岳阳市七年级数学下册相期末压轴题易错题考试试题

一、解答题

1.在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（2,0）,（-2,0）,现将线段A8先向上平

移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段。C,连接A。，BC.

（2）如图1,在V轴上是否存在点P,连接PA,使5“AB=S四边形ABCD?若存在这样的

点，求出点尸的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）如图2,在直线CO上是否存在点Q,连接QB,使SA“"=；S四边wag?若存在这样

2

（4）在坐标平面内是否存在点M,使%如8=§与边形,少？若存在这样的点M,直接写出

点M的坐标的规律；若不存在，请说明理由.

解析：（1）C（T3）,。（3,3）,右边形,"=12；（2）存在，夕（0,-6）或P（0,6）；⑶存

在，。（1,3）或。（-3,3）；（4）存在，M的纵坐标总是4或-4.或者：点M在平行于x轴

且与x轴的距离等于4的两条直线上；或者：点M在直线），=4或直线），=-4上

【分析】

（1）根据点的平移规律，即可得到对应点坐标；

（2）由S加=S四边形Asa，可以得到OP=6,即可得到P点坐标;

（3）由S喇形的四，可以得到CQ=2,结合点C坐标，就可以求得点Q坐标；

（4）由S四边窗80,可以48边上的高的长度，从而得到点M的坐标规律.

【详解】

（1）V点A（ZO）,点8（-2,0）

向上平移3个单位，再向右平移1个单位之后对应点坐标为。(3,3),点C(-1,3)

>4^=2-(-2)=4

如边形AB8=4X3=12

(2)存在,理由如下:

SAPAB=S四边形A8C/)—12

即：-A13-OP=12

2

。0二6

/.*0,-6)或P(0,6)

(3)存在，理由如下:

•=WS四边形A8CZ)

即：SA8B=%12=3

13

-S^B=-CQ.OE=-CQ

：.CQ=2

C(-l,3)

「•。(1,3)或。(-3,3)

(4)存在：理由如下：

2

=§S四边形Asm

=

Sz,.,.Aft——x128

设AMAB中，A8边上的高为力

则：-AB-h=S

2

h=4

点M在直线y=4或直线〉，=7上

【点睛】

本题考查直角坐标系中点的坐标平移规律，由点到坐标轴的距离确定点坐标等知识点，根

据相关内容解题是关键.

2.在如图所示的平面直角坐标系中，A(1,3),B(3,1),将线段4平移至CD,C

(m,-1),D(1,n)

(l)m=,n=

(2)点P的坐标是(c,0)

①设NABP=。，请写出NBPD和NPDC之间的数量关系(用含。的式子表示，若有多种数

量关系，选择一种加以说明)

②当三角形PAB的面积不小于3且不大于10,求点p的横坐标C的取值范围(直接写出

答案即可)

解析：(1)-1,-3.(2)①当点P在直线A8,CD之间时，，BPDYPDC=a.当点P在直

线CD的下方时，ZBPD+NPDC=a.当点P在直线AB的上方时，ZBPD+NPDC=a；(2)-6<

m<l或74mV14

【分析】

(1)由题意，线段48向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段CD,利用平移规

律求解即可.

(2)①分三种情形求解，如图1中，当点P在直线48,C。之间时，ZBPD-ZPDC=a,如

图2中，当点P在直线CD的下方时，4BPD+匕PDC=a.如图3中，当点P在直线48的上

方时，同法可证N8PD+NPDC=a.分别利用平行线的性质求解即可.

②求出点P在直线A8两侧，△以8的面积分别为3和10时，m的值，即可判断.

【详解】

解：(1)由题意，线段48向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段CD,

'：A(1,3),B(3,1),

/.C(-1,-1),D(1,-3),

m=-ltn=-3.

故答案为：；，-3.

(2)如图1中，当点P在直线AB,CO之间时，ZBPD-APDC=a.

