2025-2026学年汉阳区四校联考九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年汉阳区四校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分。1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．23．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（）A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720 C．500（1+x2）＝720 D．720（1﹣x）2＝5004．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．65．对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝﹣2 D．图象的顶点坐标是（1，2）6．如图，⊙O的半径是3，点O到AB的距离是2，弦AB的长是（）A．5 B．25 C．22 D7．抛物线y＝（x﹣1）2+k经过（﹣2，y1），（3，y2）两点，则y1、y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定8．如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠BAC＝20°，则∠CAD的度数是（）A．50° B．40° C．30° D．20°9．如图，圆锥底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的全面积为（）A．15πcm2 B．24πcm2 C．28πcm2 D．30πcm210．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共5小题，每小题3分。11．已知点A（m，﹣2）和点B（5，﹣n）关于原点对称，则m+n＝．12．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝a（x﹣10）2+10，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为米．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在PA，PB上，CD切⊙O于点E．若△PCD的周长为12，则PA的长为．14．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升cm（结果保留π）．15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为．三、解答题16．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣7＝0；（2）3x2﹣8x+3＝0．17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣x1•x2＝1，求m的值．18．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）写出点C1坐标为；点C2坐标为．19．（6分）如图，⊙O中，OC⊥AB于点E，点D为⊙O上一点．（1）求证：∠BDC=（2）若CE＝2，AB＝6，求OC的长．20．（6分）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，求剪去小正方形的边长．21．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点E是直径AD延长线上一点，连接BD，且∠EBD＝∠BAE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若∠C＝2∠E，AB=2322．（10分）某商店销售进价为20元件的某种商品，在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：设销售商品的每天利润为y元．时间x（天）1≤x＜4545≤x≤90售价（元/件）x+3070每天销量（件）160﹣2x（1）求当45≤x≤90时，y与x的函数关系式；（2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（0＜a）给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值．23．（11分）在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，旋转△DEC，使点D在△ABC内，连接AD，BE．（1）如图1，求证：△ADC≌△BEC；（2）当AD∥CE时，延长AD交BC于点F．①如图2，若AB=32，CF＝1，求BE②如图3，连接BD，若点F是BC的中点，判断线段AD与线段BD的数量关系，并说明理由．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA．（1）求抛物线解析式；（2）点M是直线AC上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形ABCM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．

2025-2026学年汉阳区四校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DABDBBACBD一、选择题：本题共10小题，每小题3分。1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；故选：D．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，解得：m＝﹣3．故选：A．3．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（）A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720 C．500（1+x2）＝720 D．720（1﹣x）2＝500【解答】解：依题意得：500（1+x）2＝720．故选：B．4．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．6【解答】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．5．对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝﹣2 D．图象的顶点坐标是（1，2）【解答】解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，函数的最小值是y＝1，故选项B正确，图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，顶点坐标为（2，1），故选项D错误．故选：B．6．如图，⊙O的半径是3，点O到AB的距离是2，弦AB的长是（）A．5 B．25 C．22 D【解答】解：连接OA，过O点作OC⊥AB于C，如图，由条件可知AB＝2AC，在Rt△OAC中，∵OC＝2，OA＝3，∴AC=3∴AB=2AC=25故选：B．7．抛物线y＝（x﹣1）2+k经过（﹣2，y1），（3，y2）两点，则y1、y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定【解答】解：由条件可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大，∵1﹣（﹣2）＞3﹣1，∴y1＞y2，故选：A．8．如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠BAC＝20°，则∠CAD的度数是（）A．50° B．40° C．30° D．20°【解答】解：∵∠BAD＝50°，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°．故选：C．9．如图，圆锥底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的全面积为（）A．15πcm2 B．24πcm2 C．28πcm2 D．30πcm2【解答】解：由题知，因为圆锥底面圆的直径为6cm，所以圆锥的底面圆的面积为：π×（6÷2）2＝9π（cm2）．因为圆锥的高为4cm，所以圆锥的母线长为：32+4所以圆锥的侧面积为：π×3×5＝15π（cm2），则9π+15π＝24π（cm2），所以圆锥的全面积为24πcm2．故选：B．10．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意；B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，故选项不符合题意；C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意；D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，故选项符合题意；故选：D．二、填空题：本题共5小题，每小题3分。11．已知点A（m，﹣2）和点B（5，﹣n）关于原点对称，则m+n＝﹣7．【解答】解：∵点A（m，﹣2）和点B（5，﹣n）关于原点对称，∴m＝﹣5，﹣n＝2，∴m＝﹣5，n＝﹣2，∴m+n＝﹣5﹣2＝﹣7，故答案为：﹣7．12．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝a（x﹣10）2+10，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为20米．