新高考数学专题复习专题41概率统计与函数、不等式的综合专题练习(学生版+解析)

专题41概率统计与函数、不等式的综合

一、题型选讲

题型一、概率与函数的交汇

2

例1、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)设随机变量X的分布列是:

X-101

2

Pa—a

33

则当々在(0,内增大时()

A.o(x)增大B.o(x)减小c.o(x)先增大后减小D.o(x)先减小后增大

例2、【2018年高考全国I卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每i箱产品在交付用户之前

要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根

据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为〃且各件产

品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为了(〃)，求/(〃)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的“°作为P的值.已知每件

产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

例3、（2020届山东省口照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产

x（5WE5）万件的该种产品所需要的总成本C⑴吟一青2+]61+30（万元），依据产品尺寸，产

品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[25.26,25.30）,

[25.30,25.34),[25.34,25.38),[25.38,25.42),[25.42,25.46),[25.46,25.50),[25.50,25.54](单

位：mm)中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

产品的品质情况和相应的价格〃？（元/件）与年产量x之间的函数关系如下表所示.

产品品质立品尺寸的范围价格〃7与产量％的函数关系式

优[25.34,25.46)加=-x+34

3”

中[25.26,25.34)m=——x+25

5

3r八

差[25.46,25.54]m=——x+2()

5

以频率作为概率解决如下问题：

（1）求实数。的值；

（2）当产量x确定时，设不同品质的产品价格为随机变量求随机变量&的分布列:

（3）估计当年产量X为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.

例4、(广东省2021届高三上学期综合能力测试)随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这

类软件能自动记载用户每FI健步的步数.某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的

员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数(单位：千步，假设每天健步的

步数均在3千步至21千步之间).将样本数据分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),

[15,17),[17,19),[19,21]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频

率分布.

⑴求图中a的值;

(2)设该企业正常上班的员工健步步数(单位：千步)

近似服从正态分布NQid),其中〃近似为样本的平均

数(各区间数据用中点值近似计算)，取b=3.64,若该

企业恰有10万人正常上班的员工，试估计这些员工中口

健步步数Z位于区间[4.88,15.8]范围内的人数；

(3)现从该企业员工中随机抽取20人,其中有k名员工

的日健步步数在13千步至15千步内的概率为尸(X=幻，

0.02

其中4=0,1,2,…,20,当P(X=Q最大时，求k的值，0.01

。3579II1315171921/触

参考数据：若随机变量J服从正态分布N(〃,b2),则P(〃一b<jK〃+b)k0.6827,

P(〃一2。v"〃+2a)«0.9545,P(/z-3cr<<//+3cr)«0.9973.

题型二、概率与数列的交汇

例5、【2019年高考全国I卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效,

为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选

一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排卜一轮试验.当其中一种药治愈的白

鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，

约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若

施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得T分；若都治愈或都未治愈则两种

药均得。分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和&一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，Pj(i=OJ-,8)表示“甲药的累计得分为，时，最终认为

甲药比乙药更有效”的概率，则〃o=O,A=1,Pi=ap^+bpi+cp^(z=1,2,•,7),其中

a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5，4=0.8.

(i)证明：加+1-化｝«=0，1，2,,7)为等比数列；

间求〃4，并根据幺的值解释这种试验方案的合理性.

例6、(华南师大附中2021届高三综合测试)足球运动被誉为“世界第一运动”.深受青少年的喜爱.⑴为推

广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规

则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取：若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3

次.

下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社

团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为3求J的分

布列及数学期望：

点球数203030252025

进球数101720161314

(II)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球

者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下云，且假定每次传球都能被接到，记开始传

球的人为第1次触球者，第〃次触球者是甲的概率记为2,即R=1.

⑺求P2,P3(直接写出结果即可)；

(。)证明：数列｛P,「g｝为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大.

