圆形分布资料统计分析

圆形分布资料统计分析

圆形分布统计方法是用于处理角度资料的一类分析方法。在DPS数据处理系

统中处理圆形分布的资料类型包括角度，昼夜时间及一年中的日期。分析功能包

括平均角计算及其假设检验、两样本比较、多样本比较、以及圆-圆比较等分析

（如图11

『分析方法

6平均角及其假设检验0方向角度

两样本平均角比较测验

Ct「昼夜时间

r两样本平均角比较瞰爆

「年度日期

c多样本平均角比较

「圆一圆相关嗨验

，图-图秩相关

c圆一线相关

图1圆形分布统计分析方法及处理数据类型选择界面

在处理圆形分布资料时，数据的输入格式必须注意：系统约定，角度的度和

分之间，时间的小时和分钟之间，一年中的天数的月份和日期之间,用小数点分

开,3种圆形分布数据的输入格式如表lo

表1不同类型数据输入格式

角度日期时间

原始值输入格式原始值输入格式原始值输入格式

35005,35.053月5日3.058:058.05

35°55'35.553月15日3.159:309.3

35°5()'35.53月30日3.39:599.59

第1节平均角及其假设检验

设有n个角度0G,8,…，anz令〃表示角的样本均数，简称平均角,其计

算公式为：

Xj=cosa,

y.=sin%

x=n-y^cosa/n

y=^y/n=y^sma/n

#+

r=yjx2+F

arctg{ylx)当%>0

180°+arctg{ylx)当x<0

a=<90当x=0,且y>0

270当x=0,且y<0

不定当x=0,且〉=0

角的标准差的公式为：

s=J-21nr弧度

对于大样本的频数表资料，有：

x=\^fcosa)/n

»=(Z/sin。)/几

s=正21n%

rc=rC

式中C是校正系数，十是，•的校正值。

当一组数据中所有3都等于同一数值，则这组数据无变异，s=0,而E,当

一组数据中的3均匀地分布在圆周上，则-0,而s则因平均角不存在而无法计

算，但当r趋向于。时，s趋向于无穷大。r值的范围在0〜1之间，s值的范围在

0〜oo无穷大之间,s可称为圆标准差(circularstandarddeviation)或平均角离差

(meanangulardeviation),简称角离差(angulardeviation),通常以〃表示角度资料

的集中趋势(tendencyofconcentration)量度，s表示其离散趋势量度,本质上是一

回事。

当基本参数计算处理后，我们就可进一步进行平均角均匀性检验。检验是基

于所有仪都是均匀分布在圆周的一个总体，其集中趋势量度值片。，但在此总体

中随机抽一个样本，所得0的估计值不一定为0,因此，当同一个样本资料算得平

均角万与〃后，此万是否意义(即是否来自片0的总体)必须进行假设检验，称

为均匀性检验(testofuniformity)。此时，为:片0,即为均匀分布，不存在平均角：

M:p/0,即不是均匀分布，存在平均角。

均匀性检验方法是，根据样本大小〃和算得的r或北查表，如〃(或rc)大

于或等于表中界值，则P<a,即在相应的水准上拒绝Ho,表示存在集中趋势，

平均角有意义。如厂小于表中界值，则P>a,即在々K准上不拒绝Ho,认为是均

匀分布，不存在集中趋势，故平均角无意义。

例1现有20名足月孕娠妇女的分娩时间如表2的第一列，试计算其平均分

娩时间及其标准差，并检验其平均值是否有意义。

分析时,在DPS数据处理系统的电子表格中，按表2的第2列的数据格式输

