高等数学（上）课件 第4章导数的应用

一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理4.1微分中值定理

一、罗尔定理2罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此

在(a,b)内至少存在一点一、罗尔定理3若M>

m,

则M

和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设

则至少存在一点使则证毕≤0＜0＞0一、罗尔定理4注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.

例如:一、罗尔定理5定理的条件，解:即f(x)在[－1,1]上满足罗尔定理的令由于得例1.

验证函数条件．一、罗尔定理6有且仅有一个小于1的正实根.证:

1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有但矛盾,故假设不真!设例2.

证明方程一、罗尔定理7例3

已知

不求导数判断方程

有几个根，

并判断这些根所在的范围.

解因为

且f(x)

在闭区间[0,1]和

[1,2]上连续，

在开区间(0,1)和(1,2)

上可导，所以f(x)

在闭区间[0,1]和[1,2]上均满足罗尔定理的三个条件，

从而，

在开区间(0,1)和(1,2)

各至少有一点ξ1和ξ2，使得又因为

最多只能有两个根，故

恰好有两个根，

分别在区间(0,1)和(1,2)。

二、拉格朗日中值定理8拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:

利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕二、拉格朗日中值定理9令记Δy=f(b)－f(a),故拉格朗日中值定理的有限增量形式:拉格朗日中值定理的另一形式:二、拉格朗日中值定理10推论:

若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点格朗日中值公式,得在

I

上为常数.二、拉格朗日中值定理11例4.

证明等式证:

设由推论可知

(常数)

令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.1-11-1二、拉格朗日中值定理12自证:经验:欲证时只需证在

I

上三、柯西中值定理13下面考虑由参数方程

给出的一段曲线，线段AB的斜率为

而曲线上任一点处切线的斜率为所以必有

使得曲线在对应点处的切线与线段AB平行，故三、柯西中值定理14及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:定理3.柯西(Cauchy)中值定理三、柯西中值定理15例5.

至少存在一点使证:

问题转化为证设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,

因此在(0,1)内至少存在一点

,使即小结161.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论二、几个初等函数的麦克劳林公式

一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用

4.2泰勒定理

一、泰勒公式18特点:以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x

的一次多项式一、泰勒公式19公式①称为的

n

阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当一、泰勒公式20在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④即则f(n+1)(x)在(a,b)有界，即存在M>0，使x∈(a,b),|f(n+1)(x)|≤M.公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.一、泰勒公式21特例:(1)当n=0

时,泰勒公式变为(2)当n=1

时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差一、泰勒公式22xx0xξ一、泰勒公式23称为麦克劳林(

Maclaurin

)公式.从而有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个麦克劳林公式24其中麦克劳林公式二、几个麦克劳林公式25其中麦克劳林公式二、几个麦克劳林公式26类似可得其中麦克劳林公式二、几个麦克劳林公式27其中麦克劳林公式二、几个麦克劳林公式28类似以上求麦克劳林公式的方法，可得到其它常用初等函数的麦克劳林公式，为了方便应用列出如下：二、几个麦克劳林公式29例1

求下列函数的麦克劳林公式（余项写成皮亚诺形式）：解(1)二、几个麦克劳林公式30解(2)三、泰勒公式的应用311.在近似计算中的应用

误差M

为在包含0,x

的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数

n

和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数

n和误差限,确定公式中x

的适用范围.三、泰勒公式的应用32例1.

计算无理数e的近似值,使误差不超过解:

已知令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9

时上式成立,因此的麦克劳林公式为三、泰勒公式的应用332.利用泰勒公式求极限常用初等函数的麦克劳林公式，为了方便应用列出如下：

三、泰勒公式的应用34注：例如：三、泰勒公式的应用35例3.

求解:由于用泰勒公式将分子展到项,三、泰勒公式的应用36例4.

求解:由于故又小结371.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.小结382.常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数

三、其他未定式二、型未定式一、型未定式4.3洛必达法则

一、0/0型未定式40存在(或为)定理1.(洛必达法则)

一、0/0型未定式41(

在x,a

之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故定理条件:

西定理条件,存在(或为)一、0/0型未定式42推论1.定理1中换为下列过程之一:推论2.

若理1条件,

则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则一、0/0型未定式43例1.

求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!洛洛一、0/0型未定式44例2.

求解:

原式

洛二、∞/∞型未定式45存在(或为∞)定理2.证明：略(洛必达法则)二、∞/∞型未定式46说明:

定理中换为之一,定理仍然成立.二、∞/∞型未定式473)

若例如,极限不存在不能用洛必达法则!

即

二、∞/∞型未定式48例3.

求解:原式例4.

求解:原式洛洛洛二、∞/∞型未定式49说明:1)例3,例4表明时,后者比前者趋于更快.例3.例4.

求二、∞/∞型未定式50例如:事实上2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.

洛洛三、其他未定式51其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5.

求解:

原式洛三、其他未定式523)

若例如,极限不存在不能用洛必达法则!

即

三、其他未定式53解:

原式通分转化取倒数转化取对数转化洛例6.