二、达标训练

1、(2020浙江温州中学高三3月月考)随机变量4的可能值有1,2,3,且「(4=1)=3〃-1,64=3)=1—〃，

则。（4）的最大值为（）

2、（2020屈浙江省杭州市第二中学高三3月月考）随机变量&的分布列如下:

-101

Pabc

其中〃，b,C成等差数列，则D自的最大值为（）

3.（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知随机变量f满足P（<=0）=x,P（f=l）=l-x,若X£（0,-）,则（

2

A.£（0随着x的增大而增大,D（§随着x的增大而增大

B.E（，随着x的增大而减小,。（。随着X的增大而增大

C.E团随着x的增大而减小,。团随着X的增大而减小

D.E⑶随着x的增大而增大,。团随着X的增大而减小

4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017年C1月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”,

吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入至『‘魅力城市"的建设之中.某投资公司准备在2018年年

初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建

设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020

年底每个天坑院盈利的概率为〃（0<〃<1），若盈利则盈利投资额的40%,否则盈利额为0.

项FI二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到

该项FI上，到2020年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的30%,且这两种情况发生的概率分别

为p和1-p.

（1）若投资项目一，记X1为盈利的天坑院的个数，求E（XJ（用P表示）;

（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2百万元，求上（X2）（用p表示）;

（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.

(］冉

5、(2020届山东省潍坊市高三上期中)如图，直角坐标系中，圆的方程为Y+),2=1,A。,。)，B---

J175

为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子.规定：①每掷一次骰子,

122

把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点

数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子"

次时，棋子移动到A，B,。处的概率分别为匕(A),巳⑻,4(C).例如：掷骰子一次时，棋子移

动到A，B,。处的概率分别为4(4)=。，=1

(1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到4，13,。处的概率;

(2)掷骰子N次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线。4,OB,0C为终边的角的余弦值记为随机

变量，求X4的分布列和数学期望;

⑶记2(A)=q,P.®=b"P"©=c”,其中为+〃+c“=l.证明：数列｛%-；｝是等比数列,

并求。2020•

6.某超市计划按月订购•种酸奶，每天的进货量相同，进货成木为每瓶4元，售价为每瓶6元，未售出的

酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：°C)

有关.如果最高气温不低于25,需求最为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求最为300瓶；如果

最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，

得下面的频数分布表：

最高

气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:

瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？

7、甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n£N*)局，根据以往比赛胜负的情况知，每局甲胜的概率和乙胜

的概率均为;.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为尸(〃).

(1)求尸⑵与尸(3)的值;

(2)试比较P(〃)与尸(〃+1)的大小，并证明你的结论.

专题41概率统计与函数、不等式的综合

一、题型选讲

题型一、概率与函数的交汇

2

例1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设。随机变量X的分布列是:

X-101

2

Pa——a

33

则当。在（。，|）内增大时（

）

A.力（X）增大B.O（X）减小C.O（X）先增大后减小D.力（X）先减小后增大

【答案】A

211

【解析】根据随机变量的分布列七（*）=（-1）乂。+0、（§-〃）-以5=5-。，

则D（X）=-1---a.〃+0---a•--a4-]-f』-x-

[（3〃LUJJUJLV3）\3

、52

=-a~+—a+一

39

（5丫33

=-a——+—

I6J36

25

由于函数O（X）的图象为关于a的开口方向向下的抛物线，且0V〃V§,函数的对称轴为。=不,

故。（X）增大.

例2、【2018年高考全国1卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前

要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根

据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0<p<1）,且各件产

品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/（p）,求/（〃）的最大值点丹•

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的P。作为P的值.已知每件

产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付师元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX：

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【答案】(1)0.1；(2)(i)490,(ii)应该对余下的产品作检验.

【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p)=C；o〃2(l-p)T

因此r(〃)=C^[2p(l-8p2(l-p)I7]=2cop(1-P)，7d-1OP).

令/'(P)=0,得P=0.l,

当〃£(o,o.i)时，r(p)>o；当〃时，r(p)<o.

所以/(P)的最大值点为〃o=D.l.

(2)由(1)知，p=0.1,

(i)令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，

依题意如y：8(180,0.1),X-20x2+25/,UPX-40+25/.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于£X>4(X)，故应该对余下的产品作检验.

例3、(2020届山东省日照市高三上期末联考)某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产

^(5<x<15)万件的该种产品所需要的总成本C(x)二卷73

—X2+16X+30(万元)，依据产品尺寸，产

10

品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[25.26,25.30),

[25.30,25.34),[25.34,25.38),[25.38,25.42),[25.42,25.46),[25.46,25.50),[25.50,25.54](单

位：mm)中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

产品的品质情况和相应的价格〃［（元/件）与年产量工之间的函数关系如卜表所示.

