陕西省石泉县高中数学 第三章 导数应用 3.1.2 函数的极值教学设计 北师大版选修2-2

陕西省石泉县高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值教学设计北师大版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）陕西省石泉县高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值教学设计北师大版选修2-2课程基本信息1.课程名称：陕西省石泉县高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年10月20日星期五第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过函数极值的学习，学生能够理解导数在研究函数性质中的应用，提高分析问题和解决问题的能力。同时，培养学生运用数学语言表达数学思维，提升数学表达和交流的能力。教学难点与重点1.教学重点：

-理解导数与函数极值的关系：学生需要掌握如何通过导数的正负变化来判断函数的极大值和极小值。

-函数极值点的判定：重点掌握二阶导数在判定极值点中的应用，例如，当二阶导数大于0时，函数在该点处取得极小值；当二阶导数小于0时，函数在该点处取得极大值。

-应用实例：例如，在函数f(x)=x^3-3x^2+4x中，通过求导找到极值点，并判断极值类型。

2.教学难点：

-导数符号的判断：学生在判断导数正负时容易出错，需要通过具体实例帮助学生理解和掌握。

-极值点与拐点的区分：学生可能难以区分极值点和拐点，需要通过图形和计算来强化这一概念。

-高次多项式导数的计算：对于高次多项式的导数计算，学生可能会感到困难，需要通过简化步骤和公式记忆来辅助学习。

-应用问题中的实际操作：在解决实际问题时，学生可能难以将导数的概念应用到具体的物理或工程问题中，需要通过实例分析和讨论来提升应用能力。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、白板或黑板、粉笔

-课程平台：学校内部教学平台、数学教学软件

-信息化资源：函数图像生成软件、在线数学工具、教学视频资源

-教学手段：实物教具（如函数图像模型）、多媒体课件、课堂练习题教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示一系列生活中的实际问题，如物体的运动速度变化、商品价格与销售量关系等，引导学生思考这些现象背后的数学原理。

-回顾旧知：回顾函数单调性的概念，引导学生回忆如何通过导数的正负来判断函数的单调性。

2.新课呈现（约25分钟）

-讲解新知：

-详细讲解函数极值的定义，包括极大值、极小值和鞍点的概念。

-讲解如何通过导数来判断函数的极值点，包括一阶导数和二阶导数的应用。

-举例说明：通过具体的函数例子，如f(x)=x^2，展示如何找到极值点并判断极值类型。

-互动探究：

-引导学生讨论如何在实际问题中应用导数来寻找极值点。

-分组进行实验，让学生通过计算不同函数的导数，观察极值点的出现。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

-学生独立完成练习题，包括判断极值点、求极值和绘制函数图像。

-学生互相检查作业，讨论解题过程中的难点和疑问。

-教师指导：

-教师巡视课堂，针对学生在练习中遇到的问题进行个别指导。

-教师选择一些具有代表性的问题进行讲解，帮助学生理解。

4.深入探讨（约15分钟）

-讨论函数极值在实际问题中的应用，如物理学中的能量最小化问题、经济学中的成本最小化问题等。

-引导学生思考如何将导数的概念与实际情境相结合，提高学生的应用能力。

5.总结与反思（约5分钟）

-学生总结本节课所学内容，包括函数极值的定义、判断方法和应用实例。

-教师引导学生反思学习过程中的收获和不足，提出改进建议。

6.布置作业（约5分钟）

-布置课后练习题，包括理论题和应用题，以巩固学生对函数极值的理解。

-提醒学生注意作业的完成时间和提交方式。

教学过程中，教师应密切关注学生的反应，适时调整教学节奏和内容，确保每个学生都能跟上教学进度。同时，鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《高等数学导论》中关于导数在几何中的应用部分，可以让学生了解导数在研究曲线的切线斜率、曲率等几何性质中的作用。

-《微积分原理》中关于极值问题的讨论，特别是如何通过导数来解决实际中的优化问题，如最短路径、最大面积等。

-《数学分析》中的导数存在定理和可导性的相关内容，有助于学生深入理解导数的概念和性质。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试解决一些历史数学问题，如牛顿在研究万有引力定律时如何使用导数来解决问题。

