小升初数学下册奥数第04讲曲线形计算综合(学生版+解析)

曲线形计算综合

翎知识点

一、曲线型问题综合提高(六下)

1、基本曲线形计算

(I)网：C=2x^-x/=zrxf/；

,“c1

Sc=zrx厂==—.

44JT

(2)扇影：I=」一x2xnxr：

360

n2/xr

Sc------x^-xr--------

3602

(3)圆柱体：v=s*xh.

(4)圆锥体：r=lx5ttxh.

2、曲线形计算技巧

(1)割补法

(2)平移、旋转

(3)重叠(容斥)

3、圆形滚动与活动范围

(1)活动范围问题注意对称性，即所求的范困是一个对称图形才可以保证最大.

(2)网在滚动过程中打过的面枳：重点在于确定打过面积的边界,在确定边界时,注

意贴边滚动和绕点转动的区别.

二、圆与扇形进阶(五下)

1、跟曲线有关的图形元素：

①扇形，扁形由曳立在圆心的角的两边和这两边所截一段圆谑围成的图形，扇形是圆的一部

分.我们经常说的白厕、［圆、白圆等书其实都是期形，而这个几分之几表示的其实是这

246

个扇形的圆心角占这个圆周用的几分之几.那么般的求法是什么呢？关键足义.

360

比如：扇形的面积=所在例的面积x」L：

360

扇形中的弧长部分二所在圆的周长X嬴

扇形的周长=所在圆的周长，」-+2x半衿（易借点是把扇形的周长等同于扇形的孤长）.

360

②弓形：弓形•般不要求周长，主要求面积.

一般来说，弓形面积=崩形面积一三角形面积.（除广半圆）

③“弯角”：弯角的面积=正方形一扇形

④“谷子”：“谷子”的面积=弓形面积x2

弓形谷子

2、常用的思想方法：

①转化思想（复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的）

②等积变形（割补、平移、旋转等）

③借来还去（加战法）

④外围入手（从会求的图形或苛能求的图形入手,看与要求的部分之间的“关系“）

上眩课堂例题

1、（2012年四中分班）在右图中，长方形的两边长分别为2c,勿和4c/〃，而两个四分之，一圆

弧的半径分别是2c，〃和4°〃，求两个阴篇部分的面积差（结果保留;r）.

2、图中的三角形是等腰直角三角形，那么阴影部分的面积是.（兀取近似值3.14）

3、图中的两个直角扇形的半径分别是2和6,那么阴影部分的,面积是.（兀取近似值

3.14)

4、图中有半径分别为5厘米，4厘米，3厘米的三个圆，A部分（即两小圆重叠部分〉的面

积与阴影部分的面积相比，大,大.

5、三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10c??/,求大半圆外的阴

影面积比大半圆内的阴影面积大多少平方恒米？

6、如图，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半园的直径恰好都在边上.一些

线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？（江取3.14）

7、图中大圆的半径是20厘米,7个小圆的半径都是10厘米.那么阴影图形的面积是-______

平方厘米（兀取3.14）.

8、6个半径相等的小圆和1个大圆如图摆放.图中大圆的面积是120,那么，阴影部分面

积是.

9、图中大圆的半径是5厘米，小圆的半径是1厘米.当小圆经大圆滚动一周又回到原来位

置时，那小圆扫过区域的面积是平方厘米.（冗取近似值3.14）

10、一只狗被拴在底座为边长3〃?的等，边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4〃z,求狗

所能到的地方的总面积.

11、如下图，草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的

绳子拴着一只羊.问：这只羊能够活动的范围有多大？

遥'随堂练习

1、图中正六边形的边长是3厘米，小圆的半径是1厘米.当小圆绕正六边形滚动一周又回

到原来位置时，小圆扫过区域的面积是平方厘米.（冗取近似值3.14）

2、已知图中的小圆直径为1,图中阴影部分的面积为.（兀取3.14）

3、图中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套.成.该零件最宽处的宽度

为12厘米.该零件的面枳为多少平方厘米？（加取3.14）

4、如图所示，直角三角形ABC绕点8旋转到直角三角形EBD,ZABC=60°,A3=l（）,

6=5,则直角边AC扫过的面积是.（几取3.14）

5、如图所示，大正方形的边长为10厘米，它内部有一等边三角形48C,边长为5厘米,

三角形从左下角开始沿正方形的边翻转一圈之后，顶点A所划过的曲线的总长度为

厘米；三角形所扫过•的面积是平方厘米.［兀取3.14）

课后作业

1、图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C,AE=4m,点B是AE的中点,

那么阴影部分的周长是m,面积是m2（圆周率万取3）.

