山东省菏泽市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

山东省菏泽市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是等比数列,若,,则公比为(

)A. B. C.2 D.42．已知随机变量,且,则a的值为(

)A.-2 B.-1 C.1 D.23．已知函数满足,则在处的导数为(

)A.-5 B.-3 C.2 D.34．3个班分别从5个风景点中选择一处游览,不同选法的种数是(

)A. B. C. D.5．已知函数的图象是下列四个图象之一,且其导函数的图象如图所示,则该函数的图象是(

)A. B. C. D.6．甲乙两人下棋比赛,每局比赛甲获胜的概率为0.4,乙获胜的概率为0.6.某天两人进行一场五局三胜制的比赛,约定最终获胜者赢得100元的奖金.若在比分为的情况下因故终止比赛,现将100元奖金按两人各自最终获胜可能性的比例进行分配,则甲应该分得奖金数为(

)A.28.8元 B.31.8元 C.35.2元 D.40元7．今天是星期六,若（,且）天后仍是星期六,则m的值为(

)A.3 B.4 C.5 D.68．一个箱子中有大小形状相同的1个红球,3个黄球,2个黑球,每次从箱子中随机摸出一个球,摸出的球不再放回,直到球全部取出.则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的有(

)A.独立性检验方法不适用于普查数据B.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到,根据小概率值的独立性检验（）,可判断X与Y有关联,此推断犯错误的概率不超过0.5%C.若A,B两组成对样本数据的相关系数分别为,,则A组数据比B组数据的线性相关程度强D.线性回归分析中,用决定系数来刻画模型拟合效果.值越大,则拟合效果越好10．在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽1道题,抽出的题不放回,设事件“第1次抽到代数题”,“第2次抽到几何题”.则下列说法正确的有(

