2026秋高三数学复习 函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问题(解析版)

函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问

题专项训练

考点目录

函数与导数新定义问题数列新定义问题

解析几何新定义问题立体几何新定义问题

考点一函数与导数新定义问题

1．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如

下：如图，设r是fx=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点x0,fx0作曲线y=fx的切线

fx

¢x0f¢x¹0r

l:y-fx0=fx0x-x0，则l与轴的交点的横坐标x1=x0-0，称x1是的第一次近似值；

f¢x0

过点x1,fx1作曲线y=fx的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的第二次近似值；重复以

fxn

上过程，得r的近似值序列，其中xn+1=xn-f¢xn¹0，称xn+1是r的n+1次近似值，这种求方程fx=0

f¢xn

近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程x2=3的近似解，则下列正确的是（）

A．若取初始近似值为1，则过点1,f1作曲线y=fx的切线y=2x-3

7

B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为

5

fx0fx1fx2

C．x3=x0-+-

f¢x0f¢x1f¢x2

fx0fx1fx2fxn

D．xn+1=x0----L-

f¢x0f¢x1f¢x2f¢xn

【答案】D

【详解】解：构造函数fx=x2-3，则f¢x=2x，

取初始近似值x0=1，fx0=-2，f¢x0=2，

则y--2=2x-1，即y=2x-4，则A错误；

fx01-3fx14-37

x0=1Þx1=x0-=1-=2，x2=x1-=2-=，B错误；

f¢x02´1f¢x12´24

fx0fx1fx2fxn

根据题意，可知x1=x0-,x2=x1-,x3=x2-,L,xn+1=xn-，

f¢x0f¢x1f¢x2f¢xn

fx0fx1fx2fxn

上述式子相加，得xn+1=x0----L-，

f¢x0f¢x1f¢x2f¢xn

fx0fx1fx2

所以x3=x0---，C不正确，则D正确.

f¢x0f¢x1f¢x2

故选：D.

2．（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数fx及gx满足：图象在闭区间a,b上连续不断；

①②

fb-faf¢c

在开区间a,b内可导；对"xÎa,b,g¢x¹0，那么在a,b内至少有一点c，满足=成

gb-gag¢c

③

x2

立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知fx=，若存在正数a,ba¹b，满足

ex

b

fb=lln+fa，则实数l的取值范围为（）

a

é321ùé82ù

A．-,B．-,

ëêe4eûúëêe4eûú

é41ùé42ù

-,-,

C．4D．ê4ú

ëêeeûúëeeû

【答案】A

bfb-fa

【详解】由fb=lln+fa可得：=l，

alnb-lna

fb-fafb-fa

令gx=lnx，所以==l

lnb-lnagb-ga

fb-faf¢c

由柯西中值定理可知：那么在a,b内至少有一点c，满足==l成立，

gb-gag¢c

x2x2

x22xe-xe2x-x1

f¢x=2=¢

因为fx=，gx=lnx，所以xx，gx=，

exeex

2x-x2

2

f¢xxx2-x

所以令Fx==e=，

g¢x1ex

x

xx-1x-4

F¢x=，x>0，

ex

令F¢x>0可得：0<x<1或x>4，

令F¢x<0可得：1<x<4，

所以Fx在0,1,4,+¥上单调递增，在1,4上单调递减，

1-32

又F1=,F4=，F0=0，

ee4

当x趋于正无穷时，Fx趋近0，

é-321ùé321ù

FxÎ,-,

所以4，所以实数l的取值范围为ê4ú.

ëêeeûúëeeû

故选：A.

3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义fx=f¢x的实数根x为fx的“坚定点”，已知a>0，且a¹1，则下列

函数中，不存在“坚定点”的是（）

A．fx=asinxB．fx=lnax

C．fx=x3+2x2+ax+aD．fx=eax

【答案】D

π

【详解】对选项A：f¢x=acosx，令fx=f¢x，则asinx=acosx，解得x=+kπ，kÎZ，存在“坚定点”；

4

1

对选项B：f¢x=，f¢x在0,+¥上单调递减，

x

x0时，f¢x+¥，x+¥时，f¢x0；

fx=lnax在0,+¥上单调递增，x0时，fx-¥，x+¥时，fx+¥，

1

所以关于x的方程=lnax在0,+¥上有一解，存在“坚定点”；

x

对选项C：f¢x=3x2+4x+a，令fx=f¢x，

322

则x3+2x2+ax+a=3x2+4x+a，即x-x+a-4x=xx-x+a-4=0，显然x=0是“坚定点”；

ax

对选项D：f¢x=ae，令fx=f¢x，则eax=aeax，因为a>0且a¹1，所以不存在“坚定点”．

故选：D.