ABWCD,

当点P在直线4B的下方时，

«A8=S梯形ATHP_5AABT~5AP8H=；(2+3-m)・3-；x2x2-；・(3-m)•l=-m+4,

当△以8的面积=3时，-m+4=3,解得m=l,

当△PAB的面枳=3时，-m+4=10,解得m=-6,

・「△487■是等腰直角二角形.

ZABT=45°=ZHBE,

BH=EH=1,

E(4,0),

根据对称性可知，当点P在直线48的右侧时，当△以8的面积=3时，m=7,

当△以8的面积=3时，m=14,

观察图象可知，-6VmU或7<m<14.

【点睛】

本题属于二角形综合题，考查了二角形的面积，平行线的判定和性质等知识，解题的关键

是学会利用分割法求三角形面积，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型.

3.如图1,在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，边长为2的正方形48co(点。与点

O重合)和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在x轴上，且点H坐标为(7,

0).正方形48CD以3个单位长度/秒的速度沿着x轴向右运动，记正方形4BCD和正方形

EFGH重叠部分的面积为5,假设运动时间为t秒，且t<4.

(1)点F的坐标为：

(2)如图2,正方形A8CD向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的

速度从F到E运动.连接AP，AE.

①求t为何值时，4P所在直线垂直于x轴；

②求t为何值时，S=SAAPE.

解析：⑴（3,4）；[2）①《时，4P所在直线垂直于x轴；②当t为弓或时时,

S=SAAPE.

【分析】

（1）根据直角坐标系得出点F的坐标即可；

（2）①根据AP所在直线垂直于x轴，得出关于t的方程，解答即可；

②分iWdg和gwY与两种情况，利用面积公式列出方程即可求解.

【详解】

（1）由直角坐标系可得：F坐标为：（3,4）；

故答案为：（3,4）；

只需要Px=Ax，

则£+3=33

解得：喝3,

所以即/=1时，4P所在直线垂直于x轴；

②由题意知，

7

0H=7,所以当/二§时，点。与点H重合，所以要分以下两种情况讨论:

情况一：当1«区1时，

GD=3t-3,PF=t,PE=4-t,

S=SAAPEf

8CxGD=；QEx（Ev-A、），

即：2x（3f-3）=g（4-f）x2,

解得：r=y：

5=5AAPE，

BCxCH=—PFx(Ey-A、.)，

即：2x[2-(3t-7)]=g(4-f)x2,

14

解得：/=?，

综上所述，当t为2或g■时，S=SAAPE.

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中点的移动，一元一次方程的应用等问题，理解题意，分类讨

论是解题关键.

4.已知人(0,a)、B(b,0),且/(b-4)2=0.

(1)直接写出点48的坐标；

(2)点C为X轴负半轴上一点满足480=15.

①如图1,平移直线48经过点C,交y轴于点E,求点E的坐标；

②如图2,若点F(m,10)满足SAACF=10,求m.

(3)如图3,。为x轴上8点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的

平行线/,在直线/上取两点G、H(点H在点G右侧)，满足H8=8,60=6.当点4平

移到某一位置时，四边形8DHG的面积有最大值，直接写出面积的最大值.

图1图2图3

解析：(1)A(0,5),B(4,0)；(2)①E(0,-|)；②-2或6；(3)24.

【分析】

(1)根据二次根式和偶次耗的非负性得出b解答即可：

(2)①根据三角形的面积公式得出点C的坐标，根据平行线的性质解答即可；②延长

C4交直线/于点〃(a,10),过点〃作HMJLx轴于点根据三角形面积公式解答即

可；

(3)平移GH到OM,连接HM,根据三角形面积公式解答即可.

