2026年江苏省部编版高中数学第7课三角函数应用题库

2026年江苏省部编版高中数学第7课三角函数应用题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边BC=10，则边AC的长度为（）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3解析：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，即sin45°/10=sin60°/AC，解得AC=10×sin60°/sin45°=5√6/√2=5√3。2.某灯塔A位于海岸线BC的垂线方向，距离海岸线BC的垂直距离为h米，灯塔A的观测范围为半径为R的圆，海岸线上某点P到灯塔A的水平距离为d米，则点P到海岸线BC的距离为（）A.√(R²-h²)B.√(R²+d²-h²)C.√(d²-h²)D.√(R²+d²)解析：以灯塔A为原点建立直角坐标系，海岸线BC为x轴，则点P坐标为(d,y)，根据勾股定理|AP|²=|AP|²+y²=R²，解得y=√(R²-d²)，即点P到海岸线BC的距离为√(R²-d²)。3.在△ABC中，角A=30°，角B=45°，边AC=6，则△ABC的面积为（）A.9√2B.9√3C.12√2D.12√3解析：根据正弦定理，sinC=1-sinA-sinB=1-1/2-√2/2=√2/2，角C=45°，则△ABC的面积为1/2×AC×BC×sinA=1/2×6×6×sin30°=9。4.某斜坡的倾斜角为30°，坡长为20米，则该斜坡的水平距离为（）A.10米B.10√3米C.20米D.20√3米解析：设水平距离为x米，根据三角函数tan30°=x/20，解得x=20×√3/3≈10√3米。5.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8，则边BC的长度为（）A.4√2B.4√3C.8√2D.8√3解析：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/BC，即sin60°/8=sin45°/BC，解得BC=8×sin45°/sin60°=4√6/3≈4√2。6.某雷达站A观测到目标B在北偏东30°方向，距离雷达站A的距离为50公里，同时观测到目标C在北偏西45°方向，距离雷达站A的距离为30公里，则目标B与目标C之间的距离为（）A.40公里B.50公里C.60公里D.70公里解析：在△ABC中，角A=30°+45°=75°，|AB|=50，|AC|=30，根据余弦定理|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB|×|AC|×cosA=2500+900-3000×cos75°≈40²，解得|BC|=40公里。7.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边BC=10，则边AB的长度为（）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3解析：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AB，即sin60°/10=sin45°/AB，解得AB=10×sin45°/sin60°=5√6/3≈5√2。8.某斜桥的桥面与水平面的夹角为30°，桥长为20米，则人从桥的一端走到桥的另一端需要上升的高度为（）A.10米B.10√3米C.20米D.20√3米解析：设上升高度为h米，根据三角函数sin30°=h/20，解得h=20×1/2=10米。9.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边AC=6，则△ABC的周长为（）A.12B.12√2C.12√3D.18解析：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/BC，即sin30°/6=sin60°/BC，解得BC=6×sin60°/sin30°=6√3，则△ABC的周长为6+6√3+6=12+6√3。10.某斜坡的倾斜角为45°，坡长为20米，则该斜坡的水平距离为（）A.10米B.10√2米C.20米D.20√2米解析：设水平距离为x米，根据三角函数tan45°=x/20，解得x=20米。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=6，则边BC的长度为________。解：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/BC，即sin60°/6=sin45°/BC，解得BC=6×sin45°/sin60°=4√6/3。2.某斜塔的塔顶A与地面B的垂直距离为h米，塔顶A的观测范围为半径为R的圆，塔的影子在地面上的长度为L米，则tanθ=________（θ为塔顶A的观测角）。解：tanθ=R/h，根据勾股定理R²=h²+L²，则tanθ=√(h²+L²)/h。3.在△ABC中，角A=30°，角B=45°，边BC=10，则△ABC的面积为________。解：根据正弦定理，sinA/BC=sinC/AC，即sin30°/10=sin105°/AC，解得AC=10×sin105°/sin30°≈10×(√6+√2)/4=5(√6+√2)/2，则△ABC的面积为1/2×BC×AC×sinB=1/2×10×5(√6+√2)/2×√2=25(√3+1)。4.某斜坡的倾斜角为30°，坡长为20米，则该斜坡的水平距离为________。解：设水平距离为x米，根据三角函数sin30°=x/20，解得x=20×1/2=10米。5.