求三、其他未定式54解:

通分转化取倒数转化取对数转化例7.

求三、其他未定式55解:

注意到原式洛例8.

求三、其他未定式56解而

例9.

求所以小结57洛必达法则一、函数单调性二、函数的极值

4.4函数的单调性与极值三、函数的最大值和最小值

一、函数的单调性59在(a,b)内可导.定理1.

设函数则f(x)在[a,b]上单调递增;证:

无妨设任取在[x1,x2]上用拉格朗日中值定理得故这说明f(x)在[a,b]内单调递增.在[a,b]上连续,证毕(1)若在(a,b)内，则f(x)在[a,b]上单调递减.(2)若在(a,b)内，一、函数的单调性60例1.

确定函数的单调区间.解:得故的单调增区间为的单调减区间为一、函数的单调性61说明:

例如,2)如果函数在导数为零点的两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,1）单调区间的分界点也可是导数不存在的点.一、函数的单调性62证:

令从而且即例2.

证明令二、函数的极值63定义:则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.则称为的极小值点

,称为函数的极小值

;二、函数的极值64为极大值点，为极小值点，不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.注意:二、函数的极值65定理2

(极值存在的必要条件)

设函数f(x)在点x0处可导

且在x0处取得极值

则证

不妨设f(x0)是极大值(极小值的情形的证明类似)．根据极大值的定义

对x0的某个邻域内的任何异于

x0的点x

有f(x)<f(x0),于是当x＜x0时，由极限的保号性得类似可证由于函数f(x)在x0处可导，故二、函数的极值66且在去心邻域内有导数,(1)

“左正右负”,(2)

“左负右正”,x1x2(3)

如果在x0的左右两侧不变号定理1

(极值第一判别法)二、函数的极值67例3.

求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点f(x)导数不存在的点3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为二、函数的极值68定理2

(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:

(1)由第一判别法知(2)类似可证.设函数f(x)在点x0具有二、函数的极值69例4.

求函数的极值.

解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别故需用第一判别法判别.三、函数的最大值和最小值70则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点（1阶(2)

最大值最小值导数等于零或不存在的点）三、函数的最大值和最小值71特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.

(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)三、函数的最大值和最小值72在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在x=1或x=－2点处取最小值－2;在x=－1点处取最大值2.计算得例5.求函数三、函数的最大值和最小值73(k为某常数)例6.

铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20AC⊥

AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条

已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工

20解:

设则令得

又所以为唯一的极小值点,故AD=15km时运费最省.总运费厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?km,公路,

价之比为3:5,三、函数的最大值和最小值74例7.

把一根直径为

d

的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h

和

b

应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?

解:

由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.三、函数的最大值和最小值75清楚(视角

最大)?

观察者的眼睛1.8m,例8.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:

设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在

,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m

处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最三、函数的最大值和最小值76存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例9.

设某工厂生产某产品x千件的成本是解:

售出x千件产品的利润为问是否故在x2=3.414千件处达到最大利润,

而在x1=0.586千件处发生局部最大亏损.

小结771.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减小结782.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值小结79最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.3.连续函数的最值一、曲线的凹凸性与拐点三、函数图形的描绘4.5函数图形的描绘二、曲线的渐近线四、弧微分及曲线的曲率一、曲线的凹凸性81定义

.

设函数在区间

I

上连续

,(1)

若在区间

I内曲线弧上任一点处的切线，都在则称图形是凹的;(2)

若在区间

I内曲线弧上任一点处的切线，都在图形是凸的

.曲线上由凹变凸（由凸变凹）分界此段曲线弧的下方，此段曲线弧的上方，xyO点称为拐点.一、曲线的凹凸性82定理1.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I

内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I

内图形是凸的.在区间I上有二阶导数单调递增x1x2α1α2AB一、曲线的凹凸性83例1.

判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及定理1,可得拐点的判别法如下:或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,一、曲线的凹凸性84例2.

求曲线的拐点.

解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸一、曲线的凹凸性85对应例3.

求曲线的凹凸区间及拐点.解:

1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸一、曲线的凹凸性86C二、曲线的渐近线87点M

与某一直线L的距离趋于0,定义.

若曲线

C上的点M

沿着曲线趋于无穷远时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,

双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”二、曲线的渐近线881.

水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例4.

求曲线的渐近线

.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.二、曲线的渐近线89斜渐近线若2.斜渐近线二、曲线的渐近线90例5.

求曲线的渐近线.解:所以有垂直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.三、函数图形的描绘91步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形

.的点;并考察其奇偶性及周三、函数图形的描绘92例6.

画出函数的图形.解:

1)定义域为2)原函数变为①两边对x求导得两边对x求导得三、函数图形的描绘933)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义三、函数图形的描绘94又因即5)求特殊点为斜渐近线三、函数图形的描绘95斜渐近线铅直渐近线特殊点无定义(极大)(极小)6）绘图斜渐近线经过点(－3,－2)和(5,0)三、函数图形的描绘96例7.

描绘函数的图形.

解:

1)定义域为图形对称于

y

轴.2)求导并找出关键点