【详解】

解：(1)V^+S-4)2=(),且7^2(),(b-4)2>0,

a-5=0,b-4=0,

解得：a=5,b=4,

：.A(0,5),B(4,0)；

图1

Sg8c=』xQ4xBC=L|%|xBC=」x5x8C=l5,

222

8c=6,

C(-2,0),

■：AB\\CE,

-SA4RC=SAARFt

S^,RF.=—xAExOB=—AEx4=15,

2

0E=一,

2

E(0,--)；

2

(J)'-'F(.m,10),

了.点F在过点G(0,10)且平行于x轴的直线/上，

11

FG4F

/J/

:、小

,『」

COMx

图2

延长CA交直线/于点H(。，10),过点H作HM_Lx轴于点则M(a,0),如图2,

SAHCM=S&ACO+S梯形AOMH,

/.—(d+2)x!0=—x2x5+—x(5+)0)-fl,

222

解得：a=2,

/.H(2,10),

•「SAAFC—SACFH-SAAFH，

：.-F77(1O-5)=1O,

2

FH=4,

1.,H(2,10),

•••F(-2,10)或(6,10),

m=-2或6；

(3)平移GH至IjDM,连接HM,则GOII"M,GD=HM,如图3

图3

四边形BDHG的面积=△BHM的面积，

当时，△8HM的面积最大，其最大值==,用/6£>=,乂8*6=24.

222

【点睛】

本题主要考查图形与坐标及平移的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关

键.

5.粽合与探究

（问题情境）

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

（1）如图1,EF//MN,点A、8分别为直线四、MN上的一点，点P为平行线间一点,

请直接写出NH4尸、/PBN和NA心之间的数量关系；

备用图备用图

（问题迁移）

（2）如图2,射线0M与射线QV交于点。，直线〃?//〃，直线〃1分别交QM、ON于点、A、

D,直线〃分别交QW、ON于点、B、C,点?在射线上运动，

①当点尸在A、B（不与A、8重合）两点之间运动时，设NAOP=N。，

4BCP=40.则NC7Y）,Nc,"之间有何数量关系？请说明理由.

②若点尸不在线段上妄动时（点P与点A、B、。三点都不重合），请你画出满足条

件的所有图形并直接写出NCPO，N。，/6之间的数量关系.

解析：(1)ZPAF+APBN+ZAPB=360°；(2)①4CPD=/a+”,理由见解析：

②图见解析，4CPD=40—4a或乙CPD=4a—N0

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过户作PE//AO交C。于E,由平行线的性质，得到Na=NOPE,40=/CPE,

即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点/，在84延长线时；当。在80之间时；与①

同理.利用平行线的性质,即可求出答案.

【详解】

解:(1)作PQIIEF,如图：

图1

,/EF//MN,

EF//MN//PQ,

NPAF+ZAPQ=180°,NPBN+/BPQ=180°,

ZAPB=ZAPQ+/BPQ

・•・ZPAF+^PBN+ZAPB=360°；

(2)①NCPD=Na+/p；

理由如下：如图，

过尸作跳〃4。交C。于E,

AD//BC,

：.AD//PE//BC,

/./cih/DPE,/p=ZCPE,

NCPD=NOPE+NCPE=Na+N〃；

②当点尸在84延长线时，如备用图1：

M

备用图1

•/PEWADW8C,

•NEPC=0,ZEPD=a,

ZCPD=Z/?-ZfZ；

ZEPD=a,ZCPE=。,

乙CPD=4a-40.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等，从而得到角的关系.

6.已知：直线48IICD,M,N分别在直线48,CD上，H为平面内一点，连HM,HN.

（1）如图1,延长HN至G,N8MH和NGN。的角平分线相交于点£求证：2ZMEN-

ZA4H/V=180°；

（2）如图2,N8MH和N”N。的角平分线相交于点E.

①请直接写出NMEN与NM/7/V的数量关系：:

②作MP平分NAM”，A/QIIMP交ME的延长线于点Q,若NH=140。，求NENQ的度

数.（可直接运用①中的结论）

图2

解析：(1)见解析；(2)①2/MEN+NMH/V=360°；②20°

【分析】

(1)过点£作EPII48交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为

180。，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证.

(2)①过点H作G/IIA6,利用(1)中结论2/MEN-NMHN=180。，利用平行线的性

质、角平分线性质、邻补侑和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等得出/AMH+

NHNC=360°-(ZBMH+/HND),进而用等量代换得出2/MEN+/MHN=36Q°.