-引导学生探究不同类型函数的极值问题，例如三角函数、指数函数和对数函数的极值特性。

-鼓励学生通过数学建模，将导数的概念应用到实际问题中，如优化生产流程、经济预测等。

-组织学生参与数学竞赛或创新项目，通过实际操作来加深对导数应用的理解。

-建议学生阅读相关的科普文章或数学杂志，了解导数在科学研究和工程实践中的应用案例。反思改进措施教学特色创新：

1.案例教学：我尝试通过实际案例来讲解函数极值的应用，比如将数学问题与物理、经济等实际问题相结合，让学生更直观地理解导数的实际意义。

2.互动式教学：我采用了更多的互动环节，如小组讨论、角色扮演等，以激发学生的学习兴趣和参与度。

存在主要问题：

1.学生对导数概念的理解不够深入：有些学生在面对复杂函数时，难以正确判断导数的正负，导致极值点的判断出错。

2.课堂时间分配不够合理：在讲解新知识时，有时会因为追求深度而忽略了时间控制，导致练习时间不足。

3.学生个性化指导不足：由于班级学生水平参差不齐，个别学生在课堂上的参与度不高，需要更多的个性化指导。

改进措施：

1.强化基础知识教学：我会花更多的时间来讲解导数的基本概念和性质，确保学生有扎实的基础。

2.优化课堂时间管理：我会更加注意课堂时间分配，确保每个环节都有足够的时间让学生消化吸收。

3.增加个性化辅导：我会针对不同学生的学习情况，提供更多的个性化辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。同时，可以考虑设立辅导时间，让学生有更多机会向我提问和讨论。典型例题讲解1.例题：

函数f(x)=x^3-9x在区间[-2,3]上的极值。

解答：

首先求导：f'(x)=3x^2-9。

令f'(x)=0，得x^2=3，解得x=-√3或x=√3。

由于f''(x)=6x，f''(-√3)<0，f''(√3)>0。

因此，f(x)在x=-√3处取得极大值，极大值为f(-√3)=(-√3)^3-9(-√3)=3√3。

f(x)在x=√3处取得极小值，极小值为f(√3)=(√3)^3-9(√3)=-3√3。

2.例题：

函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2在x=0附近的极值。

解答：

首先求导：f'(x)=4x^3-12x^2+12x。

令f'(x)=0，得x(x-1)(4x-12)=0，解得x=0,x=1,x=3。

由于f''(x)=12x^2-24x+12，f''(0)=12>0，f''(1)=0，f''(3)=12>0。

因此，f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=0。

f(x)在x=1处可能为极值点，进一步计算f''(1)=0，无法确定极值类型。

f(x)在x=3处取得极大值，极大值为f(3)=27。

3.例题：

函数f(x)=e^x-ex在x=0附近的极值。

解答：

首先求导：f'(x)=e^x-e。

令f'(x)=0，得e^x=e，解得x=1。

由于f''(x)=e^x，f''(1)=e>0。

因此，f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=e-e=0。

4.例题：

函数f(x)=ln(x)-x^2在x=1附近的极值。

解答：

首先求导：f'(x)=1/x-2x。

令f'(x)=0，得1/x=2x，解得x=1/√2。

由于f''(x)=-1/x^2-2，f''(1/√2)<0。

因此，f(x)在x=1/√2处取得极大值，极大值为f(1/√2)=ln(1/√2)-1/2。

5.例题：

函数f(x)=sin(x)-x在区间[0,π]上的极值。

解答：

首先求导：f'(x)=cos(x)-1。

令f'(x)=0，得cos(x)=1，解得x=0。

由于f''(x)=-sin(x)，f''(0)=0，f''(π)=-1。

因此，f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=0。

f(x)在x=π处取得极大值，极大值为f(π)=-π。板书设计①函数极值的定义

-极大值：函数在某点附近的值均小于该点的函数值。

-极小值：函数在某点附近的值均大于该点的函数值。

-鞍点：函数在某点的函数值既不是极大值也不是极小值。

②极值点的判定

-一阶导数的零点：设f'(x)=0，求出可能的极值点。

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