4．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同

族函数”，那么函数解析式为y=-x2，值域为-2,-4,-6的“同族函数”包含的函数个数为（）

A．3B．8C．9D．27

【答案】D

【详解】由题设，y=-x2的值域为-2,-4,-6，则x=±2或±2或±6，

结合“同族函数”的定义，则函数定义域分别从{-2,2}、{-2,2}、{-6,6}中各取至少一个数，

所以共有(22-1)´(22-1)´(22-1)=27种.

故选：D

é5ù

5．（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）设x表示不超过x的最大整数（如2=2，êú=1），对于给定的

ë4û

nn-1Ln-x+1é3ö

*Cx=xÎ1,+¥xÎ,3x

nÎN，定义n，，则当ê÷时，函数C8的值域是（）

xx-1Lx-x+1ë2ø

é16ùé16ù

A．,28B．ê,56ú

ëê3ûúë3û

æ8öæ16ùæ28ù

C．ç4,÷È28,56D．ç4,úÈç,28ú

è3øè3ûè3û

【答案】D

é3ö

【详解】因为xÎ,2÷时，x=1，

ëê2ø

x8æ16ù

所以C8=Îç4,，

xè3úû

当xÎ[2,3)时，[x]=2，

8´756æ28ù

Cx==Î,28

82çú

所以xx-1æ1ö1è3û，

çx-÷-

è2ø4

x1628

函数C的值域是(4,]U(,28]

833

故选：D

6．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）设函数f(x)和g(x)的定义域为D，若存在非零实数cÎD，使得

f(c)+g(c)=0，则称函数f(x)和g(x)在D上具有性质P.现有三组函数：

f(x)=x,g(x)=x2fx=-x,2gx=exfx=-x2,gx=2x

①其中具有性质P的是（②）③

A．B．C．D．

①②①③②③①②③

【答案】B

【详解】对于，f(x)=x,g(x)=x2，则f(x)+g(x)=x+x2，

①2

则存在x=-1，使得f(-1)+g(-1)=-1+-1=0，故f(x)=x,g(x)=x2具有性质P；

对于，fx=-x,2gx=ex，两函数定义域均为R，由于2-x>0,ex>0，

②

故不存在非零实数c，使得f(c)+g(c)=0，故f(x)=x,g(x)=x2不具有性质P；

对于，fx=-x2,gx=2x，则fx+gx=-x2+2x，

③

存在x=2，使得f2+g2=-22+22=0，故f(x)=x,g(x)=x2具有性质P；

故选：B

7．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试·多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的

称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xÎR，用[x]表示不超过x

2x1

的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=-，g(x)=[f(x)]，则下

1+2x2

列叙述中正确的是（）

A．g(x)是偶函数B．f(x)是奇函数

C．f(x)在R上是增函数D．g(x)的值域是{-1,0,1}

【答案】BC

2x111

【详解】依题意，函数f(x)=-=-的定义域为R，

1+2x221+2x

2111

对于A，g(1)=[f(1)]=[-]=0，g(-1)=[f(-1)]=[-]=-1，g(1)¹g(-1)，函数g(x)不是偶函数，A错

1+222+12

误；

2-x111

对于B，f(-x)=-=-=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，B正确；

1+2-x21+2x2

11

对于C，函数y=1+2x在R上单调递增，则函数f(x)=-在R上是增函数，C正确；

21+2x

11

对于D，由2x>0，得1+2x>1，则-<f(x)<，gx的值域为-1,0，D错误.

22

故选：BC

8．（25-26高三上·江苏常州·开学考试·多选）若函数fx在区间a,b上值域为ka,kb，则称a,b为fx的“k

倍增区间”，则（）

A．若0,b为fx=x2的“1倍增区间”，则b=1

1

B．函数fx=1+存在“1倍增区间”

x

æ7ù

C．若函数fx=m-x-1存在“1倍增区间”，则m的取值范围是ç,2

è4úû

1

D．二次函数fx=-x2+x存在“2倍增区间”