入，并定义成数据块，然后在菜单方式下选择〃圆形

表220名妇女的分娩时间

分布资料统计分析〃功能项，这时，系统就会出现如

分娩时间输入格式

图1的用户选择界面。在该界面中，分析方法选〃平3:503.5

23:0023.0

均角及其假设检验〃，数据单位选〃昼夜时间〃，然后1:401.4

2:452.45

点击〃确定〃按钮，即可得到如下结果。2:402.4

5:405.4

sin/匀值=0.526693:003.0

4:204.2

cos〃匀值=0.485705:005.0

5:505.5

4:154.15

参数=0.7164539.259.25

6:506.5

mo5=O.3846mo尸0.47183:003.0

参数5=0.8166313:303.3

1:301.3

20:2020.2

平均=3:09,标准差=3:0719:3019.3

3:153.15

从结果可以看出,，＞用.01,即可认为，在。=0.011:001.0

的水准上，认为存在集中趋势，此平均角有意义，平均分娩时间是3点零9分,

标准差为3小时零7分。

例2某地4个年度克山病患者5679人，其急性发作的昼夜时间制成频数表

（表3）,试分析是否存在〃好发〃时间？

分析时，在DPS数据处理系统的电子表格中，按表3的第3列的输入发病时

间的组中值，第4列输入各个时段的急性发病人数，并定义成数据块，

表3克山炳患者急性发作的昼夜时间分布

发病时间组中值输入格式频数

0〜0:300.30107

1~1:301.30139

2~2:302.30134

3~3:303.30205

4~4:304.30218

5~5:305.30303

6~6:306.30418

7~7:307.30376

8~8:308.30501

9~9:309.30306

10~10:3010.30359

11~11:3011.30213

12~12:301230321

#+

13~13:3013.30

14):41

一

15154.92399

~:5.

G2M

16~16

:Z2

1717

~8723

181:13o98

~8.1

191913o96

~:9S.1

2020272

~3o1

212:L06

上23o7

~Z70

222223o7T3

~:

223/

3~:23.3.O

然后在菜单方式下选择〃圆形分布资料统计分析〃功能项，这时，系统就会

出现如图1的用户选择界面。在该界面中，分析方法选〃平均角及其假设检验〃,

数据单位选〃昼夜时间〃，然后点击〃确定〃按钮，即可得到如下结果。

sin"匀值=0.12093

cos"匀值=-0.21304

校正参数=1.00286

参数片0.245671

■0.05=0.0228ro.oi=0.0279

参数5=1.675566

平均=10:02,标准差=6:24

从结果可以看出/rc>ro.oi,即可认为,在。=0.01的水准上，认为存在集中趋

势，此平均角有意义，即克山病的好发时间是10点零2分，标准差为6小时24

分。

第2节两个或多个样本平均角的比较

两个或多个样本的平均角各自经均匀性检验，如果都拒绝.则可用

WatsonWilliam检验，判断它们是否来自总体平均角度都为封勺总体，即比较平均

角之间是否有显著差别。

1、两个样本平均角比较的f检验

设两样本的含量及"直分别为a，门，〃2,2

Ho：p\=p^p

H\:p件您

可用，检验：

，=JK(N—2)(«+6—K)/(N—尺—6)