②过点H作HTWMP,由①的结论得2NMEN+NMHN=360°,ZH=140。，ZMEN=

110°.利用平行线性质得NENQ+NEA/H+NNHT=180。，由角平分线性质及邻补角可得

NENQ+NENH+140。-g(180°-ZBMH)=180°.继续使用等量代换可得NENQ度数.

【详解】

解：(1)证明：过点E作EPII48交于点Q.如答图1

,/EPWAB且ME平分NBMH,

ZMEQ=ABME=ZBMH.

,/EPWAB,ABWCD,

：.EP\lCD,VNE平分/GND,

NQ£N=NONE=；NGND.（两直线平行，内错角柱等）

；.4MEN=ZMEQ+NQEN=3NBMH+g/GND=gJBMH+NGND）.

/.2ZMEN=NBMH+NGND.

ZGNO+NDNH=180°,ZDNH+NMHN=AMON=NBMH.

...ZDHN=Z.BMH-ZMHN.

ZG/VD+ZBMH-ZMHN=180°,

即2/MEN-ZMHN=130°.

（2）①：过点H作G/IIA8.如答图2

答图2

由(1)可得NM£N=5〔4BMH+2HND),

由图可知/MHN=，MHl+NNHI,

6/IIAB,

ZAMH=NMHI=180Q-ZBMH,

•/G/llAB,ABWCD,

GIWCD.

/.ZHNC=Z.NHI=180°-ZHND.

ZAMH+NH/VC=180U-ZBMH十180"・ZH/VD=360u-(ZBMH十NHND).

又•••zAMH+NHNC=4MHI+NNHI=Z.MHN,

Z8MH+/HND=360°-ZMHN.

即2NMEN+NMHN=360°.

故答案为：2/MEN+/MHN=360。.

(2)：由①的结论得2ZMEN+NMHN=360°,

,/ZH=ZMHN=140°,

2ZMEN=360°・140°=220°.

/.ZM£/V=110°.

过点〃作HTWMP.如答图2

MPIINQ,

：.HTWNQ.

「.NE/VQ+NE/VH+NAHT=180。(两直线平行,同旁内角互补).

MP平分/AMH,

:/PMH=；NAMH=g(180°-ZBMH).

•「NNHT=NMHN-NMHT=1400-NPMH.

ZENQ+NE/VH+140。-；(180°-ZBMH)=180°.

,/ZENH=；/HND.

：.Zf/VQ+yZHNO+140。-90。+gN8MH=180。.

/.ZENQ+g(HND+NBMH)=130°.

/.ZENQ+g/MEN=130".

ZE/VQ=130o-110o=20o.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运

算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强.

7.阅读下面材料：

小亮同学遇到这样一个问题：

己知：如图甲,AB//CD,E为AB,8之间一点,连接BE,DE,得到N8£D.

求证：ZBED=N8+ND.

（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整.

证明：过点E作EF//A8,

则有NBEF=—.

AB//CD,

//

ZFED=

：.ZBED=ZBEF+NFED=N8+ND.

（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线a//b,点48在直线Q上，点C,。在直线b上，连接AD,BC,8E平分

NA8C,平分NADC,且8E,所在的直线交于点E

①如图1,当点8在点八的左侧时，若NA8c=60。，Z.406=70°,求/BE。的度数；

②如图2,当点8在点4的右侧时，设N48C=a,/ADC=6,请你求出N的度数

（用含有a,6的式子表示）.

图甲图1图乙

解析：(1)N8,EF,CD,ZD；(2)①65。；②180。-^白+耳夕

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图1,过点E作EFIM8,当点8在点A的左侧时，根据N48C=60。，AADC=

70。,参考小亮思考问题的方法即可求/BED的度数；

②如图2,过点E作EFIM8,当点8在点八的右侧时，ZABC=a,ZADC=^,参考小亮

思考问题的方法即可求出/BED的度数.

