【《光纤水听器的自适应算法分析案例》4400字】

光纤水听器的自适应算法分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u1540光纤水听器的自适应算法分析案例 11741.1自适应算法的理论基础 154931.2最陡下降法 2287961.3LMS算法 3236141.4NLMS算法 419551.5RLS算法 4189201.6算法性能对比分析 5自适应算法是自适应滤波器的核心部分，它根据使某一目标函数达到最小的准则调整滤波器相应的权值系数。一般目标函数为与输入信号、期望信号和输出信号相关的函数，可表示为。使目标函数达到最小，需满足两条性质：（1）非负性，对任意的，；（2）最优性，在时取得最优。满足上述性质的常用目标函数有：均方误差（MeanSquareError,MSE）：最小二乘（LeastSquares,LS）：通过迭代或自适应算法，按照输入信号、选取算法、计算最低值一系列步骤，可使滤波器系数逐渐趋于最优滤波器系数，达到最佳滤波效果。但是，在实际应用中，需要根据不同环境的变化选取合适的算法，尽量满足使目标函数最小的两个性质，即使不能同时满足，也要选取能使滤波效果到达最优的算法组合。1.1自适应算法的理论基础自适应滤波技术经过几十年的发展，它的理论和算法都得到了极大的进步，按照不同的优化准则，具体可分为以下几个部分：（1）维纳滤波算法：基于Hoff和Widrow提出的维纳滤波理论，按照最小均方误差的优化准则，通过推导得到维纳滤波算法。该算法实现最优滤波效果需满足预先已知信号的统计特性和平稳时不变的环境两个条件。维纳-霍夫方程的矩阵表示形式：，为输入信号的自相关矩阵，为输入信号与期望响应的互相关矩阵。由上式可推出最优梯度向量的估计值，这种算法便是基于维纳滤波的最小均方误差算法。实现最佳的滤波效果需要计算相关矩阵的逆矩阵，不但明显增加了算法的计算量，而且当滤波器的阶数过多时，也不利于在硬件运算中的有效实现。（2）卡尔曼滤波算法：1974年，Godard基于卡尔曼理论进行推导，得到了自适应卡尔曼滤波算法。该算法不仅适用于平稳工作环境，还适用于非平稳环境，具有较低的稳态误差和较快的收敛速度，并且在时变系统中具有较好的跟踪能力。但是，计算过程复杂，结果也变得难以预料。（3）最小二乘算法：将误差平方加权和的最小值作为优化准则，进行计算并优化参数，使其达到最佳滤波效果。常见的算法有自适应最小二乘格型算法、QR分解最小算法和递归最小二乘（RLS）算法等，其中RLS算法应用最为广泛。（4）基于神经网络的算法：通过模拟实现生物神经系统，并对其简化与抽象化，由大量神经元相互连接构成人工神经网络。人工神经网络能够对信息进行并行处理以及分布存储，具有较好的自适应性和鲁棒性，可辨识非线性动态系统，能有效解决传统算法在信息处理方面的难题。（5）仿射投影（AffineProjectionAlgorithm,APA）算法：以放射投影为代价函数，得到最小的误差信号值，从而计算出滤波器的权系数向量解。实质上，该算法是基于最小均方误差准则的归一化最小均方误差（NormalizedLeastMeanSquare,NLMS）算法。与只用一维数据的NLMS算法不同的是，该算法通过增加输入信号矩阵的维度，即算法的投影阶数，并对数据重用以改善算法的收敛性能。当输入信号具有强相关性时，该算法可通过增加投影阶数以提高收敛速度，但同时也会增加系统的计算复杂度和易引起稳态失调。目前，基于上述理论得到的典型算法有最陡下降法、牛顿法、LMS算法、NLMS算法、RLS算法等，并在不同的信息处理领域中得到了广泛的应用。