)A. B. C. D.11．规定,其中,,且,这是组合数(,,且)的一种推广.于是广义二项式定理可写成:,其中,等式右端有无穷项.下列说法正确的有()A.展开式中的系数为B.C.当n为正整数时,D.当m为正奇数时,三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若随机变量X服从两点分布,且,则__________.13．已知二项式的展开式中各二项式系数之和为64,则展开式中常数项为____.14．已知函数,对于正实数a,存在,使得,则a的取值范围为__________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）某高中统计高二年级某班5个学习小组的序号与小组内主动完成周末拓展习题的人数,统计结果如下表:x（小组序号）12345y（主动完成拓展习题的人数）22344已知主动完成拓展习题的人数y与小组序号x具有线性相关关系.（1）求主动完成拓展习题的人数y关于小组序号x的经验回归方程;（2）从这5个学习小组中随机抽取3组,设抽取到组内主动完成拓展习题的人数不低于3人的小组个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.参考公式:,.参考数据:16．（15分）已知函数.（1）当时,求这个函数的图象在点处的切线方程;（2）当时,,求实数a的取值范围.17．（15分）已知数列是等差数列,前n项和为,且（）.（1）求数列的通项公式;（2）定义数列:表示满足（）的正整数n的个数,求数列的前n项和.18．（17分）已知函数.（1）讨论的单调性;（2）设,若有三个不同的极值点,,.（ⅰ）求实数a的取值范围;（ⅱ）证明:,,不构成等比数列.19．（17分）泊松分布是一类重要的离散型分布,若随机变量X服从参数为()的泊松分布(记作),则其概率分布列为(),其中e为自然对数的底数.某科研团队借助人工智能训练中国象棋博弈模型,待模型训练成熟后开展线上测试,该模型单局训练对局失败的概率为p,现从中随机抽取1000次独立训练对局作为观测样本.记失败局数为X,此时,,.(1)当时.(ⅰ)求这1000局中该模型失败的局数小于2局的概率;(ⅱ)求使取得最大值时的k值;(2)当时,证明:.参考答案1．答案：A解析：设等比数列的公比为q,则,故,,解得.2．答案：D解析：随机变量,且,则,解得.3．答案：B解析：由两边求导,得,当时,,解得,所以在处的导数为.4．答案：D解析：由题意可知,每个班都有5种选法,则由分步计数原理可得共有种方法.故选:D5．答案：A解析：由图可知在上单调递减,在上单调递增,则的切线斜率在上递减,在上递增,选项A符合题意;选项B,的切线斜率在上递增,在上递减,不符合题意;选项C,的切线斜率在上递减,不符合题意;选项D,的切线斜率在上递增,不符合题意.故选:A.6．答案：C解析：若甲以比分获胜,则甲连胜两局直接获胜,对应概率为;若甲以比分获胜,则甲,乙先各胜一局,最后甲胜一局结束比赛,对应概率为.则甲最终获胜概率为,从而甲应分得的奖金为元.7．答案：C解析：一周共有7天,若天后仍是星期六,则是7的正整数倍,将变形为:,又,因此,根据二项式定理展开:,展开式中前33项均含有因数7,均为7的倍数,除以7的余数为0,仅最后一项不含因数7,因此除以7的余数为1.由此可得除以7的余数为.要使除以7的余数为0,需满足是7的倍数,已知且,则,因此,解得.8．答案：B解析：若取球3次,则黄球最先被取出的概率为,若取球4次,则黄球最先被取出时,需要前三次取球时有一次取到黑球,剩余两次是黄球,故黄球最先被取出的概率为,综上可得黄球最先被全部取出的概率为.9．答案：ABD解析：对于选项A,独立性检验是基于数据推断总体中两个分类变量是否存在关联的统计方法,普查已获得总体信息,可直接判断变量关联,无需进行抽样判断,因此该方法不适用于普查数据,故选项A正确;对于选项B,计算得,按照的独立性检验规则,拒绝假设,可判断与有关联,此推断犯错误的概率不超过,即0.5%,故选项B正确;对于选项C,线性相关程度由相关系数的绝对值决定,绝对值越接近于1,相关程度越强.,因此B组数据的线性相关程度更强,故选项C错误;对于选项D,线性回归中,决定系数越大,说明残差平方和越小,模型拟合效果越好,故选项D正确.10．答案：ACD解析：选项A:设事件“第1次抽到代数题”,“第2次抽到几何题”,则事件“第1次抽到几何题”,“第2次抽到代数题”,得,,,故选项A正确;选项B:,故选项B错误;选项C:,,故选项C正确;选项D:,,,,由全概率公式得,故选项D正确.11．答案：BCD解析：对于A,展开式中的系数为,A错误,对于B,由于,故B正确,对于C,当为正整数时,,C正确,对于D,由于,故,故当m为正奇数时,,故,D正确.12．答案：0.24解析：若随机变量X服从两点分布,设,则,则两点分布期望,方差;由得,所以.13．答案：解析：因为二项式展开式的所有二项式系数之和为,解得;二项式的展开式通项为:,其中,令,解得,所以,因此常数项为15.14．答案：解析：因为,所以.当时,,此时.由,得,解得,不符合.当时,.若,则,由,得,解得,不符合.若,即,则,由,得,整理得.因为,即,整理得,所以.令,,则.令,即,解得或（舍去）.当时,,单调递增;当时,,单调递减;则在处取得最大值,为,又,当时,,要存在,使得,且:当时,存在满足条件;当时,,解得,不满足条件;当时,不存在满足且.综上,a的取值范围为.15．答案：（1）（或）（2）X的分布列为:X123P数学期望（或1.8）解析：（1）由题意得,,,,又,,,,所求经验回归方程为.（2）5个小组中,主动完成拓展习题人数不低于3人的小组共有3个,低于3人的小组共有2个,随机抽取3组,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,且X服从参数的超几何分布,,,,X的分布列为:X123P数学期望.16．答案：（1）（2）解析：（1）当时,函数,则,在点处,切线的斜率为,所以,在点处的切线方程为,即;（2）由题意知,当时,有,可得,令,其在区间上为单调递增函数,且,,因为在上单调递增,所以在时恒成立,即对于任意恒成立,设,则,当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增,所以,只需在上,故实数a的取值范围是.17．答案：（1）（2）解析：（1）由于是等差数列,且,故且,其中,即,因为,所以,因此,故.（2）由可得,故,因此n的取值为,故,因此,,,相减可得,18．答案：（1）,在上单调递减,,在上单调递减,在上单调递增（2）（i）（ii）见解析解析：（1）由题设定义域为,求导得,若,则,,故在上单调递减,若,当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增;（2）（ⅰ）由,定义域,且,因为时,恒成立,故,得或,由有三个不同极值点,等价于有两个不同的正根且不等于1,设,求导得,当时,,在单调递减,当时,,在单调递增,,且和时,综上,当且仅当时,有两个不同正根,其中一个根大于0小于1,令一个根大于1,故a的取值范围是;（ⅱ）不妨设三个极值点为且,且和是方程的两个根,由（i）可知,的两个根必分布在的两侧,即三个极值点满足,下面用反证法证明不构成等比数列:假设构成等比数列