2026年下半年教师资格证考试《初中数学学科知识与教学能力》真题

2026年下半年教师资格证考试《初中数学学科知识与教学能力》真题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.limA.0B.1C.3D.不存在答案C解析由重要极限limx→02.设矩阵A=1A.−B.2C.10D.−答案A解析|A3.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，则这两个数字之和为偶数的概率是（）A.1B.2C.3D.4答案B解析从5个数中任取两个共有C52=10种等可能结果。和为偶数，即两个数同为奇数或同为偶数。同为奇数有C34.下列命题中，正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形答案C解析对角线互相平分且相等的四边形是矩形，C正确。A缺少"互相平分"，B缺少"互相平分"，D只能推出该四边形是菱形，还需对角线相等或一组邻边相等才能推出是正方形。5.《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学课程要培养的学生核心素养，主要表现为（）A.数学抽象、逻辑推理、数学建模B.会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界C.数感、符号意识、空间观念、几何直观D.运算能力、推理能力、应用意识、创新意识答案B解析2022年版课标从"三会"角度界定核心素养，即"会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界"。A是高中阶段数学核心素养的主要方面，C、D是核心素养在初中阶段的具体表现。6.建构主义学习理论认为，数学学习是（）A.学生对数学知识的被动接受过程B.学生主动建构数学意义的过程C.教师向学生单向传递知识的过程D.学生通过机械记忆形成技能的过程答案B解析建构主义强调，学习是学习者基于已有经验主动建构意义的过程。学生不是被动接受知识的容器，教师是学习的组织者、引导者与合作者。7.函数f(x)A.−B.2C.0D.1答案B解析f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)。令f′8.下列著作中，属于中国古代数学典籍的是（）A.《几何原本》B.《九章算术》C.《自然哲学的数学原理》D.《算术研究》答案B解析《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，成书于东汉时期，系统总结了先秦至西汉的数学成就。《几何原本》是古希腊欧几里得的著作，《自然哲学的数学原理》是牛顿的著作，《算术研究》是高斯的名著。二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1.简述数学抽象素养的内涵，并举例说明在初中数学教学中如何培养学生的数学抽象素养。答案数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括从数量与数量关系中抽象出数学概念、从图形与图形关系中抽象出数学概念及关系，以及从具体情境中抽象出数学问题等。在初中数学教学中，培养学生数学抽象素养的主要途径有：(1)从现实情境中抽象数学概念。例如，从温度计、水位变化等实例抽象出正数与负数的概念；从生活中的对称现象抽象出轴对称图形的概念。(2)在性质探究中抽象数学规律。例如，通过观察多个具体一次函数的图象，归纳抽象出一次函数y=kx(3)在问题解决中抽象数学模型。例如，从行程问题、工程问题中抽象出一元一次方程模型，体会建立方程模型的过程。2.已知a,b∈答案因为a2+b2−2ab=(a−b3.简述《义务教育数学课程标准（2022年版）》中"图形与几何"领域的主要学习内容。答案"图形与几何"是义务教育阶段数学课程的重要领域，其核心是研究图形的形状、大小和位置关系。初中阶段（第四学段）的主要内容包括：(1)图形的性质：点、线、面、角；相交线与平行线；三角形（含全等三角形、等腰三角形、直角三角形）；四边形（含平行四边形、矩形、菱形、正方形）；圆；尺规作图；定义、命题、定理等。(2)图形的变化：图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移、图形的相似（含位似）、图形的投影。(3)图形与坐标：坐标与图形的位置、坐标与图形的运动。