【解答】解：由抛物线解析式可知点P的坐标为（10，10），由条件可知点P′的坐标为（10，﹣10），∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为10﹣（﹣10）＝20（米）；故答案为：20．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在PA，PB上，CD切⊙O于点E．若△PCD的周长为12，则PA的长为6．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∴PA＝PB，又∵CD切⊙O于点E，∴CA＝CE，DE＝DB，∵△PCD的周长为12，∴PA+PB＝PC+CA+DB+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+CD+PD＝12，∴PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6．故答案为：6．14．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升203πcm（结果保留π【解答】解：l==203π故答案为203π15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为90°或180°或270°．【解答】解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动．如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C．∵P3C＝2AB＝BC，又∵∠B＝60°，∴△P3BC为等边三角形，∴AC⊥AB．在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴CD⊥AC．∴∠ACD＝90°，∴当P在直线AC上时符合题意，∴α1＝90°，α2＝270°．连接P3D，∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD，∴四边形ACDP3为平行四边形．∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°，即：P运动到P3时符合题意．∴α3＝180°．记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G．AG=A∴⊙A与⊙G相离，∴∠DPC＜90°．故答案为：90°、180°、270°．三、解答题16．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣7＝0；（2）3x2﹣8x+3＝0．【解答】解：（1）对于方程x2﹣4x﹣7＝0，移项得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝11，∴（x﹣2）2＝11，∴x-∴x=2±∴该方程的解为：x1=2+11，x2=2（2）对于方程3x2﹣8x+3＝0，∵a＝3，b＝﹣8，c＝3，∴该方程根的判别式：b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×3×3＝28，∴x=-(8)±√28∴该方程的解为：x1=4+173，x17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣x1•x2＝1，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（4m+1）≥0，解得m≤2，∴m的取值范围为m≤2；（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∵x1+x2﹣x1•x2＝1，∴6﹣（4m+1）＝1，解得m＝1，即m的值为1．18．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）写出点C1坐标为（﹣4，﹣3）；点C2坐标为（﹣1，4）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2BC2即为所求；（3）C1（﹣4，﹣3），C2（﹣1，4）．故答案为：（﹣4，﹣3，），（﹣1，4）．19．（6分）如图，⊙O中，OC⊥AB于点E，点D为⊙O上一点．（1）求证：∠BDC=（2）若CE＝2，AB＝6，求OC的长．【解答】（1）证明：连接OB．∵OC⊥AB，∴AC=∴∠AOC＝∠BOC．又∵∠BDC和∠BOC都对着BC，∴∠BDC=∴∠BDC=（2）设OA＝OC＝x，则OE＝x﹣2，∵OC⊥AB，AB＝6，∴AE=BE=1在Rt△AOE中，由OE2+AE2＝OA2，得（x﹣2）2+32＝x2，整理得，4x＝13，解得x=13∴OC=20．（6分）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，求剪去小正方形的边长．【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．整理得：（x﹣5）（x﹣30）＝0．解得：x1＝30（舍去），x2＝5，答：剪去小正方形的边长是5cm．21．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点E是直径AD延长线上一点，连接BD，且∠EBD＝∠BAE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若∠C＝2∠E，AB=23【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBD＝∠ODB，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°＝∠OBA+∠OBD，∴∠OAB+∠OBD＝90°，∵∠EBD＝∠BAE，∴∠OBD+∠EBD＝90°＝∠OBE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵∠C＝2∠E，∴∠ADB＝∠C＝2∠E，∵∠ADB＝∠EBD+∠E，∠EBD＝∠BAE，∴∠OAB＝∠EBD＝∠E，∠ADB＝2∠OAB，在Rt△ABD中，∠OAB+∠ODB＝90°，∴∠OAB+2∠OAB＝90°，∴∠E＝∠OBA＝∠OAB＝30°，∴∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝60°，AD＝2BD，设⊙O的半径为r，r＞0，则AD＝2BD＝2r，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴(23解得：r＝2，即OB＝2，∴OE＝2OB＝4，∴BE=O∴S阴影＝S△OBE﹣S扇形OBD=122．（10分）某商店销售进价为20元件的某种商品，在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：设销售商品的每天利润为y元．时间x（天）1≤x＜4545≤x≤90售价（元/件）x+3070每天销量（件）160﹣2x（1）求当45≤x≤90时，y与x的函数关系式；（2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（0＜a）给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值．【解答】解：（1）由题意得，当45≤x≤90时，y＝（160﹣2x）（70﹣20）＝﹣100x+8000，∴y＝﹣100x+8000；（2）由题意得，当1≤x＜45时，y＝﹣2x2+140x+1600＝﹣2（x﹣35）2+4050，∵a＝﹣2＜0，∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝35，当x＝35时，y最大＝4050；又∵当45≤x≤90时，y随x的增大而减小，∴当x＝45时，y最大＝﹣100×45+8000＝3500．综上所述，该商品第35天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元；（3）根据题意得，y＝（160﹣2x）（x+30﹣20﹣a）＝﹣2x2+（140+2a）x+1600﹣160a，∴函数的对称轴x=-140+2a2×(-2)=当0＜a≤20时，对称轴x＝35+12a≤∴当x＝35+12a时，y最大＝∴﹣2（35+12a）2+（（2a+140）（35+12a）+1600﹣160∴a＝2或178（舍去），∴a＝2；当a＞20时，对称轴x＝35+12a＞∵抛物线开口向下，∴当1≤x≤45时，y随x的增大而增大，∴当x＝45时，y最大＝3872．∴﹣2×452+45（20a+140）+1600﹣160a＝3872．∴a=-11综上所述，a＝2．23．（11分）在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，旋转△DEC，使点D在△ABC内，连接AD，BE．（1）如图1，求证：△ADC≌△BEC；（2）当AD∥CE时，延长AD交BC于点F．①如图2，若AB=32，CF＝1，求BE②如图3，连接BD，若点F是BC的中点，判断线段AD与线段BD的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ADC≌△BEC（SAS）．（2）解：①∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，AC2+CF2＝AF2．∵AC＝BC，AB=32∴AC∴AC=9∴AF=A∵AD∥CE，∴∠ADC＝∠DCE＝90°，∴∠ADC＝∠ACF，∵∠DAC＝∠CAF，∴△ADC∽△ACF，∴ADAC∴AD=A同（1）可知，△ADC≌△BEC，∴BE=AD=9②BDAD如图3，延长AF交BE于点G．∵△ADC≌△BEC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，AD＝BE，∴∠BEC＝∠DCE＝∠CDG＝90°，∴四边形CDGE是矩形，∵CD＝CE，∴四边形CD