1.2最陡下降法最陡下降法主要通过迭代算法使估计误差的均方值最小，计算最优滤波器系数并更新调整，设滤波器的系数为，则输出信号与期望响应的误差信号，可表示为：（1.2）设为时刻使均方误差达到最小的滤波器系数，则在时刻，需要在的基础上加上一个修正量，使更接近于期望响应的值，该修正量等于在二次误差曲面的最大下降方向上取一个步长的增量。误差函数的最陡下降方向即为负梯度方向，则在时刻的滤波器系数可表示为：（1.3）其中，为代价函数的梯度矢量，表示收敛因子或步长因子，影响权矢量至误差曲面极小点的收敛速率。若过小，修正量也会过小，收敛速度过慢；若过大，收敛过快，超过一定值后，系统不稳定。虽然最陡下降法的算法简单可行，内含反馈环节，且可迭代循环。但是，算法稳定性不好，受步长因子和自相关函数的影响较大。1.3LMS算法该算法结合维纳滤波理论和最陡下降法，按照最小均方误差优化准则，采用随机梯度算法，通过每次采样计算得到的平方误差替代均方误差，以简化梯度估计，逐步调整滤波器的权系数使其收敛，最终得到最优维纳解。在每次迭代计算过程中，滤波器的权系数始终以一定的比例，沿着误差曲面梯度的负方向更新。但是，实际上，梯度估值计算都会伴随着噪声，权系数并没有沿着实际的梯度方向更新。因此，采用LMS算法计算出的最终解，并不是真正的维纳解，只是无限接近于最优维纳解。通过瞬时值估计梯度矢量[74]，并简化后可得：（1.4）因此，对应的滤波器权系数的迭代公式[75]为：（1.5）其中，步长控制算法的收敛速度，步长越大，收敛速度越快。同时需要选择合适的步长，以确保算法的收敛性，步长需满足（1.6）其中，为输入信号相关矩阵的最大特征值[76]。在实际应用中，也可利用滤波器长度和输入信号的功率，进行判断系数收敛时的步长大小。又因为一定小于相关矩阵的迹，而相关矩阵的迹是输入信号功率的倍，所以，收敛条件也可表示为：（1.7）LMS算法因其原理简单易实现、计算量小、性能好等优点被广泛应用于信号处理领域中，但是在非平稳环境中，梯度和收敛速度会随着输入信号能量的变化而变化，不仅产生较大的梯度噪声，还会影响算法的收敛速度。1.4NLMS算法在LMS算法的基础上，每次滤波器权系数更新时，步长参数根据输入信号的能量进行归一化，使梯度与其保持一致，这样更加稳定，收敛速度更快，同时也可利用可变步长来平衡收敛速度和稳态误差[77]。通过以输入信号的能量为归一化准则，并随时间改变步长大小，可得（1.8）其中，为步长参数的调整因子，。为输入信号的欧式范数的平方，即输入信号的能量值。当很小，趋于零，步长参数就会变得无限大，导致滤波器权系数发散，算法不稳定且无法收敛。为避免由于输入信号能量过小导致算法发散的问题，在分母处引入一个常数，。综上所述，推导可得NLMS算法的滤波器权系数的更新公式[78]为：（1.9）与LMS算法相比较，虽然该算法增加了一定的计算量，但NLMS算法的收敛速度更快，稳态误差更小，鲁棒性较高，所以在实际应用中更为广泛。NLMS算法虽然解决了梯度噪声问题，但由于它采用的是固定的步长调整因子，因此，在非平稳环境中，信号跟踪能力依然较弱，在获得较快的收敛速度的同时，会产生较大的稳态误差。另外，输入信号的强弱变化仍然会影响算法的稳定性和收敛速度，但影响效果较小。1.5RLS算法RLS算法与LMS算法的最大区别是利用对时间的平均，而不是统计的平均，直接对输入信号的数据进行处理，使其二次性能指数达到最小。算法核心是以最小均方误差为代价，附加的权系数又称遗忘因子，对输入信号按时间顺序进行加权运算。由于距离当前时刻越近的过去信号对当前信号的处理影响越大，而随时间的增加，影响越来越小，称为“遗忘”。基于时刻前的旧数据，以新的滤波器权系数计算所得的累积平方误差作为代价函数，可表示为：（1.10）其中，。当过去信号点距离当前点的时间间隔越小，附加的权系数会越大，反之越小。