上式中：R\=n\r\

R?=n2r2

N=n、+%,R=Nr

厂为两组合并后算得的"直，当，•在0.7以上时，本法效果较好，K为校正因

子。根据，值，计算自由度为N-2时的显著水平。

例3测定两组病人心向量的最大向量角(表4),现推断两组病人的平均角有

无显著差异？

表4两组病人心向量最大向量角测量值

第一组3053.4533021.1586.1567.355

第二组56.156528.45357.367.386.1577.351.15

计算时，在DPS的电子表格里，按表4格式编辑、定义数据块，后在菜单方

式下选择〃圆形分布资料统计分析〃功能项，这时，系统就会出现如图1的用户

选择界面。在该界面中，分析方法选〃两样本平均角比较，测验〃，数据单位选〃方

向角度〃，然后点击〃确定〃按钮，即可得到如下结果。

平均0=42。26',参数门=O.827824,mo5=O.6419,ro.oi=0.7693

平均的=54。42',参数r2=0.896473,ro.O5=O.6O2O,ro,oi=0.7250

t检验结果：

M).7170,df=13,〃=0.4860

从结果可以看出，差异显著性水平〃=0.4860,p>o.o5,即可认为,两平均

角相差无统计学差异。

2、两样本平均角比较的小检验

这是一种非参数统计方法，效率较Watson-William法低，只有当两样本的平

均角比较不具备/检验的条件时，可用本法，现结合一个例子，介绍其方法及步

骤。

例4患A病的6个病人，晚上入睡时间分别为20:30,21:00,21:15,21:20,

21:45,22:00；患B病的7个病人,入睡时间分别为21:30,21:45,22:05,22:15,

#+

22:20,22:45,22:50，问两种病病人入睡时间的迟早有无差别？

解：用检验法处理本资料，本法对均匀性及合并一大小等无特殊要求，故

不必作平均角的均匀性检验及求合并"直。

Ho:两总体分布相同；

H\：两总体分布不同。

(1)将两样本中的时间化为角度，再按照角度大小从上向下排列，但仍分两

组,各自编序号i与j,排列结果见表5第2,5列。

(2)两组分别计算i/n\及jin?,见表5第3,6列，A,3两组各有12个可标

，或J的格子，而4组有6格填了i,有6个空格，5组有7格填了有5个空格,

有空格的各行,也要计算而\,和力小，其i,/的决定方法为：①，•或)等于1以

前各空格其值为0，例如表中第6列1〜4行，j/n2的计算方法为0H即等于0；②

如，•或/等于C之后有空格，这些空格在计算i/m或〃时/或/的值以貌取人C

代之，如表中z-4与i=5之间有一空格行，它的i/n\为4/6=0.6667；③在i等于6

后的各空格，其Um,为6/6=1,B组必2的空格处，其加2计算方法同上。

表5两样本比较的U检验

A组B组

力〃2cP

角度iUn\角度j加2

307.5°10.166700.16670.0278

315°20.333300.33330.1111

318.75°30.5()(X)00.500()0.2500

320°40.666700.66670.4445

0.6667322.5°10.14280.52390.2745

326.5°50.8883326.5°20.28570.54760.2999

330°610.28570.71430.5102

1331.25°30.42860.57140.3286

1333.75°40.57140.42860.1837

1335°50.71430.28570.0816

1341.25°60.85710.14290.0204

1342.5°7100

(3)计算各行的d值，置于第7列，心置于第8歹I」，并得23=4.8811,

£d?=2.5302。

(4)用下式计算U值：。2=(4%)2忙屋-电。)2////

本例得：t/2=6x7x[2.5302-(4.8811)2/13]/132=0.1733

根据♦查表,*5(6,7)=。・1941,氏—05(6,7)，尸＞°・05,不拒绝Ho,认为

两组分布的差别无统计意义。

在DPS数据处理系统的支持下,进行两样本平均角比较的检验。其操作

步骤是分析前，先将观察数据编辑、定义成表6格式。

患A病病人组20.32121.1521.221.4522

患B病病人组21.321.4522.0522.1522.2022.4522.5

表6两样本平均角比较的匕检验的数据编辑、定义方式

然后在菜单方式下选择〃圆形分布资料统计分析〃功能项，这时，系统就会

出现如图1的用户选择界面。在该界面中，分析方法选〃两样本平均角比较的f/2

检验〃，数据单位选〃昼夜时间〃，然后点击〃确定〃按钮，即可得到如下结果。

排序秩次

No.观察值组别组1组2

120.3000010.1666670.000000

221.0000010.3333330.000000

321.1500010.5000000.000000

421.2(X)00I0.666667().()()(X)()()

