新课标高中数学必修2知识点总结经典

新课标高中数学必修2学问点总结经典

第一章空间几何体

1.1空间几何体的构造

1、棱柱

定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相

平行•由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱/WSe-A'S'COE

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平

行且相等；平行于底面的截面是及底面全等的多边形。

2、棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的

几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母，如五棱锥P-ABCDE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面及底面相像，其相像比等于顶

点到截面间隔及高的比的平方。

3、棱台

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的局部

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母•如四棱台ABCD—ABC'D'

几何特征：①上下底面是相像的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

4、圆柱T

定义：以矩开'尸『尹?为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：a|②母线及轴平行；③轴及底面圆的半径垂直；④侧面绽

开图是一个矢］

5、圆锥

定义：以直角自边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面绽开图是一个扇形。

6、圆台.

定义：用一/1\P面去截圆锥，截面和底面之间的局部

几何特征：।之才'；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面绽开图是一个

弓形.户=号\

球体G..)……V)

定义：以半，272777^^^关转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上随意一点到球心的间隔等于半径。

※空间几何体的构造特征：H(侧面、上底面、下底面)、棱、顶点、轴

1.2空间几何体的三视图和直观图

1、中心投影及平行投影

中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。

平行投影：在一束平行光照耀下形成的投影叫做平行投影。

2、三视图

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

3、直观图：斜二测画法

斜二测画法的步骤：

(1).平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；

(2).平行于y轴的线长度变半•平行于x，z轴的线长度不变;

(3).画法要写好。

用斜二测画法画出长方体的步骤：(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3空间几何体的外表积及体积

(1)几何体的外表积为几何体各个面的面积的和。

(2)特殊几何体外表积公式(c为底面周长，h为高，〃为斜高•I为母线)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

4、

⑷球体的外表积和体积公式：V球二铲”;S«=4^/?2

第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证

1、公理1:假如一条直线上两点在一个平面内•那么这条直线在此平面内

AJRul

=Iua公理1的作用：推断直线是否在平

AGa,BGa

面内

2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

若A，B，C不共线，则A，B，C确定平

推哆1一1寸白纬的另线外一点有且只有一个平面

若/U/，则点A和/确定平面a

推5,2:/两条5交直线有且只有一个平面

若"〃=A,则也〃确定平面a

推沙3;过雪新步行直线有且只有一个平面

/^L——若m|?2,则加，〃确定平面a

公理2及其推论的作用：确定平面；断定多边形是否为平面图形的根据。

3、公理3:假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共

直史\

1）断定两个平面是否相交的根据；（2）证明点共线、线共点等。

4、公理入高U平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行“IAc||〃na|c

5、野:空间中假如两个角的两边分别对应平行•那么这两个角相等或互补。

:该定理啦睇角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6、蠢鲤维急户、相交、异面0d内人=4，&〃异面

（价髅宥任磔建翻•两条直线平行,

（2）有一个公共点的两条直线相交/八人/

（3）不同在任何一个平面内的两条直线向异面皆线一

7、线面位置关系:直线在平面内、不亍、相交

8、面面位置关系逐窗尹乖/0

9//即直线2何公共点）

（11/面外一条口R面内的一条直线平行,则该直线及此平面平行。

（黄嘉仕干手内找一条直再卜的直线平行就亘以）

证明两直线平行的主要了

P

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；

②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：假如一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面及这个平

面飞丁条直线和它们的交线平行；

--递性：a",C||A=＞。C

I一号"J性质:假如一个平面及两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

⑥垂直于同一平面的两直线平行；aLa\^a\b

bLa

⑵直线及平面平行的性质：假如一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面及这个

平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的③）

10、面面平行:（即两平面元任何公共点）

（1）断定定理：一个平面内的两条相交直线及另一个平面平行，则这两个平面平

行。

（2）两平面平行的性质：

皿打一个平面及两平行平面都相交，那么它们的交线平行；

性司一平面的两平面平行；

也全*平行平面间的平行线段相等；

/p/面平行，一平面上的任一条直线及另一个平面平行；

11^^:

⑴/（二Z-条直线垂直于一个平面内的随意一条直线•那么就说这条直线和这个平

面垂直。

⑵业U0•及一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线及此平面垂直。

（3）二同一个平面的两条直线平

，件a_L___,1始终线的两平面平行

12、面面垂直：

二面角是直二面角•就说这两个平面互相垂

垂线，则这两个平面垂直。

Iua

（只需在一个半回内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）

（3）性质：两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

证明两直线垂直和主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；

③利用线面垂直的定义证明（特殊是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线零理证明%糠乳。麻蠡面提镰〃线面垂〃〃线影垂〃〃线斜