2、如图，正力形AHC”的面积是64平力厘米，L,A分别为所在半圆弧的中点.求阴影部

分的面积.（r取3.14）

3、如图A8是圆的直径，NA8C=90。，AB=BC=4,则图中阴影部分的面积是-

4、如图，已知A8=40cm,图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴

影部分的面积是cm2.（冗取3.14）

5、如图，右图中的圆和半，圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是I.求阴影部

分的面积.（产取3.14）

6、下图是一个直径是3厘米的半圆，八8是直径.如图所示，让A点不动，把整个半圆逆

时针转60.此时8点移动到C点.请问：图中阴影部分的面积是多少平方r厘米？

7、如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的止方形建筑物的一个顶点处，四周都是空地,

绳长8米.那小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，兀

取近似值3）

狗Q

8、如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形建筑物的一个顶点处，四周都是空地，

绳长10米.那小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，兀

取近,似值3）

9、图中有一个边长为6的十字架形状的图形，小圆的半径是I.当小圆绕等边三角形滚动

一周又回到原来位置时，小圆扫过区域的面积是平方厘米.（冗取近似值3）.

10、（1）图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形滚动一周又

回到原来位置时，扫过的面积有多大？（产取3.14）

（2）图中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米.当圆形绕等边三角形滚动一

周又回到原来位置时，扫过的面枳有多大？（江取3.14）

曲线形计算综合

像知识点

三、曲线型问题综合提高(六下)

1、基本曲线形计算

(1)圆：C=2x^,xr=^xt/；

,/rrC1

Sc=itxr-=----=—.

44^

(2)扇形：/=-^―x2x^,xr：

360

n2Ixr

Sc----xzrxr----

3602

(3)倒柱体：y=s般xh.

(4)例锥体：r=six5ftxA.

2、曲线形计算技巧

(1)割补法

(2)平移、旋转

(3)重叠(容斥)

3、圆形滚动与活动范围

(1)活动范围问题注意对称性，即所求的范困是一个对称图形才可以保证最大.

(2)留在滚动过程中打过的面枳：垂点在F确定打过面积的边界.在确定边界时，注

意贴边滚动和绕点转动的区别.

四、圆与扇形进阶(五下)

1、跟曲线有关的图形元素：

①扇形8扁形由曳立在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部

分.我们经常说的白厕、!则、白圆等等其实都是期形，而这个几分之几表示的其实是这

246

个扇形的圆心角占这个圆周甫的几分之几.那么般的求法是什么呢？关键是义.

360

比如：扇形的面积=所在圆的面积x」L：

360

扇形中的弧长部分二所在醐的周长X嬴

康彩的周长=所在圆的周长x」-+2x半径（易借点是把康形的周长等同于扇形的孤长）.

360

②弓形：弓形般不要求周长，主要求面积.

一般来说，弓形面积=崩形面积一三角形面积.（除广半圆）

③“弯角”：弯角的面积=正方形一扇形

④“谷子”：“谷子”的面积=弓形面枳x2

弓形谷子

2、常用的思想方法：

①转化思想（复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的）

②等积变形（割补、平移、旋转等）

③借来还去（加战法）

④外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的“关系“）

遇,课堂例题

1、在右图中，长方形的两边长分别为2a〃和40〃，而两个四分之一圆弧的半径分别是2c/〃

和4cm,求两个阴影部分的面积差（结果保留产）.

【答案】

(3^-8)cm'

【解析】

22

S3-S4=(53+S,+S2)-(S4+S,+S2)=-i^x4-(4-2)x4-^x2=(3^-8)mr.

2、图中的三角形是等腰直角三角形，那么阴影部分的面积是.(兀取近似值3.14)

4

«--------4----------

【答案】

4.56

【解析】

阴影部分的而枳，相当于45度扇形与半圆的面枳和，再减去等腰直角三角形的面枳.

3、图中的两个直角扇形的半径分别是2和6,那么阴影部分的面枳是.（兀取近似值

3.14）

【答案】

19.4

【解析】

.阴影部分的面积，相当于两个直角扇形的面积和，再减去一个长方形的面积.

4、图中有半径分别为5厘米，4座米，3厘米的三个圆，A部分（即两小圆重叠部分）的面

积与阴影部分的面积相比，大，大.

【答案】

一样大

【解析】

如图所示，半径为5厘米的圆与半径为4厘米的圆面积之差为兀x5,-%X42=9TI,它等于半

径为3厘米的圆面积71x3?=9几，同时等于图中阴影部分面积与B部分面积之和.

而小圆面积又等于A部分的面积与B部分面积之和.因此A部分的面积与阴影部分面积相

B

5、三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10c/n,求大半圆外的阴

影面积比大半圆内的阴影面积大多少平方厘米？

【答案】

100万

【解析】

S外一S内=（S外+S①+S②）一（S内+S①+S0）=25小1n—（S大半风一S小即）=3S小网—5大倾

=^x|3x102--x2O2100^cm2.

