北师大版九年级数学上册学案

北师大版九年级数学上册学案第一章特殊的平行四边形（示例：菱形）同学们，进入九年级，数学学习的深度和广度都有了新的提升。本章我们将在已有的平行四边形知识基础上，进一步探索一些特殊的平行四边形。它们不仅在我们的生活中有着广泛的应用，也是平面几何知识体系中的重要组成部分。这份学案旨在引导大家逐步深入，通过自主思考、合作探究来掌握新知识，提升分析问题和解决问题的能力。请大家在使用过程中，务必结合教材，动手操作，勤于思考，遇到困惑及时与同学或老师交流。一、菱形的性质与判定学习准备：在开始本节内容之前，请大家回顾一下平行四边形的定义及其主要性质（边、角、对角线三个方面）。我们知道，平行四边形是两组对边分别平行的四边形。那么，如果对平行四边形的边再增加一些特殊的条件，会得到怎样的特殊图形呢？（一）菱形的定义——从“边”入手1.观察与思考：观察我们身边的一些图形，例如某些窗格、中国结、菱形衣帽架等，它们都给我们一种特殊的平行四边形的印象。这些图形与一般的平行四边形相比，最显著的差异是什么？（提示：关注边的关系）2.形成定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。*思考：这个定义包含了几层含义？（强调“平行四边形”和“一组邻边相等”两个核心要素）（二）菱形的性质——探究“特殊”之处我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质。但由于它的“邻边相等”，它还具有一些一般平行四边形不具备的特殊性质。让我们通过观察、折叠、测量等方式来探究一下。1.边的性质：*由定义可知，菱形的四条边有什么关系？（引导学生得出：菱形的四条边都相等）*你能结合图形，用几何语言描述这一性质吗？（若四边形ABCD是菱形，则AB=BC=CD=DA）2.角的性质：*菱形的角与平行四边形的角有区别吗？（引导学生思考：对角相等，邻角互补的性质仍然成立，但没有特殊的角的大小关系，除非是特殊的菱形）3.对角线的性质：*动手操作：画一个菱形ABCD，连接它的两条对角线AC和BD，相交于点O。*观察并测量：1.对角线AC和BD的位置关系如何？（垂直）2.对角线AC是否平分∠BAD和∠BCD？对角线BD是否平分∠ABC和∠ADC？（是）3.线段AO与OC，BO与OD之间有什么关系？（相等，即对角线互相平分，这是平行四边形共有的性质，但结合垂直，就构成了菱形对角线的特殊性质）*由此，你能总结出菱形对角线的特殊性质吗？（菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）*你能尝试证明菱形的对角线互相垂直这一性质吗？（提示：可利用全等三角形或等腰三角形“三线合一”的性质）4.对称性：*菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴是什么？（是，两条，即两条对角线所在的直线）*菱形是中心对称图形吗？（是，对称中心是对角线的交点）性质归纳与几何语言表达：请同学们将菱形的所有性质（包括作为平行四边形的性质和其特殊性质）整理在下面的表格中，并尝试用几何语言描述。性质类别具体性质描述几何语言（若四边形ABCD是菱形）:-------:-----------------------------------------------:-------------------------------------------------边对边平行，四条边都相等AB//CD,AD//BC;AB=BC=CD=DA角对角相等，邻角互补∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC;∠BAD+∠ABC=180°(以此类推)对角线对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角AC⊥BD;AO=OC,BO=OD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC对称性是轴对称图形，两条对称轴；是中心对称图形-（三）菱形的判定——如何识别一个菱形我们已经学习了菱形的定义和性质，那么反过来，如何判定一个四边形是菱形呢？1.定义法：*这是最基本的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。*几何语言：若四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，则四边形ABCD是菱形。2.其他判定方法：*思考1：如果一个四边形的四条边都相等，它是菱形吗？为什么？（引导学生：四条边都相等，则首先是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），再结合邻边相等，由定义可判定是菱形。因此，四条边都相等的四边形是菱形。）*思考2：观察菱形的对角线，它们互相垂直。那么，如果一个平行四边形的对角线互相垂直，它是菱形吗？（动手操作：画一个平行四边形ABCD，使其对角线AC⊥BD，观察它是否是菱形。引导学生证明：可利用平行四边形对角线互相平分以及等腰三角形的判定“三线合一”的逆用，得出邻边相等。因此，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。）*思考3：如果一个四边形的对角线互相垂直平分，它是菱形吗？（引导学生：对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上对角线互相垂直，即上述判定方法2，因此是菱形。）判定方法总结：请同学们将菱形的判定方法整理如下：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.四条边都相等的四边形是菱形。3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（可补充：对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（四）菱形性质与判定的应用——解决问题例题1：已知菱形ABCD的边长AB为5cm，一条对角线AC长为6cm，求这个菱形的另一条对角线BD的长和它的面积。（分析：菱形的对角线互相垂直平分，因此可以将菱形分割成四个全等的直角三角形，利用勾股定理求出对角线一半的长度，进而求出对角线全长。菱形的面积除了底乘高，还可以用对角线乘积的一半来求，这是菱形面积计算的一个重要公式。）（解题过程略，需引导学生规范书写）例题2：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。（分析：要证四边形AFCE是菱形，已知其为平行四边形（可证AE//FC，AE=FC或AF//EC，AF=EC），再证其对角线互相垂直（EF是AC的垂直平分线），即可得证。或证一组邻边相等。）（证明过程略，引导学生分析思路，选择合适的判定方法）（五）课堂小结与反思*通过本节课的学习，你对菱形有了哪些新的认识？（从定义、性质、判定三个方面回顾）*在探究菱形性质和判定的过程中，我们运用了哪些数学思想方法？（如：转化思想、类比思想、从一般到特殊的思想、动手操作与理性证明相结合等）*菱形的性质和判定在实际生活中有哪些应用？*你还有哪些疑问或困惑？（六）课后作业与拓展1.基础巩固：完成教材对应练习题中关于菱形性质与判定的部分。2.能力提升：*已知菱形的一个内角为60°，一条边长为4cm，求它的两条对角线的长。*如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、AF。求证：AE=AF。3.思考与拓展：如何利用尺规作图的方法画一个菱形？（至少给出两种方法，并说明理由）温馨提示：在解决与菱形相关