2017-2026十年高考数学专项汇编专题31 新定义综合（四大考点33题）（学生版）

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专题31新定义综合

（四大考点，33题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

1.高考压轴大题高频题型，北京、

上海卷常考。

2026北京、2024新课标Ⅰ/北京、

2.先给出全新数列规则、序列、数

2023北京、2022北京、2021新

考点01数列新定阵、排列定义，设置判断、计数、

高考Ⅱ/北京、2020全国Ⅱ/上海/

义最值、充要条件证明多小问。

北京/江苏、2019江苏/北京、

3.融合递增子列、周期序列、可分

2018上海/江苏、2017江苏

数列、逆序等新概念，侧重逻辑推

理与分类讨论。

1.以上海选填、大题为主，综合性

强。

2.给定点集、函数性质、特殊变换

考点02函数新定2026上海/全国一卷、2024上海、

定义，判断命题真假、求解参数范

义2020上海、2017上海

围、证明充要关系。

3.结合奇偶、单调、极值、零点等

基础函数性质综合分析。

1.多选与解答题均有出现，侧重集

合运算与逻辑。

2.自定义特殊集合、序列、对称集，

考点03集合新定2025北京/上海、2020浙江、

研究元素构成、存在性、充要条件。

义2018北京

3.常结合函数定义域、值域、零点

问题交叉命题。

1.上海特色小题，难度中等偏上。

2.给出曲线专属新概念（自相关曲

考点04圆锥曲线线、抛物线比值定义），判断命题、

2023上海、2019上海

新定义证明恒等式、比较大小。

3.依托椭圆、双曲线、抛物线几何

性质解题。

1

考点01数列新定义

na20a2a2k1a2k

1.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数01k1k，其中

a0,1naaa

i，记01k．则（）

2nn2n3n1

A．B．

8n54n32n1n

C．D．

aaa

2.（2020·全国II卷·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n满足

a{0,1}(i1,2,)aa(i1,2,)

i，且存在正整数m，使得imi成立，则称其为0-1周期序列，并称满足

aa(i1,2,)aaa

imi的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列12n，

1m

C(k)aiaik(k1,2,,m1)

mi1是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足

1

C(k)(k1,2,3,4)

5的序列是（）

A．11010B．11011C．10001D．11001

Aaija1,1

3.（2026·北京·高考真题）设mn是一个m行n列的数阵，且数阵中的每一项ij，都等于

ipjq2,

1或1．若对任意1i,pm，1j,qn，其中ip，jq，且都有

aaaa0,

ijiqpjpq则称数阵A具有性质P．

(1)判断下列两个数表是否具有性质P．

1111

A1

1111

1111

A21111

1111

1

(2)若m5,n4，则具有性质P的数阵A中1的个数最多是多少？

a1aaa

(3)若mn6，11，且数阵A具有性质P，证明：对任意i，j{1,2,3,4,5,6}，都有iji11j．

a,a,...,a

4.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列124m2是公差不为0的等差数列，若从中删

aaij

去两项i和j后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列

a,a,...,ai,j

124m2是可分数列．

i,ja,a,...,ai,j

(1)写出所有的，1ij6，使数列126是可分数列；

a,a,...,a2,13

(2)当m3时，证明：数列124m2是可分数列；

jija,a,...,ai,jP

(3)从1,2,...,4m2中任取两个数i和，记数列124m2是可分数列的概率为m，证明：

1

Pm

8．

5.（2024·北京·高考真题）已知集合

Mi,j,k,wi1,2,j3,4,k5,6,w7,8,且i为偶j数kwA:a,a,,a

．给定数列128，和序

:T,T,TTi,j,k,wMt1,2,,si,j,k,w

列12s，其中ttttt，对数列A进行如下变换：将A的第1111项均

TATAi,j,k,w

加1，其余项不变，得到的数列记作1；将1的第2222项均加1，其余项不变，得到数列记作

TTATTTAA

21；……；以此类推，得到s21，简记为．

:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7A

(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列，写出；

Aa2,a6,a4,a2,a8,a2,a4,a4

(2)是否存在序列，使得为12345678，若存在，写出一个符

合条件的；若不存在，请说明理由；

aaaaA

(3)若数列A的各项均为正整数，且1357为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”

aaaaaaaa

的充要条件为“12345678”．

a,ba,b{1,2,,m},a,b

6.（2023·北京·高考真题）已知数列nn的项数均为m(m2)，且nnnn的前

A,BAB0k0,1,2,,mrmaxi∣BA,i{0,1,2,,m}

n项和分别为nn，并规定00．对于，定义kik，

其中，maxM表示数集M中最大的数.