521.3000020.6666670.142857

621.45000210.8333330.285714

722.0000011.0000000.285714

822.0500021.0000000.428571

922.1500021.0000000.571429

1022.2000021.0000000.714286

1122.450002l.OOOO(X)0.857143

1222.5000021.0000001.000000

统计量U的平方=0.1733,差异不显著

计算结果可直接计算出U并判断是否显著。该例中的的U2=o1733,差异

不显者。

第3节多个样本平均角的比较

仍用Watson-William法，计算过程与两样本时相仿，但必须求尸值。设有K

个样本，以〃i,分，凡分别表示第i个样本的有关统计量。

Ho:P1=P2=…=Pk

Hi:Pi不完全相等。

F=K(N—幻(£4—R)/(攵—A

/

df\-k-\,df2=N・k。

#+

式中K为校正因子,N=,R为合并的R值。查方差分析用产值表（附

表五）作出统计推断。

本法也要求各平均角必须经均匀性检验认为有意义才能进行比较，并且合并

的厂须大于0.45,效果才较满意。

例5在例3中，如果除甲乙两组病人之外，还有一个样本丙，共6个观察值:

330。，345。，0。，15。，30。和20。。现推断这3组病人的平均角有无显著差异？

第一组3053.4533021.1586.1567.355

第二组56.156528.45357.367.386.1577.351.15

第三组3303450153020

表7三组病人心向量最大向量角测量值

计算时，在DPS的电子表格里，按表7格式编辑、定义数据块，后在菜单方

式下选择〃圆形分布资料统计分析〃功能项，这时，系统就会出现如图1的用户

选择界面。在该界面中，分析方法选〃多样本平均角比较〃，数据单位选〃方向角

度〃，然后点击〃确定〃按钮，即可得到如下结果。

平均〃产42。26,参数n=0.827824,r0.05=0.6419,ro.oi=0.7693

平均。2=54042,参数a=0.896473,ro.o5=O.6O2O,ro.oi=0.7250

平均。3=3。30,参数门二0.935671,ro,o5=0.691O,ro,oi=O.8224

F检验结果：

尸=5.3783,df=2/8，〃=0.0148。从结果可以看出，差异显著性水平〃=0.0148,

P<0.05,即可认为，3组平均角之间有显著差异。

第4节圆-圆相关

当观察到〃对角度数据（8口）时，可以研究唐£之间的相关性，称为圆・

圆相关性（angular-angularcorrelation）。其计算方法与圆形统计量是否均匀分布有

关。当唐编B呈均匀分布时,可用H检验法,如唐阱至少有一个为非均匀分

布，就只能计算秩相关。

1、H检验

适用于均匀分布的角度资料，其相关系数的计算公式有:

&=a「反

x=gcosR/，

y=>^sin.〃7

q=J.2+y2

（pi=%+A

CO=（夕COS.）/几

N=》sin〃）/〃

r二折+/

r—max（々，匚）

H=rVn

例6设有两个均匀分布的成对角度资料，试求相关系数并作统计检验。在

DPS数据处理系统中，先按表8方式编辑、定义数据块。

表8圆一圆相关分析数据格式

a

0

120

135

260

1090

150135

19515

24021

24

300255

315300

然后在菜单方式下选择〃圆形分布资料统计分析〃功能项，这时，系统就会

出现如图1的用户选择界面。在该界面中，分析方法选〃圆-圆相关H检验〃，

数据单位选〃方向角度〃，然后点击〃确定〃按钮，即可得到如下结果。

#+

No.

6中sin(6)cos(6)sin(tp)cos(ip)

160°180°0.8660250.500(X)00.000000-1.000000

245°225°0.7071070.707107-0.707107-0.707107

375°345°0.9659260.258819-0.2588190.965926

40°300°0.0000001.000000-0.8660250.500000

5-15°405°-0.2588190.9659260.7071070.707107

60°480°().(X)()0()()1.()0()(X)()0.866025-0.50()(X)()

745°555°0.7071070.707107-0.258819-0.965926

815°615°0.2588190.965926-0.965926-0.258819

相关系数=0.86428为正相关

H统计量=2.44457

显著水平p<0.01

从计算结果得知，其显著水平P<O.O1,因此可以推断相关极显著。

2、圆一圆秩相关

当〃对圆形分布资料中的满口国的一个或两个不是均匀分布时，”检验不适

用，此时须用秩相关，有关公式有：

£=360°/〃

a'=jE

B'=kE

其中J,%分别为口和3的秩次，

r2=-ln(l-Vl-P)/(n-l)