课程内容注重引导学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展空间观念、几何直观和推理能力。4.简述数学教学中"变式训练"的含义及其作用。答案变式训练是指教师在教学中通过变更概念的非本质特征、变换问题的条件或结论、转换问题的形式或情境等方式，从不同角度、不同侧面呈现教学材料，使学生在变化中把握数学对象本质属性的训练方式。其作用主要有：(1)帮助学生准确把握概念的内涵与外延，避免形成片面的、错误的认识。例如，学习"等腰三角形"时，呈现不同位置、不同形状的等腰三角形，帮助学生抓住"两边相等"这一本质特征。(2)帮助学生沟通知识之间的联系，形成系统的知识结构。(3)训练学生思维的灵活性与深刻性，提高分析问题和解决问题的能力。(4)激发学生的学习兴趣，避免机械重复训练带来的厌倦感。5.某教师在讲授"一元二次方程的解法"时，先讲配方法，再讲公式法。请用数学教学论的相关知识分析这种教学顺序的合理性。答案(1)符合知识发生发展的逻辑顺序。配方法是推导公式法的依据，公式法是对配方法的一般化与程序化。先学配方法，学生才能理解一元二次方程求根公式"从哪里来"，实现有意义学习；若直接给出公式，学生只能机械记忆，不明其理。(2)符合学生的认知发展规律。学生的认识遵循由特殊到一般、由具体到抽象的规律。配方法以具体方程为例，操作步骤具体、直观，学生易于掌握；公式法将配方法的结果概括为一般公式，抽象程度更高，放在后面符合学生的认知水平。(3)符合"过程与结果"相统一的教学理念。先经历配方法的探索过程，再概括出公式这一结果，有利于学生体会从特殊到一般的数学思想方法，积累数学活动经验，培养运算能力与推理能力。(4)体现了启发式教学原则。教师先引导学生通过配方把一元二次方程转化为可直接开平方的形式，再引导学生将这种方法推广到一般形式，学生在主动探究中获得知识，而不是被动接受。三、解答题（本大题共1小题，共10分）1.设函数f((1)求f((2)求f(x)答案(1)f′(x)=x2−2x=x(x−2)。令f′(x)=0，得x(2)由(1)可知，f(x)(0)=1$，$f(2)=\frac{1}{3}\times8-4+1=-\frac{1}{3}$，$f(3)=\frac{1}{3}\times27-9+1=1$。比较可得，$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$1$，最小值为$-\frac{1}{3}$。解析求闭区间上连续函数的最值时，需将极值点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较。本题中$f(0)=f(3)=1$，最大值在$x=0$和$x=3$处同时取到。四、论述题（本大题共1小题，共15分）1.结合教学实际，论述在初中数学教学中如何培养学生的"数学运算"核心素养。答案数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等。初中阶段是运算能力发展的关键时期，在教学中可以从以下几方面培养学生的数学运算素养：(1)夯实基础，理解运算对象与法则。数学运算不是机械的"算"，而是基于对运算对象和运算律的深刻理解。例如，在有理数运算教学中，要让学生理解负数、绝对值、相反数等概念，理解加法、乘法运算法则及其合理性，避免死记硬背、盲目套用。教师可通过温度变化、盈亏问题等具体情境帮助学生理解运算法则的由来。(2)注重算理，做到"知其然更知其所以然"。教学中要引导学生既会算，又明白为什么这样算。例如，在教分式加减时，要让学生理解通分、约分的依据是分式的基本性质；在解一元一次方程时，要让学生理解每一步变形的依据是等式的性质。这样学生才能灵活运用，而不是机械模仿。(3)优化策略，培养运算思维的灵活性。鼓励学生从不同角度探究运算思路，选择简便算法。例如，计算992−1(4)加强训练，形成运算技能与良好习惯。运算能力的形成需要一定量的训练。教师应精心设计有层次、有梯度的练习，从基本运算到综合运算、从正向运算到逆向运算，循序渐进。同时，要培养学生认真审题、规范书写、自觉检验的良好习惯，提高运算的正确率。(5)在问题解决中提升运算素养。将运算融入实际问题和数学探究中。例如，在一次函数教学中，让学生通过计算比较不同方案的费用；在统计教学中，让学生计算平均数、方差等，使学生在真实情境中体会运算的价值，增强应用意识。总之，数学运算素养的培养是一个长期、系统的过程。教师应以课程标准为依据，以教材为载体，在每一节课中落实运算教学的要求，使学生从"会算"走向"算得对、算得快、算得巧"，实现运算素养的全面提升。