a2,a1,a3,b1,b3,b3r,r,r,r

(1)若123123，求0123的值；

1

ab2rrr,j1,2,,m1,r

(2)若11，且jj1j1，求n；

p,q,s,t0,1,2,,mABAB

(3)证明：存在，满足pq,st,使得ptqs．

Q:a,a,,a

7.（2022·北京·高考真题）已知12k为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的

a,a,a,,a(j0)aaaan

n{1,2,,m}，在Q中存在ii1i2ij，使得ii1i2ij，则称Q为m连续

可表数列．

(1)判断Q:2,1,4是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？说明理由；

Q:a,a,,a

(2)若12k为8连续可表数列，求证：k的最小值为4；

Q:a,a,,aaaa20

(3)若12k为20连续可表数列，且12k，求证：k7．

aa

8.（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列n满足如下三个性质，则称n为p数列：

ap0ap0

①1，且2；

aa,(n1,2,)

②4n14n；

aaap,aap1m,n1,2,

③mnmnmn，．

aa

（1）如果数列n的前4项为2，-2，-2，-1，那么n是否可能为2数列？说明理由；

aa

（2）若数列n是0数列，求5；

aSaSS

（3）设数列n的前n项和为n.是否存在p数列n，使得n10恒成立？如果存在，求出所有的p；

如果不存在，说明理由．

{a}|aa||aa||aa|{a}

9.（2020·上海·高考真题）有限数列n，若满足12131m，m是项数，则称n满

足性质p.

（1）判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p，请说明理由.

a1

（2）若1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质p，求q的取值范围.

a(m4),ba(k1,2...m1),{a},{b}

（3）若n是1,2,...,m的一个排列kk1nn都具有性质p，求所有满足条件的

{a}

n.

a

10.（2020·北京·高考真题）已知n是无穷数列．给出两个性质：

1

a2

ia

aa,a(ij)aaam

①对于n中任意两项ij，在n中都存在一项m，使j；

a2

ak

aa(n3)aa,a(kl)na

②对于n中任意项n，在n中都存在两项kl．使得l．

an(n1,2,)a

(Ⅰ)若n，判断数列n是否满足性质①，说明理由；

a2n1(n1,2,)a

(Ⅱ)若n，判断数列n是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

aa

(Ⅲ)若n是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：n为等比数列.

*

an(nN)

11.（2020·江苏·高考真题）已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一

111

SkSkak

切正整数n，均有n1nn1成立，则称此数列为“λ~k”数列．

a

（1）若等差数列n是“λ~1”数列，求λ的值；

3

2

anan

（2）若数列是“3”数列，且an＞0，求数列的通项公式；

an

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不

存在，说明理由，

{a}{b}*|ba|1

12.（2018·上海·高考真题）给定无穷数列n，若无穷数列n满足：对任意nN，都有nn，

{b}{a}

则称n与n“接近”.

1

{a}ba1*{b}{a}

(1)设n是首项为1，公比为2的等比数列，nn1，nN，判断数列n是否与n接近，并说明

理由；

{a}a1a2a4a8{b}{a}

(2)设数列n的前四项为：1，2，3，4，n是一个与n接近的数列，记集合

M{x|xb,i1,2,3,4}

i，求M中元素的个数m；

{a}{b}{b}{a}bbbb

(3)已知n是公差为d的等差数列，若存在数列n满足：n与n接近，且在21，32，，

bb

201200中至少有100个为正数，求d的取值范围.

13.（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

aaa,a4a4a0

（1）已知等比数列{an}满足：245321，求证:数列{an}为“M－数列”；

122

b1,

1Sbb

（2）已知数列{bn}满足:nnn1，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

1

①求数列{bn}的通项公式；

cbc

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有kkk1成立，求m的

最大值．

aiiiii...i

14.（2019·北京·高考真题）已知数列n，从中选取第1项、第2项、…、第m项12m，若

aa...aai，a，i，aiaa

i1i2im，则称新数列12m为n的长度为m的递增子列．规定：数列n的任意一项

a

都是n的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

anpaq

（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为m0，长度为的递增子列的末项的最小值为

anpqaa

0.若，求证：m0n0；

aa

（Ⅲ）设无穷数列n的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若n的长度为s的递增子列末项的最小

s1s1,2,...a

值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2个，求数列n的通项公式．

{a}{b}cmax{ban,ban,,ban}

15.（2017·北京·高考真题）设n和n是两个等差数列，记n1122nn

(n1,2,3,)，

max{x,x,,x}x,x,,x

其中12s表示12s这s个数中最大的数．

anb2n1c,c,c{c}

（Ⅰ）若n，n，求123的值，并证明n是等差数列；

c

nM

（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，n；或者存在正整数m，使得

c,c,c,

mm1m2是等差数列．

16.（2017·江苏·高考真题）对于给定的正整数k,若数列{an}满足

ankank1...an1an1...ank1ank2kan

对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.

(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；

（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.

aaaa4aaa2d'{a}

在①中，取n3，则12453，所以12，所以数列n是等差数列.