进一步分析，对代价函数求导，并假定导数等于零：（1.11）将代入，可得（1.12）设，，则其相应的迭代公式为：（1.13）（1.14）由上式和滤波器权系数，可得（1.15）综上，可得滤波器权系数的更新公式：（1.16）其中，，。可控制滤波器的跟踪能力。当传输通道处于线性非时变状态时，应设为1。但是通常情况下，的取值范围应为。值的大小并不会影响算法的收敛速度，但是会影响算法对输入信号的跟踪能力。值越小，跟踪能力也就越强，但当其值过小，易导致滤波器的输出不稳定。RLS算法在计算过程中会反复利用旧数据，并且对于新的数据也十分依赖，而在外界存在噪声干扰或不稳定的环境下，旧数据易丢失或失真，会严重影响滤波器的输出结果。因此，该算法计算量大且复杂，虽然收敛速度较快，但是不易控制，稳定性较差，实时性较差，在实际应用中会受到较大限制。1.6算法性能对比分析在实际的信号处理系统中，需要根据不同场景的应用需求，选取合适的自适应算法，主要从收敛速度、稳态误差以及计算复杂度等方面考虑。因此，可通过以上三个性能指标，对常用的LMS算法、NLMS算法和RLS算法进行测试分析。1.收敛速度收敛速度指滤波器的权系数从初始值收敛至最优解的速度。该指标反映了自适应滤波的权系数调节能力，收敛速度越快，系统更新权系数的速度越快，系统的自适应性和降噪效果也就越好。设LMS算法的步长参数为0.02，NLMS算法的步长参数调整因子为0.5，RLS算法的遗忘因子为0.98，总迭代次数为1000。通常采用学习曲线表示算法的动态性能，学习曲线指均方误差随迭代次数而变化的关系，即对多个单独算法结果加以平均。经过仿真测试，结果如图1.4所示。图1.4三种算法的学习曲线图从上图可以看出，在三种算法的稳态误差基本相同的情况下，LMS算法与NLMS算法的收敛速度相差不大，而RLS算法的收敛速度则远远快于前两种算法。相较于NLMS算法和RLS算法，LMS算法的均方误差的波动较大。2.稳态误差当算法收敛时，滤波器的权系数在某一较小阈值内不断更新变化。滤波器输出值与实际回波间的差值，称为稳态误差。当滤波器权系数处于稳定状态且算法处于收敛状态时，实际值和回波估计值之间仍存在误差，将会导致滤波器权系数在最优解附近发生波动。通常情况下，稳态误差越小，表示算法进入稳态后滤波器权系数越接近最优解，说明滤波器的精确度越高。设稳态误差为，理想状态下，最小均方误差为，两者比值定义为失调量，则（1.17）（1.18）从上式可看出，当滤波器的阶数或步长过大时，失调量就会增大，稳态误差也增大。结合步长与收敛速度的关系，可以看出，稳态误差与收敛速度是一对矛盾关系，而步长的大小对于平衡二者关系十分关键。设LMS算法的步长参数为0.04，NLMS算法的步长参数调整因子为0.75，RLS算法的遗忘因子为0.98，总迭代次数为1000。在保证三者的收敛速度基本相同的情况下，测试结果如图1.5所示。图1.5三种算法的学习曲线图从图中可以看出，当三种算法的收敛速度基本一致时，RLS算法的稳态误差最小，NLMS算法的稳态误差较小，LMS算法的稳态误差最大，但是，三者相差并不大。若提高收敛速度，三者稳态误差的相互差值可能会逐渐增大。1.计算量计算量主要通过算法的计算复杂度和计算时间来体现，从上述算法的基本原理介绍可以看出，RLS算法的计算复杂度最大，LMS算法和NLMS算法的计算复杂度相差不大，NLMS算法略高。设自适应滤波器长度为512，LMS算法的步长参数为0.001，NLMS算法的步长调整因子为0.001，RLS算法的遗忘因子为0.99，在三种算法迭代计算时，测试每组数据计算时间的平均值。测试结果如表1.1所示。表1.1三种算法的计算时间测试结果计算组数LMS（ms）NLMS（ms)RLS(ms)14.