辽宁省七校协作体2026届高三上学期期初联考数学试卷（含解析）

辽宁省七校协作体2026届高三上学期期初联考数学试卷考试时间:120分钟满分150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一.选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集,集合,则()A. B. C. D.2．“成立”是“成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．不等式的解集是()A. B.C. D.4．根据中国报告大厅对2023年3月—10月全国太阳能发电量进行监测统计,太阳能发电量（亿千瓦时）月度数据统计如下表,则(

)月份345678910发电量242.94230.87240.59259.33258.9269.19246.06244.31A.中位数是259.115 B.极差是36.32C.第85百分位数是257.33 D.第25百分位数是241.7655．记为事件A的对立事件,且,,,则()A. B. C. D.6．已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为()A.e B.1 C. D.7．已知数列中,,记为的前n项和,,则的值为()A.2023 B.2024 C.2025 D.20268．已知在R上恒成立，且，则不等式的解集为()A. B.C. D.二.选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36;自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则()A.B.C.李明计划7:34前到校,应选择坐公交车D.李明计划7:40前到校,应选择骑自行车10．等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是()A.，B.等差数列的公差C.使成立的n最小为10D.当时，取得最小值11．已知函数,则下列说法正确的是()A.若,,则在单调递减B.若,则C.若,则有最小值D.若有解,则实数c的最小值为三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知离散型随机变量X的分布列如下表:若离散型随机变量,则________________X0123Pa5a13．已知函数,,若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线,则________.14．若数列满足（,d为常数）,则称数列为调和数列.已知数列为调和数列,且,则的最大值为_________________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）数列中,,满足.（1）证明:数列为等比数列;（2）求数列的前n项和.16．（15分）设函数,函数.（1）若对于任意的,总存在,使得,求实数m的取值范围;（2）若存在,使得成立,求实数m的最大值.17．（15分）已知．(1)若,求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值,求m的取值范围；18．（17分）有一个摸奖游戏,在一个口袋中装有6个红球和4个黑球,这些球除颜色外完全相同.游戏规定:每位参与者进行次摸球,每次从袋中摸出一个球,有两种摸球方式:一是(有放回摸球)每次摸球后将球均放回袋中,再进行下一次摸球,摸到红球的次数记为X;二是(不放回摸球)每次摸球后将球均不放回袋中,直接进行下一次摸球,摸到红球的次数记为Y.(1)若(i)求随机变量Y的分布列和数学期望;(ii)游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖,在这个规则下,设有放回摸球中奖概率为,无放回摸球中奖概率为,求和并比较它们大小.(2)若,当取得最大时的k值满足,若函数与有两个不同的公共点,求a的取值范围.19．（17分）已知函数,其中,e为自然对数的底数.（1）当时,求函数的单调区间;（2）若函数存在极小值点,且,求实数a的取值范围;（3）若函数有两个零点,,求证:.参考答案1．答案：C解析：因为,全集,故.故选:C.2．答案：B解析：由得或由,得且,所以“成立”是“成立”的必要不充分条件,故选:B.3．答案：D解析：因为,所以.即,可得,解得.故选:D.4．答案：D解析：将数据从小到大排序可得230.87,240.59,242.94,244.31,246.06,258.9,259.33,269.19,共8个数据,所以中位数是,A错误;极差是,B错误;因为,所以第85百分位数是第7个数,即259.33,C错误;因为,所以第25百分位数是,D正确.故选:D.5．答案：C解析：由题意得,,因为,得,则.故选:C.6．答案：D解析：因为在区间上恒成立,所以在区间上恒成立.令,则在上恒成立,所以在区间上单调递减,所以,故.故选:D.7．答案：B解析：数列中,满足,当时,可得,两式相减,可得,即,所以,又由,则.故选:B.8．答案：B解析：令，则，为增函数，故，即解集为.故选：B．9．答案：BCD解析：A.由条件可知,,根据对称性可知,故A错误;B.,,所以,故B正确;C.=,所以,故C正确;D.,,所以,故D正确.故选:BCD10．答案：BC解析：对于A选项，因数列为等差数列，，则，且，则，所以，A错误；对于B选项，由A知，则，则，则公差，B正确；对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确；对于D选项，因为n为正整数，所以D错误.故选：BC.11．答案：BCD解析：易得,对于A,若,,则,,当时,,则在单调递增,A错误;对于B,若,则,,当时,,单减,当时,,单增,则,B正确;对于C,,令,,显然,设两根为,,则,两根异号,不妨设,,则当时,,单减,当时,,单增,则有最小值,C正确;对于D,有解,等价于有解,令,则,当时,,单减,当时,单增,则,则,则实数c的最小值为,D正确.故选:BCD.12．答案：解析：由分布列的性质可知:解得,由,等价于,由表可知;故答案为:13．答案：/解析：因为,,所以,,因为,在公共点处有相同的切线,所以即,所以故答案为:14．答案：解析：因为数列为调和数列,所以,故为等差数列.由,得,所以,所以,故,故,当且仅当或时取等号,由于,当且仅当时取得最大值,故的最大值为.故答案为：.15．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）由,得,又,所以是首项为,公比为的等比数列.（2）由（1）得（,.所以.16．答案：（1）（2）1解析：（1）对于任意的,总存在,使得,即,其中,,当且仅当,即时,等号成立,故,因为是减函数,所以当时,,所以,解得.（2）时,可得,,即,因为,分离参数可得,由题意,不等式在存在解集,则因为,当且仅当,即时等号成立,所以,解得,所以m的最大值为1.17．答案：(1)(2)且.解析：(1)因为,故,故,故,故即为,设,则,故在上为增函数,而即为,故,故原不等式的解为.(2)在有极大值即为有极大值点.,若,则时,,时,,故为的极小值点,无极大值点,故舍；若即,则时,,时,,故为的极大值点,符合题设要求；若,则时,,无极值点,舍；若即,则时,,时,,故为的极大值点,符合题设要求；综上,且.18．答案：(1)(i)分布列见解析,;(ii),.(2)解析：(1)(i)对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,Y可取0,1,2,3,4,,,;;;;;Y服从超几何分布,Y的分布列为:Y01234P,,,所以;(ii)由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖,在这个规则下,设有放回摸球中奖概率为,无放回摸球中奖概率为,对于有放回摸球,各次试验的结果互相独立,,则;;;故,由(i)可知,因为,所以;(2)当,则,若最大,则,即,得,又,,故,,由题得方程有两个不相等的正实根,两边取对数得有两个不相等的正实根,构造函数,求导得,令,解得;当时,;当时,;易知在单调递增,在单调递减,且,,,,可知的图象如下图所示:由数形结合得,,所以.19．答案：（1）答案见详解（2）（3）证明见详解解析：（1）当时,,可知的定义域为,且,设,则,可知在单调递增,且,当时,,即;当时,,即;所以的单调递减区间为,单调递增区间为.（2）由题