=>a1PA

又直线aua.且。±OA

线影垂直=线斜垂直，反之也成立。

1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的头角*通常在两异面直线中的一条上

取一点*过该点作另一条直线平行线，

2.斜线及平面成成的角：斜线及它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面a的一条

斜线,A为斜足,0为垂足，0A叫斜线PA在平面a上射影,NPAO为线面角。

3.二面角：从一条直线动身的两个半平面形成的图形，如图为二面角，二面角的

大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平6二面内目角的两边及

二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的父键

确构成二面角两个半平面和棱；②明确二面角库।勿

而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的7/垂直。

（求空间角的三个步骤是〃一找〃、〃二证〃

5.点至J平面的间隔：指该点及它在平面上的射影的连线段的长度。

如图：0为P在平面a上的射影，

线段0P的长度为点P到平面a的间隔求法通常有：定义法和等体积法

等体积法：就是将点到平面的间隔看成是

三棱锥的一个高。如图在三棱锥V-A3C

中有

,^S-ABC=匕-SBC=匕?-SAC=。

3.1直线的倾斜角及斜率

（1）直线的倾斜角

B

定义：X轴正向及直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特殊地，当直线及X轴

平行或重合时，我们规定它的倾斜角为o度。因此，倾斜角的取值范围是0"Q<I8（T

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率

常用k表示。即2=tana。斜率反映直线及轴的倾斜程度。

当aG［（r,90扇,k>0;当a金（90/80）时,k<0;当a=9（T时,攵不存在。

”为一.G*K）

②过两点的直线的斜率公式：—2

留意：（1）当3二%时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;

（2）k及Pl、P2的依次无关;（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标干脆

求得；

⑷求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

3.2直线的方程

①点斜式：'-，=氏（、-项）直线斜率k，且过点&/）

留意：当直线的斜率为0。时，k=0•直线的方程是y二yl。

当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示•但因I

上每一点的横坐标都等于xl­所以它的方程是x=xl。

②斜截式：y=kx+b•直线斜率为k•直线在y轴上的截距为b

=.r-x,

③两点式:一8"（内，）育线两点（・'2），&，%）

3=1

④截矩式：。b

其中直线/及X轴交于点3°）,及）'轴交于点Q"即/及X轴、y轴的截距分别为9。

⑤一般式：Ax+3），+C=°（A,B不全为0）

留意：①各式的适用范围。特殊的方程如：

平行于X轴的直线：y=〃（b为常数）;平行于y轴的直线：戈=。（a为常数）;

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（-）平行直线系

平行于已知直线A/+B/+c°=°（A）,综是不全为0的常数）的直线系：

A/+B°），+C=0（C为常数）

(二)过定点的直线系

(i)斜率为k的直线系：—%—%),直线双定点(与，)、0)；

(ii)过两条直线6：Ax+用，+G=o，/2：&x+&y+G=o的交点的直线系方程为

(V+/?IV+CI)+2(A2X+^+C2)=O(以为参数)，其中直线4不在直线系中。

(6)两直线平行及垂直

当4/：y=22%+8时，

留意：利用斜率推断直线的平行及垂直时，要留意斜率的存在及否。

3.3直线的交点坐标及间隔公式

1、两条直线的交点

」：A%+3j+G=0/2：&•Y+生丁+。2=0相交

A}x+B1.v+G=0

交点坐标即方程组%，+G=o的一组解。

方程组无解QPL;方程组有多数解o4及,2重合

2、两点间间隔公式：设火与小)，氏法外)是平面直角坐标系中的两个点,

则I阴=加工2一用)2+(%-/)2

d_I-+B-+C|

3、点到直线间隔公式：一点P&"。)到直线6:4T£v+c二°的间隔一.2+短

4、两平行直线间隔公式

在任始终线上任取一点•再转化为点到直线的间隔进展求解。

第四章圆及方程

4.1IM的方程

1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔等于定长的点的集合叫圆，定点为IS心，定长为

圆的半径。

2、圆的方程

(1)标准方程(、一。)2+()'一"=都，圆心(。，〃),半径为r;

(2)一般月程.+/十外+日+尸=°

当。2+炉一4月＞0时，方程表示圆，此时圆心为(W)，半径为“♦二+炉——

当。、炉一4/=0时,表示一个点；当方+炉_4尸＜0时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法：

一般都采纳待定系数法：先设后求。确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准

方程,

需求出a，b，r;若利用一般方程，须要求出D，E，F;

另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点•以此来确定圆心的位置。

4.2直线、圆的位置关系

1、直线及圆的位置关系有相离•相切，相交三种状况，根本上由下列两种方法推断：

(1)设直线/：4戈+a+0=°,圆C:(x-a)2+()，."=/，圆心C(〃㈤到।的间隔为

\Aa+Bb+C\

D>IA2+B2,贝［］有d>r<=>/与C相离；"=厂=/与。相切；=

⑵设直线/：A；+8"C=°,圆。《-日+(””=户，先将片程联立消元.得到一个一元二次

方程之后，令其中的判别式为△，则有，

注：假如圆心的位置在原点«可运用公式"。+»。=厂去解直线及圆相切的问题，其中

瓦，尤)表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：2

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(xO，yO)，则过此点的切线方程为"。+»。=厂

②圆(x・a