八年级数学上册轴对称图形作图与计算专项训练

第页八年级数学上册轴对称图形作图与计算专项训练一、轴对称基本概念回顾1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。3.线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。4.轴对称的性质：*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。二、轴对称作图专项训练（一）补全轴对称图形练习1：如图，已知直线l和△ABC的一部分，请补全与△ABC关于直线l对称的△A'B'C'。（此处应有一图，图中有一条竖直虚线作为对称轴l，左侧有一个不完整的三角形ABC，点A、B在轴左侧，C在轴上。请在答题区作图。）练习2：在下列网格中，分别以虚线为对称轴，补全轴对称图形的另一半。（此处应有两个网格图，每个网格中有一条斜向虚线作为对称轴，以及轴对称图形的一半线条。）（二）作已知图形的轴对称图形练习3：如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-2,3)，B(-4,1)，C(-3,-2)，D(-1,-1)。(1)画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A₁B₁C₁D₁，并写出各顶点的坐标。(2)画出四边形ABCD关于直线x=1对称的四边形A₂B₂C₂D₂。练习4：已知△ABC，请用尺规作图，作出△ABC关于直线MN对称的图形。（保留作图痕迹，不写作法）（此处应有一图，图中有一个三角形ABC和一条直线MN。）（三）确定对称轴练习5：观察下列图形，画出它们所有的对称轴。（此处应有三个图形：一个等边三角形、一个矩形、一个正六边形。）练习6：如图，两个四边形关于某条直线对称，请找出它们的对称轴，并用尺规作图法准确画出。（此处应有一图，图中左右各有一个成轴对称的四边形，但对称轴未画出。）（四）利用轴对称确定最短路径练习7：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄。欲在河岸l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两村供水。若要使铺设的管道总长度PM+MQ最短，请在图中标出水泵站M的位置，并说明理由。（此处应有一图，图中一条直线l代表河，直线同侧有两点P和Q。）练习8：如图，在∠AOB的内部有一点P，分别在OA、OB上找点M、N，使得△PMN的周长最小。请画出点M、N的位置。（此处应有一图，图中有一个角∠AOB和角内部一点P。）三、轴对称计算专项训练（一）利用轴对称性质求角度练习9：如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，∠A=50°，∠C'=70°，则∠B的度数为______。练习10：如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P₁、P₂，P₁P₂分别交OA、OB于点M、N。若∠AOB=40°，则∠MPN的度数为______。（二）利用轴对称性质求线段长度练习11：如图，AD是△ABC的边BC的垂直平分线，AB=5，AC=8，则△ABD的周长与△ACD的周长之差为______。练习12：如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为______cm。（三）综合计算与证明练习13：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，E、F分别是AB、AC延长线上的点，且BE=CF，连接DE、DF。若DE=DF，求证：D在BC的垂直平分线上。练习14：已知：如图，P为∠AOB内一点，P₁、P₂分别是P关于OA、OB的对称点，P₁P₂交OA于M，交OB于N。若P₁P₂=10cm。(1)求△PMN的周长。(2)当∠AOB的度数是多少时，△P₁OP₂是等边三角形？请说明理由。四、参考答案与解析作图题（练习1-8）解析要点：*练习1-4，6：作图关键是通过作垂线、截取等长线段，找到关键点的对称点，再连线。网格题需利用网格点定位。*练习5：等边三角形有3条对称轴；矩形有2条对称轴；正六边形有6条对称轴。*练习7：作点P关于直线l的对称点P'，连接P'Q交l于点M，点M即为所求。原理：两点之间线段最短。*练习8：分别作点P关于OA和OB的对称点P'和P''，连接P'P''，分别交OA、OB于点M、N，点M、N即为所求。计算与证明题答案：练习9：60°解析：∵△ABC与△A'B'C'关于MN对称，∴△ABC≌△A'B'C'，∴∠C=∠C'=70°。在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠C=180°-50°-70°=60°。练习10：100°解析：∵P₁、P₂是P关于OA、OB的对称点，∴OA垂直平分PP₁，OB垂直平分PP₂。∴PM=P₁M，PN=P₂N。∴∠MPN=∠P₁PP₂-∠P₁PM-∠P₂PN。易证∠P₁PP₂=2∠AOB=80°，且∠P₁PM+∠P₂PN=∠P₁+∠P₂。由对称性，∠P₁=∠OPP₁，∠P₂=∠OPP₂。在四边形OP₁PP₂中，可求得∠P₁+∠P₂=180°-80°=100°？此计算有误，应重新推导。更简洁方法：∵PM=P₁M，PN=P₂N，∴△PMN周长=P₁P₂=定长。但求∠MPN需另寻他法。连接OP。由对称性，∠P₁OA=∠AOP，∠P₂OB=∠BOP。∴∠P₁OP₂=2∠AOB=80°。在等腰△P₁OP₂中（OP₁=OP=OP₂），∠OP₁P₂=∠OP₂P₁=(180°-80°)/2=50°。考察四边形OMPN，∠MOP=∠AOP，∠NOP=∠BOP，∠OMP=∠ONP=90°。∴在四边形OMPN中，∠MPN=360°-90°-90°-40°=140°？此结果与选项不符。题目可能存在理解歧义，标准解法应为：∠MPN=180°-∠AOB=140°？但给定∠AOB=40°，则∠MPN=140°。但常见模型结论为∠MPN=180°-∠AOB。故答案应为140°。（编者注：原题意图可能是求∠P₁PP₂，则为80°；若求∠MPN，则为140°。此处按常见变式题计算为140°。）练习11：3解析：∵AD垂直平分BC，∴BD=CD。△ABD周长=AB+BD+AD，△ACD周长=AC+CD+AD。两者之差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=5-8=-3？取绝对值，差为3。练习12：19解析：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，AE=CE=3cm。∴AC=6cm。△ABD周长=AB+BD+AD=13cm。∴△ABC周长=AB+BD+CD+AC=(AB+BD+AD)+AC=13+6=19(cm)。练习13：证明：连接AD。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵BE=CF，∴AB+BE=AC+CF，即AE=AF。在△EBD和△FCD中，∵DE=DF，BE=CF，∠B=∠C，但此两组边夹角不对应，无法直接证全等。需另寻他法。过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵DE=DF，∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL？斜边直角边，需DG=DH）。若能证明DG=DH，则D在∠BAC的平分线上，又AB=AC，根据等腰三角形三线合一，AD垂直平分BC，即D在BC的垂直平分线上。如何证DG=DH？可考虑连接AD，证明△ADG≌△ADH（需∠BAD=∠CAD）。或利用面积法：S△ABD=S△ACD？因为AB=AC，若D在BC中垂线上，则BD=CD，两个三角形等底等高，面积相等。但这是要证的结论，不能循环论证。题目条件可能不足或需添加辅助线。标准思路是：连接AD，证明△ADE≌△ADF（SSS？需AD=AD，AE=AF，DE=DF），从而∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC，结合AB=AC，即可得证。∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△ADE≌△ADF（SSS）。∴∠EAD=∠FAD。∴AD平分∠BAC。又∵AB=AC，∴AD垂直平分BC。∴点D在BC的垂直平分线上。练习14：(1)周长=10cm。解析：∵P₁、P₂是P关于OA、OB的对称点，∴OA垂直平分PP₁，OB垂直平分PP₂。∴PM=P₁M，PN=P₂N。∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P₁M+MN+P