其中P为概率值。

例7现有6对圆分布资料，试用秩相关检验他们是否存在相关性。在DPS

数据处理系统中，先按表9方式编辑、定义数据块。

表9圆一圆秩相关分析数据格式

aP

61.382.36

86.36239.55

29.4292.66

44.337

60.15248.18

⑴352.15

然后在菜单方式下选择〃圆形分布资料统计分析〃功能项，这时，系统就会

出现如图1的用户选择界面。在该界面中，分析方法选〃圆-圆秩相关检验〃，数

据单位选〃方向角度〃，然后点击〃确定〃按钮，即可得到如下结果。

No.秩次a秩次b角度a角度b8<P

11160°60°0°120°

223120°180°-60°300°

332180°120°60°300°

446240°360°-120°600°

554300°240°60°540°

665360°200°60°660°

相关系数=0.44096为正相关

从计算p=0.6l342结果得知，其

显著水平0.6134,因此可以推断相关不显著。

第5节圆-线相关

当观测到的成对数据中，一个是圆形分布，另一个是线性量时，也可研究两

者间的相关性，称为圆-线相关(angular-linearcorrelation)。其公式为：

_Zyc°sa-(Zy)(Zcosa)/〃小

「广-—.T](])

JI/一①"%叵cos?a—也cosa广〃

r=Z>sina/〃⑵

'sinacosa-(?sina)(Zcosa)n©

Jsin2a一(gsin力a_5cos力£

户=上++一2%・仆・l)(1—6)(4)

x2=nr2,df=2⑸

其中y为线性量，a为角度；仅表示y与cose(的简单相关系数；令表示y与

血。的简单相关系数；&表示s%a与。。sa的简单相关系数。

计算时,先求出角度资料的s加a与cosa,然后由(1),(2),(3)求出3个简单

相关系数%,小，-sc,再代入(4)式,求得r2,其中一即角度与线性量之间的相关

系数，它是否来自p=0的总体，可由⑸式求得f值后，计算其显著水平，当显著

#+

水平p<0.05时，则拒绝小,认为总体相关系数不为0,也即存在圆-线相关。

例8研究某指标与日期之间的关系，得到观察结果如表10,试检验这两个

变量是否存在相关性。

在DPS数据处理系统中，先按表10方式编辑、定义数据块。

表io圆・圆秩相关分析数据格式

aY

1.31.5

4.11.6

4.31.7

c

6.2

8.32.1

9.21.8

10.31.4

11.31.2

然后在菜单方式下选择〃圆形分布资料统计分析〃功能项，这时，系统就会

出现如图I的用户选择界面。在该界面中,分析方法选〃圆-线相关〃，数据单位

选“年度日期"然后点击〃确定〃按钮，即可得到如下结果

No.角度ysin(a)cos(a)