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8，则边AB的长度为________。解：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/AB，即sin60°/8=sin45°/AB，解得AB=8×sin45°/sin60°=4√6/3。6.某雷达站A观测到目标B在北偏东30°方向，距离雷达站A的距离为50公里，同时观测到目标C在北偏西45°方向，距离雷达站A的距离为30公里，则目标B与目标C之间的距离为________。解：在△ABC中，角A=30°+45°=75°，|AB|=50，|AC|=30，根据余弦定理|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB|×|AC|×cosA=2500+900-3000×cos75°≈40²，解得|BC|=40公里。7.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边BC=10，则边AC的长度为________。解：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，即sin30°/10=sin60°/AC，解得AC=10×sin60°/sin30°=10√3。8.某斜桥的桥面与水平面的夹角为30°，桥长为20米，则人从桥的一端走到桥的另一端需要上升的高度为________。解：设上升高度为h米，根据三角函数sin30°=h/20，解得h=20×1/2=10米。9.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=6，则△ABC的周长为________。解：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/BC，即sin60°/6=sin45°/BC，解得BC=6×sin45°/sin60°=4√6/3，则△ABC的周长为6+6√3+6=12+6√3。10.某斜坡的倾斜角为45°，坡长为20米，则该斜坡的水平距离为________。解：设水平距离为x米，根据三角函数tan45°=x/20，解得x=20米。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，角A=30°，角B=45°，边BC=10，则边AC的长度为5√3。（√）解：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，即sin30°/10=sin45°/AC，解得AC=10×sin45°/sin30°=10√3。2.某斜塔的塔顶A与地面B的垂直距离为h米，塔顶A的观测范围为半径为R的圆，塔的影子在地面上的长度为L米，则tanθ=R/h。（×）解：tanθ=R/√(h²+L²)，因为R²=h²+L²。3.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边BC=10，则△ABC的面积为25。（×）解：根据正弦定理，sinA/BC=sinC/AC，即sin60°/10=sin105°/AC，解得AC=10×sin105°/sin30°≈10×(√6+√2)/4=5(√6+√2)/2，则△ABC的面积为1/2×BC×AC×sinB=1/2×10×5(√6+√2)/2×√2=25(√3+1)。4.某斜坡的倾斜角为30°，坡长为20米，则该斜坡的水平距离为10√3米。（×）解：设水平距离为x米，根据三角函数sin30°=x/20，解得x=20×1/2=10米。5.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8，则边AB的长度为4√6/3。（√）解：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/AB，即sin60°/8=sin45°/AB，解得AB=8×sin45°/sin60°=4√6/3。6.某雷达站A观测到目标B在北偏东30°方向，距离雷达站A的距离为50公里，同时观测到目标C在北偏西45°方向，距离雷达站A的距离为30公里，则目标B与目标C之间的距离为40公里。（√）解：在△ABC中，角A=30°+45°=75°，|AB|=50，|AC|=30，根据余弦定理|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB|×|AC|×cosA=2500+900-3000×cos75°≈40²，解得|BC|=40公里。7.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边BC=10，则边AC的长度为5√2。（×）解：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，即sin30°/10=sin60°/AC，解得AC=10×sin60°/sin30°=10√3。8.某斜桥的桥面与水平面的夹角为30°，桥长为20米，则人从桥的一端走到桥的另一端需要上升的高度为10√3米。（×）解：设上升高度为h米，根据三角函数sin30°=h/20，解得h=20×1/2=10米。9.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=6，则△ABC的周长为12+6√3。（√）解：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/BC，即sin60°/6=sin45°/BC，解得BC=6×sin45°/sin60°=4√6/3，则△ABC的周长为6+6√3+6=12+6√3。10.某斜坡的倾斜角为45°，坡长为20米，则该斜坡的水平距离为20米。