产品品质立品尺寸的范围价格机与产量x的函数关系式

优[25.34,25.46)m=-x+34

3-

中[25,26,25.34)ni=——x+25

5

3

差[25.46,25.54]m=——x+20

5

以频率作为概率解决如下问题：

（1）求实数。的值；

（2）当产量％确定时，设不同品质的产品价格为随机变量求随机变量4的分布列；

（3）估计当年产量X为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.

【答案】（1）4=6；（2）见解析（3）年产量x=12时，该公司年利润取得最大值，最大利涧为138万.

【解析】

（1）由题意得0.04x（2+3+4+a+2.5+4.5+3）=1,解得。=6；

（2）当产品品质为优时频率为P］=0.04x（4+6+2.5）=0.5,此时价格为—x+34；

当产品品质为中时频率为〃2=°3X（2+3）=0.2,此时价格为一|X+25；

当产品品质为差时频率为〃3=°・（MX（4.5+3）=0.3,此时价格为一］X+20；

以频率作为概率，可得随机变量J的分布列为:

3

-x+34——x+25--X+20

55

P0.50.20.3

(3)设公司年利润为了(X),则

(3、(3、x23

f(x)=x(-x+34)x0.5+一一x+25x0.2+一一戈+20x0.3----------x2+16x4-30整理得

15J15J[910.

P3

/(A-)=-—+-X2+12X-30,

//(x)=--x2+3x4-12=--(x+3)(x-12)

33

显然当x«5/2]时，f(x)>0,xe[12,15]/(x)<0,

・•・当年产量x=12时，取得最大值."12)=138

估计当年产量x=12时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.

例4、(广东省2021届高三上学期综合能力测试)随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这

类软件能自动记载用户每日健步的步数.某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的

员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数(单位：千步，假设每天健步的

步数均在3千步至21千步之间).将样本数据分成[3,5),[5,7),[7,9),(9,11),[11,13),[13,15),

[15,17),[17,19),[19,21]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图,并用样本的频率分布估计总体的频

率分布.

(1)求图中a的值;

⑵设该企业正常上班的员工健步步数(单位：千步)

近似服从正态分布NJ。?)，其中〃近似为样本的平均

数(各区间数据用中点值近似计算)，取。=3.64,若该

企业恰有10万人正常上班的员工，试估计这些员工中日

健步步数Z位于区间[4.88,15⑻范围内的人数；

(3)现从该企业员工中随机抽取20人，其中有k名员工

的口健步步数在13千步至15千步内的概率为P(X=幻，

0.02

其中A=0,1,2,…,20,当P(X=Q最大时，求k的值，

03579111315171921/触,『力

参考数据：若随机变量J服从正态分布N(",b2),则。+

尸("-2b<W〃十2CT)=0.9545,尸(〃-3crvJW〃十3b)。0.9973.

【解析】(1)由0.02x2+0.03x2+0.05x2+0.15x2+4x2+0.05x2+0.04x2+0.01x2=1,

解得。=0.1,

(24=4x0.04+6x0.04+8x0.1+10x0.1+12x0.3+14x0.2+16x0.1+18x0.08+

20x0.02=12.16,P(4.88<Z<I5.8)=P(〃-2b<ZW〃+cr)=+0.6827=。8［86,

2

则10000x0.8186=8186(人)，所以日健步步数Z位于区间［4.88,15.8］范围内的人数约为8186人.

⑶设从该企业员工中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步内的员工有X人，则

X口8(20,0.2),其中有k名员工的概率为P(X=k)=GOT・0.82°T,其中％=0,1,2,…,20.

20

f_P(X=k)_&().2"-O.8-*_2\-k

“小)=P(X=k7)=CM0.2J。®—=k'

当f(幻>1时，k<4.2,则/(X=l—l)vP(X=>)；

当f(Q<l时，&>4.2,则P(X=I-1)>P(X=>).

所以当攵=4时，P(、X=k)最大,

题型二、概率与数列的交汇

例5、【2019年高考全国I卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，

为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选

一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白

鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，

约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈旦施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分：若

施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种

药均得。分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和6,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，化。=01,…,8)表示〃甲药的累计得分为i时，最终认为

甲药比乙药更有效”的概率，则〃()=0，“8=1，Pi=aPi_i+bn+cPi71,2,…,7),其中

〃=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=\).假设。=0.5,夕=0.8.

