得到NCE尸=58。；进一步求得NZ)8F=18。，/DFB=17。，然后根据三角形外

角的性质解答即可；

(3)设BF交MN于K,[t|ZNA