I2

6、如图，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半园的直径恰好都在边上.一些

线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？（江取3.14）

【答案】

16

【解析】

如下左图，顺次连接四个半圆的圆心，将大正方形分成一个斜的正方形和四个相等的直角三

角形.

斜正方形里的四个扇形正好可以绢成一个圆.四个二角形里的八个扇形也可以组成一个阅：

因此斜正方形和四个三角形包含的扇形的面积是相等的；而它们去掉这些扇形之后，分别得

到中间的阴影和四个角上的阴影；因此中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差就是斜正

方形与四个三角形的面积之差.再看右图，图中八个直角三角形是完全相同的，斜正方形与

四个三角形面积之差等于里面的小正方形.的面积，这个小正方形的边长为三角形的两条直

角边之差，是6-2=4,面积是4x4=16；此中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是

16.

7、图中大圆的半径是20厘米,7个小圆的半径都是10厘米.那么阴影图形的面积是

平方厘米（几取3.14）.

【答案】

942

【解析】

阴影部分的六分之一可以分成一个“月牙形”和四个弓形，而四个弓形的面枳之和等于一个大

弓形的面积（如下图，因为大圆半径是小圆半径的2倍，面积是校园面积的4倍），月牙形

和大弓形正好拼成半圆，所以羽影部分面积的六分之一等于半圆面枳，阴影部分面积等于三

个圆的曲枳，3x7^x10x10=942.

8、6个半径相等的小圆和1个大圆如图摆放.图中大圆的面积是120,那么，阴影部分面

积是.

【答案】

40

【解析】

设大圆半径和小圆半径分别为2R和2「，画出大小圆半径发现它们同处一个等边三角形，如

图1所示，两条粗线分别为大圆半径和小圆半径，由等边三角形性质和勾股定理，有

肥+（3「）2=（2/?）2=正=3/，说明大圆面积是小圆面枳的3倍关系，即小圆而积为40.

图2,由于三个小圆面积等于大圆面积，所以图中3工=352+3邑.

图3,可以看出，图2中的两种阴影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6个120度

扇形，总共为2个小圆，又因为两种阴影部分面积相等，所以所求面积为一个小圆面积，即

40.

9、图中大圆的半径是5厘米，小圆的半径是1厘米.当小圆绕大圆滚动一周又回到原来位

置时，那小圆扫过区域的面积是______平方厘米.（冗取近似值3.14）

【答案】

50.24

【解析】

滚圆扫过区域的面积，相当于以大圆圆心为圆心，内半径为3厘米，外半径为5厘米的一个

圆环的面积.

10、一只狗被拴在底座为边长3,〃的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4〃?，求狗

所能到的地方的总面积.

【答案】

43.9613

【解析】

羊活动的范围是一个半径4小,圆心角340。的扇形与两个半径1,九，圆心角120。的扇形之和.所

以答案是43.96me.

11、如下图，草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的

绳子拴着一只羊.问：这只羊能够活动的范围有多大？

【答案】

2512平方米

311

如下图.—X^-X302+—X^-X202+—X^-XI02=25I2.

444

20

遥'随堂练习

1、图中正六边形的边长是3厘米，小圆的半径是1厘米.当小圆绕正六边形滚动一周又回

到原来位置时，小圆扫过区域的面积是平方厘米.（冗取近似值3.14）

【答案】

【解析】

小圆在边上滚动时，扫过区域的外边界是一条线段，那么这部分图形的相当于一个长方形:

而小圆在拐角时，扫过区域外边界是一段圆弧，那么这部分图形相当于一个扇形，这些扇

形恰好能够组合成一个整圆.

2、（2015年金帆五春）已知图中的小圆直径为I,图中阴影部分的面积为.（兀取

【答案】

【解析】

如图，将中间阴影部分移至四周，可知与=5大网-S大正方形=3.14x『-；x2?=L14.

3、图中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成.该零件最宽处的宽度

为12厘米.该零件的面积为多少平方厘米？（产取3.14）

【答案】

42.39平方厘米

【解析】

如图,作出直线GH/，,其中/是大半圆的圆心.G是中半圆的13］心.H是小半圆的圆心.

记大、中、小半圆的半径分别是。、/八c.先找〃和力的关系，如图2,连接C/,这样ACG/

的两条直角边长度为匕，斜边长度为〃，那么27/=/；

再找。和c的关系，如图3,连接GF,这样AG”厂的两条直角边长度为c,斜边长度为0,

那么2c2=从；所以c2=4b2=_Lq2；也就是C=L=3.

8?=$大半M-S小半/

-X7tx62--X7tx3

22

27

一71

=42.39

所以阴影部分的面积为42.39平方厘米.