2

【答案】ACD

【详解】对于A，由题意可知，0,b为fx=x2的单调递区间，函数值域为[0,b2]，

若0,b为fx=x2的“1倍增区间”，则b=b2，则b=1或b=0（舍去），A正确；

1

对于B，函数fx=1+中x的取值范围为(-¥,0)U(0,+¥)，

x

1

若fx=1+存在“1倍增区间”a,ba<b，则必有a<b<0或0<a<b，

x

又因为函数在区间(-¥,0),(0,+¥)上递减，

ì1ì1-5

1+=bïa=<0

ìf(a)=bïaï2

则有í，则í，解得í，不符合a<b<0或0<a<b，所以B错误；

îf(b)=a11+5

ï1+=aïb=>0

îïbîï2

对于C，因为函数fx=m-x-1在[1,+¥)上单调递减，

若存在“1倍增区间”a,b（1£a<b），

ïìfa=bïìb=m-a-1

则有í，即í，

îïfb=aîïa=m-b-1

两式作差得a-b=a-1-b-1，即a-ba-1+b-1=a-1-b-1=a-b，

又1£a<b，所以a-1+b-1=1，故0£a-1<b-1£1，

所以m=a+b-1=a+1-a-1，设a-1=t,tÎ0,1，则m=t2-t+2，

é1ö

即t=a-1Î0,÷是t2-t+2-m=0的一个根；

ëê2ø

æ1ù

同理t=b-1Îç,1也是t2-t+2-m=0的一个根，

è2ûú

即t2-t+2-m=0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根，

ìΔ=1-42-m>0

ï7

只需í2-m³0，解得<m£2，C正确；

ï24

î1-1+2-m³0

1

对于D，若函数fx=-x2+x存在“2倍增区间”，

2

设定义域为a,b，值域为2a,2b，

ìf(a)=2a

当a<b£1时，函数在定义域上单调递增，则í，

îf(b)=2b

1

则a,b是方程-x2+x=2x的两个不相等的实数根，解得x=0或x=-2，

2

故存在定义域为-2,0使得值域为-4,0，D正确，

故选：ACD．

*

9．（25-26高三上·广东中山·阶段练习·多选）已知nÎN,n³3，集合An=a1,a2,¼,an0<a1<a2<L<an.若存在

函数f(x)(f(x)¹x)，其图象在区间D=a1,an上是一段连续曲线，且fak|akÎAn=An，则称f(x)是An的变

换函数，集合An是D的一个L子集，以下说法正确的是（）

A．{1,10,26,2000,2016,2025}是数集[1,2025]的一个L子集

2026

B．函数f(x)=可作为某个集合A的变换函数

xn

-x

C．函数g(x)=ln3e+1可作为某个集合An的变换函数

*aj

D．若An满足"ai,aji,jÎN,i<j,ÎAn，则存在函数h(x)为集合An的变换函数

ai

【答案】ABD

【详解】A：当fx=2026-x，xÎ{1,10,26,2000,2016,2025}时，fxÎ{1,10,26,2000,2016,2025}

此时函数fx是集合{1,10,26,2000,2016,2025}的变换函数，

集合{1,10,26,2000,2016,2025}是[1,2025]的L子集，正确；

2026

B：对于f(x)=在(0,+¥)上单调递减，

x

显然存在xÎ{1,2,1013,2026}时，有f(x)Î{1,2,1013,2026}，

此时函数fx是集合1,2,1013,2026的变换函数，

此时{1,2,1013,2026}是[1,2026]的L子集，正确；

æ3ö

C：函数gx=lnçx+1÷在(0,+¥)上单调递减，

èeø

当n=3时集合A3=a1,a2,a3，其中0<a1<a2<a3，

假设函数fx为集合An变换函数，则fa1=a3,fa2=a2,fa3=a1，

ìæ3ö

ì3a3

ïlnç1+a÷=a31+=e

ïèe1øïea133

即í，即í，得-=ea3-ea1，

a1a3

æ3ö3aee

ïln1+=aï1+=e1

ça÷1a3

îïèe3øîïe

3aaaa

3131a<a<aa3a1

整理后得aae-e=e-e，123，即e-e¹0，

e1e3

3a

所以ea1ea3=3，而由1+=e3，得ea1ea3=3+ea1，显然矛盾，

ea1

即函数fx不是集合An变换函数，错误；

D：对于An=a1,a2,L,an，0<a1<a2<L<an，

anan

当0<a1<1时，>an，故ÏAn，与题设矛盾；

a1a1

anaj

当a1>1时，<an且n>1，又ÎAn，

a1ai

a2a22

易知<a2，所以=a1，则a2=a1，

a1a1

aa

33=a23

另=a1或2，则a3=a1=a2（舍）或a3=a1，

a1a1

45n

同理，依次可得a4=a1，a5=a1，L，an=a1，此时满足题设；