(i)证明：=,7)为等比数列；

间求〃「并根据的值解释这种试验方案的合理性.

【答案】(1)分布列见解析；(2)⑴证明见解析，(ii)p«=击，解释见解析.

【解析】X的所有可能取值为-1,0,1.

ax=-l)=(l—a)〃，

p(X=O)=a/?+(l-a)(l-^),

p(X=1)=«(!-/?),

所以X的分布列为

X-101

P(l-a)£a£+(l—a)。一⑶

（2）（i）由（1）得a=0.4,〃=0.5,c=0.1.

因此Pi=04〃*]+0.5〃,.+0.lpi+i,故0.1（Pi.rp）=0.4（化一PjJ,

即化+i-Pj=4（Pj-〃i）.

又因为Pi-〃o=P]H0,

所以{〃卬一〃,}“.二°，1，2,・一,7）为公比为4,首项为Pi的等比数列.

（ii）由⑴可得〃8=〃8-〃7+〃7-〃6+一+P/Po+〃o

=（〃8-。7）+（%-，6）+,・+（P「Po）

4s-1

3

由于〃8=1，故Pl=F1，

44-11

所以〃4=（〃4一〃3）+（〃3一〃2）+（〃2一〃|）+（P|一〃0）=—7—P\=­•

DJ/

〃4表示最终认为甲药更有效的概率，

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为08时，

认为甲药更有效的概率为二言々0.0039,

此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

例6、（华南师大附中2021届高三综合测试）足球运动被誉为“世界第一运动〃.深受青少年的喜爱.（I）为推

广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行"点球测试”来决定是否录取，规

则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3

次.

下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社

团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为求4的分

布列及数学期望；

点球数203030252025

进球数101720161314

（II）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球

者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下云，且假定每次传球都能被接到，记开始传

球的人为第1次触球者，第C次触球者是甲的概率记为修，即Pl=l.

⑺求P2,P3（直接写出结果即可）;

。）证明：数列｛匕-；｝为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大.

【解析】：（I）这150个点球中的进球频率为10+17+20+16+13+14=06,则该同学踢一次点球命中的

150

概率p=0.6,

由题意,J可能取1,2,3,则P"=1）=0.6,P（久2）=0.4x0.6=0.24,

P（八3）=0.4x0.4=0.16,

4的分布列为：

4123

P0.60.240.16

即E(J)=1x0.6+2x0.24+3x0.16=1.56

(11)(。由题意P2=0，P3=-.

2

（〃•）第n次触球者是甲的概率记为Pn,则当仑2时，第n-1次触球者是甲的概率为Pe

第n-1次触球者不是甲的概率为1-Pg,则〃"二夕…•0+（1-匕_。•,='（1一Ei），从而

22

11/1、

又121是2以2为首项，公比为、I的等比数列

则Pn=~（--）W-，+L外9=2（--），8+->-,P；o=-（--），9+-<-，

兄〉4），故第19次触球者是甲的概率大.

二、达标训练

1、（2020浙江温州中学高三3月月考）随机变量《的可能值有1,2,3,且/（q=1）=3，-1,/偌=3）=1—〃,

则力仁）的最大值为（)

8

26

-1-7U-D

A.9B.

1625

【解析】随机变量€的可能值有1,2,3,且尸(<=1)=3〃-1,P^=3)=\-p,

可得：p(g=2)=i—2〃，

0<3p-l<l

由<0《1一〃41,可得〃£

所以E(J)=l(3〃_l)+2(l_2〃)+3(l_〃)=4_4〃.

ZX^)=(1-4+4P)2X(3P-1)+(2-4+4P)2X(1-2P)+(3-4+4P)2X(1-P)

,「11

=-16尸+1沙-4，昨

—JJ一

当P=g时，0(4)的最大值为1.

故选:D.

2、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)随机变量匕的分布列如下：

-101

Pabc

其中a,b,C成等差数列，则D4的最大值为()

2523

--U--

A.3B.99D.4

【答案】A

12

【解析】因为。，b,c成等差数列，/.2b=a+c,-a+b+c=l„\b=-,c=--a,

33

…c2

=-a+c=-2a+—,

英=卜,一|)2丫（2

xa+2a——xb+l+2a——

I3JI3（3）

7+U+2".