*iiiii

17.（2018·江苏·高考真题）设nN，对1，2，···，n的一个排列12n，如果当s<t时，有st，则称

1

(i,i)iiiiii

st是排列12n的一个逆序，排列12n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一

f(k)

个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记n为1，2，···，n的所有排列

中逆序数为k的全部排列的个数．

f(2),f(2)

（1）求34的值；

f(2)(n5)

（2）求n的表达式(用n表示)．

考点02函数新定义

Ax,y|yfx,xD

1.（2026·上海·高考真题）对于函数yfx，xD，设f.对于点集M，若存

x,yMx,yMyyx,yyfxygx

在00，使得任取，总有0，则称00为“最低点”.对于函数和，

以下说法中正确的是（）

ygxAA

A．若yfx和都有最小值，则fg有最低点；

AAygx

B．若fg有最低点，则yfx和都有最小值；

ygxAA

C．若yfx或有最小值，则fg有最低点；

AAygx

D．若fg有最低点，则yfx或有最小值.

2.（2024·上海·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，定义集合

MxxR,x,x,f(x)fx

0000，在使得M[1,1]的所有f(x)中，下列成立的是（）

A．存在f(x)是偶函数B．存在f(x)在x2处取最大值

C．存在f(x)是增函数D．存在f(x)在x1处取到极小值

3.（2020·上海·高考真题）若存在aR且a0，对任意的xR，均有f(xa)f(x)f(a)恒成立，则

f(x)q:f(x)f(x)0q:f(x)x0

称函数具有性质P，已知：1单调递减，且恒成立；2单调递增，存在0使

f(x)0

得0，则是f(x)具有性质P的充分条件是（）

qq

A．只有1B．只有2

qqqq

C．1和2D．1和2都不是

1

fxxRfx

4.（2020·上海·高考真题）设aR，若存在定义域R的函数既满足“对于任意0，0的值

x2xfxa

为0或0”，又满足“关于x的方程无实数解”，则a的取值范围为______.

i,j,kfxfxfx

5.（2026·上海·高考真题）已知是1，2，3的一个排列，若函数1，2，3，对任意

fxfxfxfxfxfxi,j,kfxfxfx

xI，都有1i且12ij，则称是关于1，2，3的一个

fxfxfxn

I排列，则关于1，2，3的I排列总数记为I．

I3,fxxfx0fxx213,1,2

(1)已知，1，2，3，判断是否为I排列；

I0,fxx1fxxmfxx2n6

(2)对，1，2，3满足条件的I，求m的取值范围；

x0,x0,0Fx1Ia,fxFx

(3)对，且对任意，，令，1，

1

fxFxaFxax

2fx1eFxn4

2，3，证明：若严格减，则存在a0，使I；若

Fxa0,1n2

严格增，则存在，I．

fxfx2xxR

6.（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且当x0时，．对任意0，

DxdRfxdfx

定义集合000．

fx1xD1

(1)若当x0时，，求；

fxfxfxxx0DxDx

(2)若是奇函数，12，且12，证明：21；

fxfxfxDxDxfxf0

(3)设满足：①若12，则21；②当0x1时，．

（i）证明：f(0)1；

0,

（ii）证明：f(x)在区间单调递增．

xxRxx

7.（2017·上海·高考真题）设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的1、2，当12时，都有

f(x)f(x)

12.

3

（1）若f(x)ax1，求a的取值范围；

（2）若f(x)为周期函数，证明：f(x)是常值函数；

（3）设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值.

1

函数h(x)f(x)g(x).证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.

fxx,xRxx

8.（2026·上海·高考真题）设是定义在R上的函数.定义性质P：若对任意12，当12时，

fxfxfx

12，则称函数具有“性质P”.

fxex

(1)判断函数是否具有“性质P”；

ax,x0

fx

(2)若分段函数xb,x0具有“性质P”，求所有满足条件的实数a和b的解；

fx0,10,fxfx

(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具

有“性质P”.

Ma∣t，t∣fxfa,xaLattfxfa,xa

9.（2024·上海·高考真题）记

fxx21M1L1

(1)若，求和;

fxx33x2Ma4,4Ma

(2)若，求证:对于任意aR，都有，且存在a，使得.

fxfx

(3)已知定义在R上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数c，均有

McLc

”.

考点03集合新定义

1.（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：

①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT

y

②对于任意x，yT，若x<y，则xS；

下列命题正确的是（）

A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素

B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素

C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素

D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素

A1,2,3,4,5,6,7,8,Mx,y∣xA,yA

2.（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同

x,y,x,y,,x,yx,yi1,2,,n

的元素组成一个序列：1122nn，其中ii称为该序列的第i项，若该序

1

xi1xi3,xi1xi4,

i1,2,,n1

x,y,x,yyy4yy3

列的相邻项iii1i1满足：i1i或i1i，则称该序列为K列．

(1)对于第1项为(3,3)的K列，写出它的第2项．

x,yi1,2,,nx{1,2,7,8}

(2)设为K列，且中的项ii满足：当i为奇数时，i：当i为偶数时，

x{3,4,5,6}

i.判断(3,2)，(4,4)能否同时为中的项，并说明理由；

(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．

3.（2025·上海·高考真题）已知函数yf(x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合

M{x∣f(xa)f(x)}

a．

π

M

(1)若f(x)sinx，判断3是否是π中的元素，请说明理由；

x2,x0

fx,Ma

x,x0

(2)若，求a的取值范围；

MM

(3)若yf(x)