【详解】

解：（1）过点£作

则有NB£F=NB,

1.1ABWCD,

/.EFWCD,

：.ZFED=ND,

Z8EO=NBEF+NFED=48+ND；

故答案为：Z8；EF；CD；ZD；

(2)①如图1,过点£作EFIM8,有NBEF=NEBA.

Ba

DCb

图1

ABWCD,

：.EFWCD.

/.ZFED=ZEDC.

Z8EF+NFED=Z.EBA+ZEDC.

BPZBED=/EBA+Z.EDC,

•••BE平分NABC,DE平分NADC,

ZEBA=^AABC=30°,ZEDC=ZADC=35°,

ZBED=Z.EBA+AEDC=6S°.

答：N8£。的度数为65。；

②如图2,过点£作£m148,BEF+zEBA=1SO°.

：.ZBEF=180°-ZEBA,

■：ABWCD,

/.EFWCD.

/.ZFfD=ZEDC.

Z8EF+NFED=180°-ZEBA+Z.EDC.

即NBED=1800-ZEBA+ZEDC,

••8E平分/ABC,。£平分N40C,

/.ZEBA=^AABC=-a,ZEDC=-jZADC=-p,

22

/./RFD=1800-ZEBA+ZFDC=1800--/7+-/；.

22

答：NBEO的度数为180。-+

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

8.已知：如图，直线AB//CD,直线EF交48,CD于P,Q两点、，点、M,点N分别是直线

CD,EF上一点（不与P,Q重合），连接PM,MN.

E

（1）点M,N分别在射线QC,QF上（不与点Q重合），当NAPM+/QM/V=90。时，

①试判断PM与的位置关系，并说明理由；

②若以平分NEPM，ZMA/Q=20°,求NEPB的度数.（提示：过N点作AB的平行线）

（2）点M,N分别在直线CO,EF上时，请你在备用图中画出满足PMJ_MN条件的图形,

并直接写出此时/APM与/QMN的关系.（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）

解析：（1）①PMLMN,理由见解析；②NEP8的度数为125。；（2）NAPM

+ZQM/V=90°或NAPM-ZQMN=90°.

【分析】

（1）①利用平行线的性质得到N4PM=NPMQ,再根据已知条件可得到PM_LMN；

②过点N作NHII8,利用角平分线的定义以及平行线的性质求得/MNH=35。，即可求

解；

（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决.

【详解】

解：（1）①PMLMN,理由见解析：

•「AB//CD,

ZAPM=ZPMQ,

ZAPM+NQMA/=90°,

ZPMQ+ZQMN=90°,

：.PM±MN；

②过点N作NHWCD,

,/AB//CD,

：.AB//NHIICD,

ZQMZV=ZMNH,ZEPA=^ENH,

pA平分/EPM,

ZEPA=Z.MPA,

ZAPM+AQM/V=90°,

/.ZEPA+ZMNH=90°,即/ENH+ZMNH=90°,

：.ZMNQ+ZMNH+ZMNH=90°,

,/ZMNQ=20°,

ZMNH=35°t

ZEPA=Z.ENH=Z.MNQ+ZMNH=55°,

：.ZEP5=180°-55°=125°,

ZEPB的度数为125°：

（2）当点M,N分别在射线QC,QF上时，如图:

•/PM±MN,AB//CD,

ZPMQ+ZQM/V=90°,ZAPM=4PMQ,

/.ZAPM+ZQMN=90°；

当点M,N分别在射线QC,线段PQ上时，如图:

•/PM±MNfAB//CD,

ZPMN=90°,ZAPM=NPMQ,

ZPMQ-ZQM/V=90°,

/.ZAPM-ZQMN=90°；

当点M,N分别在射线QD,QF上时，如图:

E

AB

M

D

Q\7

N\

F

,/PMA.MN,AB//CD,

ZPMQ+ZQMN=90°,ZAPM+NPMQ=180°,

ZAPM+90°-ZQ/V//V=180°,

ZAPM-ZQMN=90°；

综上，ZAPM+ZQMN=90。或/APM-ZQM/V=90°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，

同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键.