五、案例分析题（本大题共1小题，共20分）1.案例：某教师在讲授"二次函数y=环节一：复习引入。教师让学生回顾一次函数的研究思路——"从解析式到图象，再从图象归纳性质"，并提出问题："我们该怎样研究二次函数的图象和性质？"环节二：画图观察。教师让学生用描点法在同一坐标系中画出y=x2、y环节三：类比猜想。教师引导学生类比y=ax2的图象与性质，猜想环节四：总结提炼。师生共同归纳一般二次函数y=ax2+问题：(1)该教师的教学过程体现了哪些数学教学原则？（6分）(2)该教学设计符合哪一种学习理论？请结合案例加以分析。（8分）(3)请对该教学过程的优点和不足进行评析。（6分）答案：(1)该教学过程体现了以下数学教学原则：①启发性原则。教师通过"我们该怎样研究二次函数的图象和性质"等问题启发学生自主思考、主动探究，而不是直接给出结论。②循序渐进原则（系统性原则）。教学按照"复习一次函数的研究思路→研究y=ax2→研究③直观性原则。教师让学生动手画图，并借助几何画板动态演示图象的平移过程，使抽象的图象变换变得直观形象，帮助学生理解。④理论联系实际原则。教学紧密联系学生已有的"一次函数"研究经验，并利用学生已有的y=⑤巩固性原则。通过复习引入唤起学生已有知识，通过画图、观察、归纳、猜想、验证等环节巩固和深化对二次函数图象与性质的理解。(2)该教学设计符合建构主义学习理论。建构主义认为，学习不是学生被动接受知识的过程，而是学生主动建构意义的过程；学习者以已有经验为基础，通过与外部环境的相互作用（同化与顺应）建构新的知识。具体分析：①环节一引导学生回顾一次函数的研究思路，唤醒了学生已有的认知经验，为新知识的建构提供了"生长点"；②环节二让学生亲自动手画图、观察、归纳，学生通过自主活动建构对y=ax2图象性质的认识；③环节三让学生类比猜想、动态验证，学生在已有知识（y=(3)优点：①教学思路清晰，遵循"从特殊到一般、从具体到抽象"的认识规律，知识呈现自然，符合学生的认知水平；②注重学生主体地位，让学生经历"画图—观察—归纳—猜想—验证"的完整探究过程，有利于培养学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养；③有效运用信息技术（几何画板），直观展示图象平移规律，突破教学难点；④注重数学思想方法的渗透，如类比思想、数形结合思想、化归思想（配方化归）。不足：①环节三中"猜想y=a(x−h)②探究过程中可能只有部分学生真正参与操作与思考，教师应注意关注全体学生，加强小组合作交流，避免探究流于形式；③对y=ax2+bx六、教学设计题（本大题共1小题，共30分）1.请以"一元一次方程"（第1课时）为教学内容，完成一份教学设计。要求：(1)写出教学目标（含知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度）；(2)写出教学重点与难点；(3)设计教学过程（含设计意图）。答案（1）教学目标知识与技能目标：①理解方程、一元一次方程的概念，能判断一个方程是否为一元一次方程；②理解方程的解的概念，会检验一个数是否为某个方程的解；③能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。过程与方法目标：①经历"问题情境—建立方程模型—归纳概念"的过程，体会从算术方法到方程方法的进步，发展抽象概括能力与模型观念；②通过观察、比较、归纳一元一次方程的特征，初步体会从特殊到一般的数学思想方法。情感态度与价值观目标：①感受数学与生活的密切联系，增强用数学的意识，激发学习方程的兴趣；②在探究与合作中体会数学探究的乐趣，养成严谨求实的科学态度。（2）教学重点与难点教学重点：一元一次方程的概念及根据实际问题列方程。教学难点：从实际问题中抽象出相等关系，建立方程模型。（3）教学过程环节一：创设情境，引入新课教师出示问题情境：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地。A、B两地间的路程是多少？学生尝试用算术方法解答后，教师引导："如果设A、B两地间的路程为xkm，那么客车行驶的时间为x70h，卡车行驶的时间为x60h。根据'客车比卡车早1h经过B地'，可以得到怎样的等式？"学生列出：x60−x70=1。教师指出：像这样含有未知数的等式叫做方程。用方程可以更直接、更自然地表示问题中的相等关系。设计意图：从学生熟悉的生活情境出发，让学生感受引入方程的必要性；通过对比算术方法与方程方