3933

2

则。4的最大值为工

3.（2020届浙江省杭州市高三3月莫拟）已知随机变量f满足P（<=0）=x,P（f=l）=l-x,若XE（0,i）,则（）

A.E（0随着x的增大而增大，。团随着x的增大而增大

B.E团随着x的增大而减小，。（。随着x的增大而增大

C.E（。随着x的增大而减小，0（f）随着x的增大而减小

D.E（，随着x的增大而增大，。团随着x的增大而减小

【答案】B

【解析】依题意塔=0xx+lx（l—x）=l-X,在区间（0,；）上是减函数.

=[0-（l-x）]2-x+[l-（l-x）]2-（1-x）=-x2+x，注意到函数）=+x的开口向下，对称轴为

x=1,所以》=一/+工在区间（o,J）上是增函数，也即。J在区间（0,/）上是增函数.

故选：B

4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市〃，

吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城万”的建设之中.某投资公司准备在2018年年

初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居〃发展史演变的实物见证.现准备投资建

设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研.到2020

年底每个天坑院盈利的概率为P（0</?<!）,若盈利则盈利投资额的40%,否则盈利额为0.

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到

该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的30%,且这两种情况发生的概率分别

为p和1—〃.

（1）若投资项目一，记王为盈利的天坑院的个数，求E（Xj（用P表示）；

（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2百万元，求石（乂2）（用p表示）；

（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.

【答案】（1）E（Xj=20〃（2）E（X2）=3.2p-L2（3）见解析

【解析】

(1)解:由题意X~3(20,p)

则盈利的天坑院数的均值E(X1)=20p.

(2)若投资项目二，则X2的分布列为

X?2-1.2

PP1-P

盈利的均值E(X2)=2p-1.2(l-p)=3.2〃-1.2.

(3)若盈利,则每个天坑院盈利0.2x40%=利08(百万元)，

所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为

£(0.08Xj=0.08£(Xj=0.08x20〃=1.6〃(百万元).

。(0.08XJ=0.082D(X,)=0.082x20p(l-p)=0.128p(l-p)

。"2)=(2-3.2〃+1.2)2〃+(-1.2-3.2〃+1.2)2(l—〃)=10.24p(l-p)

①当E(0.08XJ=石(X?)时，1.6〃=3.2〃-1.2,

3

解得p=二.

4

D(0.08XI)<D(X2).故选择项Fl一.

②当E(0.08X,)>E(X2)IM,1.6/?>3.2p-1.2,

解得0<p<W.

4

此时选择项一.

3

③当E(0.08XjvE(Xz)时，1.6〃<3.2〃-1.2,解得/?>-.

此时选择项二.

(]H

5、(2020届山东省潍坊市高三上期中)如图，直角坐标系中，圆的方程为d+y2=],4(1,0),8

乙4

/16

c-P-T为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子.规定：①每掷一次骰子,

把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点

数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子〃

次时，棋子移动到A，B,。处的概率分别为匕（A）,B（3）,B（C）.例如：掷骰子一次时，棋子移

动到4，B,。处的概率分别为6（4）=。，6（0=3，=

（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A,。处的概率;

（2）掷骰子N次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线Q4,OB,0C为终边的角的余弦值记为随机

变量X”，求X4的分布列和数学期望;

⑶记忆（4）=4,W）=b〃,々（C）=c〃，其中。“+2+%=1.证明：数列｛“一共是等比数列,

并求々2020•

2019

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，生。20=；fl

1+5

【解析】(1)===/>(C)=^4=7

~22222■224-224

3

PA}=-x-x--^-x-x-=-,P.(B)=A(C)=岸

3(222222424J283U4；28

综上,

棋子位置

ABC

掷骰子次数

2

244

33

3

488

（2）随机变量X,的可能数值为1,-；.

综合（1）得

尸（3）=（眄+月©状=（代）•渭,

，■-小仍⑷+魁旧+仍⑷+租叫得

故随机变量X』的分布列为

1~2

35

P

88

口/v―3151

E(X)=1X----x-=—.

v4782816

(3)易知b“=c”,因此，"_]=%(〃22)

而当〃N2时，4=g(q7+%_|)=g()，

又4w+〃i+qfT=1,

即2么+%=1.

因此"二;(I一2b,7+3)=1(〃22),

J14

故—-=--/?.4-——-=—h.H—=1b.---|(/!>2)