9.如图1,把一块含30。口勺直角三角板48c的8c边放置于长方形直尺OEFG的EF边上.

（1）根据图1填空：Z1=。，Z2=°；

（2）现把三角板绕8点逆时针旋转〃。.

①如图2,当〃=25。，且点C恰好落在0G边上时，求Nl、N2的度数；

②当0。<〃<180。时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所

在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有〃的值和对应的那两条垂线：如果不存在，请

说明理由.

【分析】

（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；

（2）①根据邻补角的定义求出N48E,再根据两直线平行，同位角相等可得N1=NA6E,

根据两直线平行，同旁内用互补求出N8CG,然后根据周角等于360。计算即可得到/2：

②结合图形，分4B、BC、4c三条边与直尺垂直讨论求解.

【详解】

解：⑴N1=1800-600=1200,

Z2=90°；

故答案为：120,90；

(2)①如图2,

ZA8E=180°-60°-n°=120",

0GliEF,

Z1=ZABE=120°-n°f

ZBCG=1800-ZCBF=180°-n\

,/Z4CB+NBCG+Z2=360°,

/.Z2=360°-/ACB-ABCG

=360°-90°-(1805)

=90°+n°：

②当"=30°时，=/A8c=60°,

Z八8F=30°+60°=90°,

AB±DG(EF)；

当c=90。时，

ZC=ZCBF=90°,

BC±DG(EF),AC1.DE(GF)；

当.=120。时,

/.AB±DE(GF).

【点睛】

本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性

质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键.

10.已知点C在射线。人上.

(1)如图①，CD//OE,若NAO8=90。，ZOCD=120°,求N8OE的度数；

(2)在①中，将射线OE沿射线08平移得OF(如图②)，若N408=ct,探究N。8

与N8OE的关系(用含a的代数式表示)

(3)在②中，过点O作0B的垂线，与N0C。的平分线交于点P(如图③)，若NC。。

=90。，探究NAOB与N80E的关系.

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到N40E的度数，再根据直角、周角的定义即可求得N80E的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得N0C。、/8。£的数量关

系；

(3)由己知推出CPIIOB,得到NAO8+NPCO=18(T,结合角平分线的定义可推出

Z08=2/PCO=360°-2ZAOB,根据(2)ZOCD+Z8OF=360°-NAOB,进而推出

ZA08=NBOE.

【详解】

解：(1)VCDW0E,

ZAOE=A08=120°,

/.Z8OE=360°-ZAOE-A>40B=360o-90o-120o=150o：

(2)ZOCD+N8OF=360°-a.

OFIIO'E',

：.Z4OF=1800-ZOCD,Z8OF=NF0'0=1800-NBOE,

...ZAOB=ZAOF+Z.8OF=180°-Z08+180°-/8O'E'=360°・(ZOCO+NBOE)=a,

ZOCD+Z8OE=360°-a；

(3)ZAOB=Z.BOF.

证明：•「NCPO=90。，

PO'±CP,

PO'A.OB,

：.CPWOB,

...ZPCO+N408=180°,

2ZPCO=3600-2ZAOB,

「CP是NOCD的平分线，

Z08=2/PCO=360°-2ZAOB,

,/th(2)知，NOCD+N8O'F=36(r-a=36(r-NAO。,

/.3600-2ZAO8+N80F=350°-/AOB,

：.ZAOB=Z.BOF.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

11.问题情境：

(1)如图1,AB//CD,ZPAB=\2^,NPCD=119。.求NAPC度数.小颖同学的解题思

路是：如图2,过点尸作PE//A8,请你接着完成解答.

问题迁移：

(2)如图3,AP//BC,点P在射线QM上运动，当点P在A、3两点之间运动时，

ZADP=Za,4PCE=40.试判断NCP。、Na、"之间有何数量关系？(提示：过点

尸作外V/AO),请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点尸在A、B两点外侧运动时(点尸与点A、8、。三点不

重合)，请你猜想NCP。、Na、N"之间的数量关系并证明.