aaa

nj3=a2

当a1=1时，a2>a1=1，则<an且n>2，又ÎAn，易知2，则a3=a2，

a2aia2

aa

44=a23

另=a2或3，则a4=a2=a3（舍）或a4=a2，

a2a2

45n-1

同理，依次可得a5=a2，a6=a2，L，an=a2，此时满足题设；

综上，An=a1,a2,L,an中a1³1，且各元素从小到大构成公比大于1的等比数列，

q

不妨设An=a1,a2,L,an中an满足首项为1，公比为(q>1)的等比数列，

a

n-12n-1j

an=qq>1，则An=1,q,q,L,q，满足ÎAn，

ai

anan

设h(x)=，对"iÎ1,n且iÎZ，hai=ÎAn，

xai

anan

而i¹j时，¹，及h(ai)有n个不同元素，即能覆盖所有元素.

aiaj

an

又h(x)=的图象在区间D=a1,an上是一段连续曲线，

x

a

存在函数h(x)=n为集合A的变换函数，正确.

xn

故选：ABD

ì11ü

10．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）记min{a,b,c}为a,b,c中最小的数.设x>0，y>0，.则miní2x,,y+ý

îyxþ

的最大值为

【答案】3

ì11ü

【详解】设M=miní2x,,y+ý，

îyxþ

x>0，y>0，

∵ìM£2x

ï1

ïM£

ïy

í，

1

ïM£y+

∴ïx

ï

îM>0

121

£，y£，

xMM

∴1123

M£y+£+=，M2£3，

xMMM

∴∴11

0<M£3，当且仅当2x==y+=3时取等号.

yx

∴

ì11ü

所以M=miní2x,,y+ý的最大值为3.

îyxþ

故答案为：3

11．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在

曲线C上选定一点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为a，曲线上另外一点M¢

对应于弧s+Δs，在点M¢处的倾角为a+Da，则弧段MM¢的长度为Ds，当动点M转到M¢时切线转动的角度为

Da

Da，用比值来表示弧段¢的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作K.类似于从平均速度引入瞬时速度的

DsMM

Δa

方法，当这个M¢趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；K=lim.在数学上

Δs0Δs

Δqy¢¢

K=lim=

3¢¢¢

给出曲率的公式：Δs0Δs.（其中y，y分别表示y=fx在点M处的一阶、二阶导数）,根据定

1+y¢22

x2æ1ö

义，椭圆+y2=1在点ç3，÷的曲率为.

4è2ø

167

【答案】

49

x2æ1öx2

【详解】由题意y=±1-，因为ç3,÷在第一象限，所以y=1-，

4è2ø4

11

--

xæx2ö2xæx2ö2

则y¢=-ç1-÷，记gx=y¢=-ç1-÷，

4è4ø4è4ø

13

--

1æx2ö2x2æx2ö2

则g¢x=-ç1-÷-ç1-÷，

4è4ø16è4ø

2167

K==

33

故y¢=-，g¢3=-2，故249.

x=3æ3ö

2ç1+÷

è4ø

167

故答案为：

49

12．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）对于函数f(x)，若在其定义域内存在实数x0，满足f(-x0)=-f(x0)，则

称函数f(x)为“局部奇函数”，称点(x0,f(x0))和点(-x0,f(-x0))是函数f(x)的一对“局部对称点”，请写出函数

ìlnx

,x>0

ïx

f(x)=x2+x-1的一对“局部对称点”：；若函数g(x)=í为“局部奇函数”，则实数a的取值范围

a

ï,x<0

îïx2

为.

1

【答案】(1,1)和(-1,-1)a£

e

2

【详解】设函数f(x)=x+x-1的一对“局部对称点”为(x0,y0),(-x0,-y0)，

2

ìy0=f(x0)ìy0=x0+x0-1ìx0=1ìx0=-1

则í，即í2，解得í或í，

î-y0=f(-x0)î-y0=x0-x0-1îy0=1îy0=-1

所以函数f(x)=x2+x-1的一对“局部对称点”为(1,1)和(-1,-1)；

根据局部奇函数的定义，需存在x0使得g(-x0)=-g(x0)，

alnx0

不妨设x0>0，则-x0<0，可得方程2=-，即a=-x0lnx0，

(-x0)x0

问题转化为方程a=-xlnx在(0,+¥)上有解.