（×）解：设水平距离为x米，根据三角函数tan45°=x/20，解得x=20米。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边BC=10，求边AC的长度。解：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，即sin60°/10=sin45°/AC，解得AC=10×sin45°/sin60°=10√3/3。2.某斜塔的塔顶A与地面B的垂直距离为h米，塔顶A的观测范围为半径为R的圆，塔的影子在地面上的长度为L米，求tanθ的值。解：tanθ=R/√(h²+L²)，因为R²=h²+L²。3.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边BC=10，求△ABC的面积。解：根据正弦定理，sinA/BC=sinC/AC，即sin30°/10=sin105°/AC，解得AC=10×sin105°/sin30°≈10×(√6+√2)/4=5(√6+√2)/2，则△ABC的面积为1/2×BC×AC×sinB=1/2×10×5(√6+√2)/2×√2=25(√3+1)。4.某斜坡的倾斜角为30°，坡长为20米，求该斜坡的水平距离。解：设水平距离为x米，根据三角函数sin30°=x/20，解得x=20×1/2=10米。5.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8，求边AB的长度。解：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/AB，即sin60°/8=sin45°/AB，解得AB=8×sin45°/sin60°=8√6/3。6.某雷达站A观测到目标B在北偏东30°方向，距离雷达站A的距离为50公里，同时观测到目标C在北偏西45°方向，距离雷达站A的距离为30公里，求目标B与目标C之间的距离。解：在△ABC中，角A=30°+45°=75°，|AB|=50，|AC|=30，根据余弦定理|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB|×|AC|×cosA=2500+900-3000×cos75°≈40²，解得|BC|=40公里。7.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边BC=10，求△ABC的周长。解：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/BC，即sin60°/10=sin45°/BC，解得BC=10×sin45°/sin60°=4√6/3，则△ABC的周长为6+6√3+6=12+6√3。8.某斜桥的桥面与水平面的夹角为30°，桥长为20米，求人从桥的一端走到桥的另一端需要上升的高度。解：设上升高度为h米，根据三角函数sin30°=h/20，解得h=20×1/2=10米。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某灯塔A位于海岸线BC的垂线方向，距离海岸线BC的垂直距离为h米，灯塔A的观测范围为半径为R的圆，海岸线上某点P到灯塔A的水平距离为d米，求点P到海岸线BC的距离。解：以灯塔A为原点建立直角坐标系，海岸线BC为x轴，则点P坐标为(d,y)，根据勾股定理|AP|²=|AP|²+y²=R²，解得y=√(R²-d²)，即点P到海岸线BC的距离为√(R²-d²)。2.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度和△ABC的面积。解：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/BC，即sin60°/6=sin45°/BC，解得BC=6×sin45°/sin60°=4√6/3，则△ABC的面积为1/2×BC×AC×sinB=1/2×6×4√6/3×√2=12√3。3.某斜坡的倾斜角为30°，坡长为20米，求该斜坡的水平距离和上升高度。解：设水平距离为x米，上升高度为h米，根据三角函数sin30°=h/20，解得h=20×1/2=10米；tan30°=x/h，解得x=10√3米。4.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边BC=10，求边AB的长度和△ABC的周长。解：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AB，即sin30°/10=sin45°/AB，解得AB=10×sin45°/sin30°=10√6/3，则△ABC的周长为6+10√6/3+10=16+10√6/3。5.某雷达站A观测到目标B在北偏东30°方向，距离雷达站A的距离为50公里，同时观测到目标C在北偏西45°方向，距离雷达站A的距离为30公里，求目标B与目标C之间的距离。解：在△ABC中，角A=30°+45°=75°，|AB|=50，|AC|=30，根据余弦定理|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB|×|AC|×cosA=2500+900-3000×cos75°≈40²，解得|BC|=40公里。6.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8，求边BC的长度和△ABC的面积。解：根据正弦定理，sinA/AC=sinB/BC，即sin60°/8=sin45°/BC，解得BC=8×sin45°/sin60°=8√6/3，则△ABC的面积为1/2×BC×AC×sinB=1/2×8×8√6/3×√2=32√3。7.某斜桥的桥面与水平面的夹角为30°，桥长为20米，求人从桥的一端走到桥的另一端需要