解析：（1）见解析：⑵ZCPD=+180°-Z/7,理由见解析：（3）①当/）在8A延

长线时（点。不与点A重合），ZCPD=1800-Z/?-Z«;②当。在8。之间时（点P不与

点“，。重合），ZCPD=Za-1800+Z^.理由见解析

【分析】

（1）过P作PEHA8,构造同旁内角，利用平行线性质，可得NAPC=113。；

（2）过过。作尸尸/〃力交CD于产，，推出根据平行线的性质得出

?BCP180??〃，即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点P在84的延长线上，②当尸在8。之间时（点尸不与

点8,。重合）），根据平行线的性质即可得出答案.

【详解】

解：（1）过户作庄//A8,

-ABHCD,

..PE//AB//CD,

\2APE邪为8=180,ZCPE+ZPCD=\S00,

VZE4«=I28°,ZPCD=119°

ZAPE=52。,NCPE=6T。,

.­.ZAPC=52°4-61°=113O；

（2）ZCPD-Za+l80°-Z^,理由如下；

如图3,过P作所//AO交C£）于尸，

・.AD/IBC,

:.ADI/PFIIBC,

:.ZADP=/DPF,4CP=/CPF,

•・•N8CQ+NPCE=180°,NPCE=,

NBCP=1800-N/?

又.ZADP=Na

\?CPD?DPF位PF=67+180??b；

（3）①当P在84延长线时（点〃不与点A重合），ZCPD=1800-Z/?-Za；

理由：如图4,过户作PP//4）交C。于尸，

•.­AD//BC,

:.ADHPFUBC,

;.ZADP=/DPF,4CP=/CPF,

-ZBCP+ZPCE=\S00,4PCE=4。，

ZZ^CP=180°-Z/7,

又.Z4DP=Za,

ZCPD=NCPF-4DPF=180°-Za-Z/7;

②当P在80之间时（点p不与点3,。重合），ZCPD=Za-18O0+Z/7.

理由：如图5,过P作47/AO交CQ于产，

AD//BC,

AD//PF//BC,

:&DP=/DPF,NBCP=/CPF,

</BCP+NPCE=180°,ZPCE=4$,

NBCP=I8O0-N£,

又•：ZADP=4a

NCPD=ZDPF-NCPF=Za+Z/7-18O°.

M

A

-7^

/图5

【点睛】

本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线

构造内错角以及同旁内角.

12.（1）（问题）如图1,若AB//CD,ZAEP=40。，ZPFD=130°.求NEP/的度数：

（2）（问题迁移）如图2,AB/ICD,点/＞在48的上方，问NPEA,ZPFC,NEP尸之间

有何数量关系？请说明理由；

（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知N£PF=a,NPE4的平分线和

NPEC的平分线交于点G,用含有。的式子表示/G的度数.

【分析】

（1）根据平行线的性质与判定可求解；

（2）过P点作PNIIA8,则PNWCD,可得NFP/V=ZPEA+NFPE,进而可得

ZPFC=NPEA+NFPE,即可求解；

（3）令48与PF交点为。，连接EF,根据三角形的内角和定理可得NGEF+NGFE=

g匕PEA+；NPFC+4OEF+匕OFE,由（2）得/PEA=NPFC-a,由NOFE+NOEF=180°-

ZFOE=180°-ZPFC可求解.

【详解】

解：（1）如图1,过点P作PMIIA8,

/.Z1=ZAEP.

又/A£P=40°,

Z1=40°.

,/ABWCD,

PMIICD,

1.Z2+ZPFD=180°.

,/ZPFD=130°,

...Z2=180o-130°=50°.

...Z1+Z2=40°+50°=90o.

即NEPF=90°.

(2)ZPFC=NPEA+NP.