令j(x)=-xlnx，求导得j¢(x)=-(1+lnx)

11

当0<x<时，j¢(x)>0；当x>时，j¢(x)<0，

ee

æ1öæ1ö

函数j(x)在ç0,÷上单调递增，在ç,+¥÷上单调递减，

èeøèeø

1

j(x)=，当x+¥时，jx-¥，

maxe

当x>0，且x0时，jx0，

j1=0，当0<x<1时，jx>0，当x>1时，jx<0

1

因此a£，

e

1

所以实数a的取值范围为a£.

e

1

故答案为：(1,1)和(-1,-1)；a£

e

13．（24-25高二下·江西上饶·期末）泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点

附近用多项式逼近．若函数f(x)在包含x0的闭区间[a,b]上具有n阶导数，在开区间(a,b)上具有n+1阶导数，则

fxf¢xf¢¢xf(n)x

00020nR(x)

对[a,b]上任意一点x，有f(x)=+x-x+x-x+L+x-x+R(x)，其中n

0!1!02!0n!0n

为泰勒公式的余项．（f(x)的n阶导数记为f(n)(x)，其中f¢¢(x)为f¢(x)的导数，f¢¢¢(x)为f¢¢(x)的导数，f(n)(x)为

f(n-1)(x)的导数．）

(1)若n=3，写出f(x)=ln(1+x)在x=0处的泰勒展开式；

(2)当x>0时，判断第（1）问中R3(x)与0的大小，并证明；

nækönæköæ1öæ2öænö

1+<e1+=1+1+1+

(3)证明：对任意正整数n，有Õç2÷，其中，Õç2÷ç2÷ç2÷Lç2÷．

k=1ènøk=1ènøènøènøènø

11

【答案】(1)fx=x-x2+x3+Rx

233

(2)R3(x)<0，证明见解析

(3)证明见解析

【详解】（1）因为f(x)=ln(1+x)，所以f(0)=ln(1+0)=0，

1

f¢(x)=，则f¢(0)=1；

1+x

11

¢¢¢¢

f(x)=-2，则f(0)=-2=-1；

1+x1+0

¢¢¢2¢¢¢2

f(x)=3，则f(0)=3=2，

1+x1+0

-1211

则f(x)=ln(1+x)在x=0处的泰勒展开式为fx=0+1×x+x2+x3+Rx=x-x2+x3+Rx.

2!3!3233

（2）判断：R3(x)<0，证明如下：

æ1213ö

由（1）可得R3x=ln1+x-çx-x+x÷，

è23ø

æ1213ö

设gx=ln1+x-çx-x+x÷,x>0，

è23ø

2

11-1-x+x1+x-x3

则g¢x=-1-x+x2==<0，

1+x1+x1+x

故gx在0,+¥上单调递减，则gx<g0=0，

即R3(x)<0.

nækönækönækö

1+ln1+=ln1+

（3）对于Õç2÷取对数得Õç2÷åç2÷，

k=1ènøk=1ènøk=1ènø

11

由（2）知ln1+x<x-x2+x3，

23

kn

由k=1,2,L,n可得，0<<£1，

n2n2

12132æ11ö2æ11ö

当xÎ0,1时，-x+x=xç-+x÷<xç-+÷<0，

23è23øè23ø

11

故ln1+x<x-x2+x3<x，

23

kæköknækönk

xln1+<ln1+<

令=2，则ç2÷2，所以åç2÷å2，

nènøni=1ènøk-1n

nk1+2++nnn+11æ1ö

又=L==1+£1，

å222ç÷

i=1nn2n2ènø

nækönk

ln1+<£1

所以åç2÷å2，

k=1ènøk=1n

nækönækö

ln1+<11e

故Õç2÷，故Õç+2÷<.

k=1ènøk=1ènø

14．（25-26高三上·江苏·开学考试）定义：若函数y=fx和y=gx同时满足条件对任意xÎR，都有

R①

fx£gx成立，存在x0Î，使得fx0=gx0，则称函数y=gx为y=fx的“伴随函数”，其中x0称为

“伴随点”.②

(1)设函数fx=x2，若存在一次函数y=kx+bk¹0，使得fx是y=kx+b的“伴随函数”，求b的取值范围.

(2)设函数Fx为Gx的“伴随函数”，若函数Hx=aFx+1-aGx，试证明：对任意aÎ0,1,Hx为

Gx的“伴随函数”.

x-1

(3)设函数fx=，若存在一次函数gx=mx+c是fx的“伴随函数”，且“伴随点”x>1，求实数c的最大

ex