4、如图所示，直角三角形ABC绕点8旋转到直角三角形EB。，NAAC=60°,AK=10,

CB=5,则直角边AC扫过的曲枳是.（几取3.14）

【答案】

78.5

【解析】

如图所示，直角边AC扫过的面积即为阴影部分的面积.阴影部分面积等于大扇形和直角三

角形BDE的面积和减去小扇形和直角三角形AHC的,面积，所以阴影部分的面积即大扇形面

积与小崩形面枳的差，即

102一一^-x52=25乃=78.5.

33

5、如图所示，大正力形的边改为10厘米，它内部有一等边三角形AHC,边长为〉厘米,

三角形从左下角开始沿正方形的边翻转一圈之后，顶点A所划过的曲线的总长度为

_________厘米；三角形所扫过的面积是平方厘米.（几取3.14）

【答案】

20.93,64.25

【解析】

顶点A所划过的曲线的总长度如图1所示，洋红色曲线，即12*5x2=20.93（厘米）.

3

三角形所扫过的面积如图2所示阴.影部分的面积，即

乃x5°一（；乃x5。-102+4）=3^x5,+25=64.25（平方厘米）.

工葩课后作业

1、图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点4和点C,A£=4m,点8是AE的中点,

那么阴影部分的周长是m,面积是n?（圆周率乃取3）.

【答案】

13；7

【解析】

根据图形可知阴影部分的周长即两段圆弧加长方形的长，所以周长为

ix2x3x（4+2）+4=13m：阴影部分的面积根据容斥原理，即为两个扇形面积和减去长方

形的而积，所以面积是：x3x（42+22）-4x2=7平方米.

2,如图，正方形ABC。的面积是64平方厘米，E,F分别为所在半圆弧的中点.求阴影部

分的面积.（冗取3.14）

A

【答案】

73.12平方厘米

【解析】

从图中可以看出，两块空白图形的面积等于半圆面积加上正方形,面积减去△AEO的面积，

即8X8+7TX42+2—8x12+2=41.12,阴影部分面积。等于整个图形面积减去空白的面积，B|J

8x8+71x42-41.12=73.12平方厘米.

3、如图A8是圆的直径，NA8C=90。，AB=BC=4,则图中阴影部分的面积是,

【答案】

4

【解析】

设AC交圆于。点，连结30.易知AAD8为直角三角形，ZDAB=45,故其为等腰直角三

角形，左右对称，因此S9j=Sum=42+4=4.

4、如图，已知AB=40cm,图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴

影部分的面积是cn?.（支取3.14）

【答案】

628”

【解析】

通过图形的旋转，我们可以把小半圆阴影移动到如图所示的位置，那么总共阴影的面积就等

于一个大圆（半径为20cm）的面积减去两个小圆（半径为10cm）的面积和，即

3.14x2O2-2x3.14xlO2=200x3.14=628平方厘米.

超

5、如图，右图中的圆和半圆都两两相切,两个小圆和三个半圆的半径长都是1.求阴影部

分的曲枳__________（汗取3.14）

工

【答案】

157

而

【解析】

③

r=l/R=3.如图所示，+S2++$6=S大华1H।-3.5xS小1a=3.14,故S2+=§x3.14,

1,,.1_,,,25_,.157

5剧=s?+s$+s小半国=-x3.14+—x3.l4xr=-x3.14=-----

32660

6、下图是一个直径是3厘米的半圆，八3是直径.如图所示，止A点不动，把整个半圆逆

时针转60.此时8点移动到C点.请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】

4.71

【解析】

60,

s用彰=s半圜+s般形-s半圜=s扇形=x%x32=4.71.

7、如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形建筑物的一个顶点处，四周都是空地,

绳长8米.那小狗的活动范匡是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，兀

取近似值3）

狗一Q

【答案】

168

【解析】

小狗活动范围是一个以8为半径，圆心角270。的大扇形，加上两个以4为半径，圆心角90。

的小扇形，总面积为168.

8,如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形建筑物的一个顶点处，四周都是空地,

绳长10米.那小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，兀

取近似值3)

【答案】

258

【解析】

根据题意，绳子的长度应该恰好是半周长10米，那么小狗就恰好能走到建筑物外墙的任一

位置.因为绳子被拴在一个固定点，所以小狗的活动范围应该是以绳长为半径的圆形区域,

但是由于墙面的限制，所以运动范围并不是完整的圆形，应该如下图所示.小狗的活动范围

是“、b、c、4e五个部分，都是扇形，其中〃和e一样，c和d一样.五边形的内角和是

180°x(5-2)=540°,所以每个内角为540。+5=108。：其中〃的半径是10米，圆心角为

360°-108°=252°；

扇形氏e的半径是10-4=6米，圆心角为180°-108。=