理由:过P点作PA/IIAB,则PNWCD,

图2

ZPEA=ANPE,

1/ZFPN=NNPE+NFPE,

ZFPN=NPEA+NFPE,

PNWCD,

ZFPN=4PFC,

：.ZPFC=NPEA+NFPE,即/PFC=NPEA+NP；

(3)令48与PF交点为。，连接EF,如图3.

•「ZGEF=gZPEA+NOEF,ZGFE=gZPFC+NOFE,

ZGEF+ZGFE=gZPEA+^NPFC+ZOEF+NOFE,

♦.•由(2)知NPFC=ZPEA+NP,

ZPEAMPFC-a,

ZOFE+ZOEF=1800-ZFOE=1800-ZPFC,

NG£F+NGFE=y(ZPFC-a)+yZPFC+1800-^PFC=180°-ya,

ZG=180°-(NGEF+NGFE)=180°-180°+^a=^a.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键.

13.已知A、小两点的坐标分别为A(-2,l),8(-4,-1),将线段A8水平向右平移到DC,

连接A。，BC,得四边形ABC。，且右边形Me=12.

图1图2

(1)点C的坐标为,点。的坐标为；

(2)如图1,CG_Lx轴于G,CG上有一动点Q,连接BQ、DQ,求BQ+DQ最小时。

点位置及其坐标，并说明理由；

(3)如图2,E为x轴上一点，若OE平分NADC,且DELHC于E,

ZABH=^ABC.求与NA之间的数量关系.

4

解析：(1)0(2,-1),D(4,l)；(2)Q(2,g),理由见解析；(3)4Z^HC-ZA=180°

【分析】

(1)根据已知条件求出4。和8c的长度，即可得到。、C的坐标；

(2)连接BD与直线CG相交,其交点Q即为所求,然后根据SBND=SBQC+S梯形“NO求出

QC、QG后即可得到Q点坐标；

(3)过H作HFIIA8,过C作CMIIED,则根据已知条件、平行线的性质和角的有关知识

可以得到44=180。.

【详解】

(1)解；由题意可得四边形48CD是平行四边形，口4D与BC间距离为1-(-1)=2,

平行四边形A8CD的高为2,

.1.AD=BC=Sw边形ABCD+2=12+2=6,

「.C点坐标为(-4+6,-1)即(2,-1),。点坐标为(-2+6,1)即(4,1)；

此时3Q+OQ最小(两点之间，线段最短)，

过。作ONJ.AC于N,

/C(2,-l),0(4,1),

DN=2,BC=6,CN=2,

设0C=a,

'''S4BND~8,S^BQC=3a,S梯形gNq=a+2,

又「SBND=SBQC+S梯院,

8=3a+(a+2),

3

(3)JADHBC,ABHDC,

ZA+ZA8c=180。，ZA+Z4DC=180。，

/.ZABC=ZADC.

•/。£平分/4DC,...ZADE=ZCDE=-ZADC.

2

又•「NABH=L/ABC,

4

设N/W〃=x。，则24蛇=/4。。=4K，

ZS4=(180-4A)°,/ADE=/CDE=2犬,

过，作FH//AB,

FH//AB//DC,：.ZABH=/BHF=十.

过C作CM//DE,

.，NHED=NHCM,/EDC=NDCM=2x°.

DE1HC于E,NHED=NHCM=9()。，

/HCD=/HCM-NDCM=(9O-2x)。,

ZBHC=NBHF+NFHC=(x+9O-2x)°=(9O-x)°,

又ZA=(180-4x)0,

/.4NZ汨C—NA=180°.

【点睛】

本题考杳平行线的综合应用，熟练掌握平行线的判定与性质、平移坐标变换规律、两点之

间线段最短的性质、角的有关知识和运算是解题关键.

14.在平面直角坐标系中，。为坐标原点.已知两点A(〃0),4(A°)且〃、〃满足

|«+4|+7^3=0；若四边形/WC。为平行四边形，。。//人〃且。。=44,点。(0,4)在丁

轴上.