129.5890l.50(X)000.4937760.869589

298.63001.6000000.988678-0.150055

3118.356°1.700()000.880012-0.474951

4168.658°2.0000000.196673-0.980469

5238.685°2.100000・0X54322-0.519744

6258.411°1.8000()0-0.979614-0.200891

7298.849°1.400000-0.8758920.482508

8329.425°1.200000-0.5086710.860961

相关系数=0.87443

卡方=6.11704df=2p=0.04696

从计算结果得知，其显著水平p<0.05,因此可以推断该指标与日期之间的相

关关系显著。

参考文献

何清波，苏炳华，钱亢，医学统计学及其软件包，上海：上海科学技术文献出版社，2002

#+

轮廓分析

当我们将由〃种处理（如不同时间重复测验，问卷调查等）组成的一个处理

组施加于两组或多组对象时，可采用轮廓分析方法。设所有响应均在相似的单元

中被表出，再假定不同组的响应彼此独立。我们自然要问：总体的平均值向量是

否都相等？在轮廓分析中,诸均值向量的相等性问题可分成几种可能性。

考虑总体均值向量"'二［〃"，/2,出3,〃田，它代表对第一组四种处理的平

均响应。这些用直线连接的均值，其图形示意于下。

变量

在图中，其折线就称为总体1的轮廓，对每个总体（组）都可构造其轮廓。

这里主要讨论二个总体（组）的情形。

设“二［3，"2,…和十二［汝，，…，〃2p］分别为总体1和总体2

对P种处理的平均响应。假设"0：〃尸"意味着对这两个总体来说，〃种处理的效

应相等。按照轮廓分析的思想方法，可将相等性问题分成如下几步：

।、两轮廓是否平行？等价地说，假设

“01:7=2,3,…，夕，是否可接受？

2.假如两轮廓是平行的那么它们是否重合？等价地说，假设“02:出”

占1,2,—,A是否可以接受？

3.假如两轮廓重合，它们是水平的吗？即所有均值是否都相等于同一常

数?等价地说，假设是H（）3:〃1尸二…二"p=二…”2p否可以接受？

第一步两个正态总体平行轮廓的检验

在第一步中,零假设可写为Ho.:CU\=Cj这里C为对照矩阵

--1100…00-

0-110•••00

C=.........................(1)

({/7-l)X/7),•

0000・・・-11

对来自两个总体的容量分别为川和〃2的独立样本通过构造变换后的观测值

Cx\j,j=l,2,...,n\

CX2j,j=\,2,...,

便可检验零假设。变换后的观测值人样本均值向量分别为和仃2。联合

的样本协方差阵为CSPCO

由于变换后的两组观测值分别服从与田」(。〃2，

C^C)f应用Hotelling产统计量(式2),便可检验两个轮廓的平行性。

2

T=(x}-x2)CCSC

P。伍一x2)

进一步，计算其/统计量为：

+n2-2\p-1),n]n2)J

尸满足于自由度为p-l,m+〃2-p的尸分布。这时我们可根据产值，计算显著性

P值，在一定的显著性水平评拒绝假设

第二步两个总体轮廓平行时的重合轮廓的检验

当两个总体的轮廓平行时第1个总体的轮廓或者高于第2个总体的轮廓对

所有/,,或者低于第2个总体的轮廓，两者必居其一。在此条件下，只

有当总高度"l+"2+・・・+"p=lZ与"+〃22+・・・+"二1'"相等时,两总体的轮廓才会

重合，因此，第二步中的零假设可改写为如下等价形式

“02：1'〃1二1%

这时我们可以利用根据一元观测值1'孙，M,2,…，乃和1'孙，j=l,2,・•.，

生得出的两个普通二样本f统计量来检验”02。

#+

对两个正态总体，若

(11)

22)

T=r(X-x2)——十——is/1'(用一元

I小〃2)(3)

则

F=1'伍-弓）

I1K卜/+2斗s-J

产满足于自由度为1M+/22-2的尸分布。这时我们可根据产值，计算显著性〃

值，在一定的显著性水平"F拒绝假设

HO2：14=1'〃2（轮廓重合）

第三步两个总体轮廓重合时的水平轮廓检脸

若两总体的轮廓重合，则刈，X12，…，X1.与X21,X22，…,X2.均来自同一

正态总体，下一步研究是否所有变量具有相同的均值，因而其公共轮廓是水平的。

当“01和”02被接受时，可用〃计〃2个观测值来估计其公共均值向量〃，其估

计量为：

为

n2'

_1一+几

X=-----2x

(%+%)("1+n22

%十%j=lj=l>

如果其公共轮廓是水平的，即〃尸"二…二",那么第3步的零假设可改写为

“03:C^o

其中的C由式⑴给出，于是我们有如下检验:

产=（/+n^C\CSCYCx(4)

其中，S为基于所有