2026年江苏省北师大版高中数学必修第十册单元测试卷

2026年江苏省北师大版高中数学必修第十册单元测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，若f(a)＝0，则a的取值范围是（）A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(－2，－1)解析：由f(a)＝0得ln(a＋1)－a＝0，即ln(a＋1)＝a。令g(x)＝ln(x＋1)－x，则g(x)在(－1，＋∞)上单调递减。计算g(0)＝ln(1)－0＝0，g(1)＝ln(2)－1＜0，g(2)＝ln(3)－2＞0，由零点存在性定理知，a的取值范围是(1，2)，故选C。2.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[a，b]上的最小值为3，则实数a，b的取值可能为（）A．a＝0，b＝3B．a＝－1，b＝4C．a＝1，b＝5D．a＝－2，b＝6解析：f(x)＝|x－1|＋|x－2|表示数轴上x到1和2的距离之和，最小值为1到2的距离即1。若最小值为3，则[a，b]必须包含至少一个距离1和2之和为3的点。计算可得，当a＝0，b＝3时，x＝2时f(x)＝3；当a＝－1，b＝4时，x＝1时f(x)＝3；当a＝1，b＝5时，x＝3时f＝3；当a＝－2，b＝6时，x＝4时f(x)＝3。综上，a＝0，b＝3符合条件，故选A。3.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1－a_n＝2(n－1)，则a_5的值为（）A．9B．11C．13D．15解析：由a_n＋1－a_n＝2(n－1)得a_n－a_{n－1}＝2(n－2)，累加可得a_n＝1＋2[1＋2＋…＋(n－2)]＝1＋2×(n－2)(n－1)/2＝n^2－n＋1，故a_5＝5^2－5＋1＝21，但选项无21，重新检查递推关系，发现应为a_n－a_{n－1}＝2(n－1)，则a_n＝1＋2[1＋3＋…＋(n－1)]＝1＋2×(n－1)n/2＝n^2－n＋1，a_5＝5^2－5＋1＝21，选项有误，正确答案应为21，但题目要求选择，故需重新命题或修正选项。4.已知圆C的方程为(x－2)^2＋(y－3)^2＝1，则直线l：x＋y－5＝0与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．包含解析：圆心(2，3)到直线x＋y－5＝0的距离d＝|2＋3－5|/√2＝√2，半径r＝1，因为d>r，所以直线与圆相离，故选A。5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间[0，π]上的图像如下（此处应有图像，假设为正弦曲线），则ω和φ的值分别为（）A．ω＝1，φ＝π/2B．ω＝2，φ＝π/4C．ω＝1/2，φ＝3π/4D．ω＝2，φ＝3π/4解析：由图像可知周期T＝2π/ω＝2π，故ω＝1。当x＝0时，sin(φ)＝0，且图像在x＝π/2时达到最大值1，故φ＝π/2，故选A。6.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在区间[－1，3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M－m的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)＝3x^2－6x，令f'(x)＝0得x＝0或x＝2。计算f(－1)＝－4，f(0)＝2，f(2)＝－4，f(3)＝2，故M＝2，m＝－4，M－m＝6，选项无6，重新命题或修正选项。7.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则过点A且与直线AB垂直的直线方程为（）A．x－2y＋3＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y－3＝0解析：直线AB的斜率k＝(0－2)/(3－1)＝－1，垂直直线的斜率为1，故方程为y－2＝1(x－1)，即x－y＋1＝0，化简为x－2y＋3＝0，故选A。8.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e^2解析：f'(x)＝e^x－a，由题意f'(1)＝0得e－a＝0，即a＝e，故选C。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n^2－n＋1，则a_4的值为（）A．7B．8C．9D．10解析：a_4＝S_4－S_3＝(4^2－4＋1)－(3^2－3＋1)＝7，故选A。10.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，则直线l：3x－4y＋5＝0与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．包含解析：圆心(1，2)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|3×1－4×2＋5|/√(3^2＋4^2)＝1，半径r＝2，因为d＜r，所以直线与圆相交，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[－1，3]上的最大值为________。参考答案：4解析：f(x)在x＝－1时取最大值，f(－1)＝|－1－1|＋|－1－2|＝4。2.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1－a_n＝2(n－1)，则a_5＝________。参考答案：21解析：a_n＝n^2－n＋1，a_5＝5^2－5＋1＝21。3.已知圆C的方程为(x－2)^2＋(y－3)^2＝1，则直线l：x＋y－5＝0与圆C的距离为________。参考答案：√2解析：圆心(2，3)到直线x＋y－5＝0的距离d＝|2＋3－5|/√2＝√2。4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间[0，π]上的图像如下（此处应有图像，假设为正弦曲线），则ω＝________，φ＝________。参考答案：1，π/2解析：ω＝1，φ＝π/2。5.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在区间[－1，3]上的最大值为________，最小值为________。参考答案：2，－4解析：f(－1)＝－4，f(0)＝2，f(2)＝－4，f(3)＝2，故最大值2，最小值－4。6.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则过点A且与直线AB垂直的直线方程为________。参考答案：x－2y＋3＝0解析：直线AB的斜率k＝－1，垂直直线的斜率为1，方程为x－2y＋3＝0。7.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a＝________。参考答案：e解析：f'(1)＝0得e－a＝0，即a＝e。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n^2－n＋1，则a_4＝________。参考答案：7解析：a_4＝S_4－S_3＝7。9.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，则直线l：3x－4y＋5＝0与圆C的位置关系为________。参考答案：相交解析：圆心(1，2)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝1＜r＝2，故相交。10.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，若f(a)＝0，则a的取值范围是________。参考答案：(1，2)解析：ln(a＋1)＝a，g(x)＝ln(x＋1)－x在(1，2)上单调递减且过(1，0)，故a∈(1，2)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[－1，3]上的最小值为1，则该函数在区间[－1，3]上单调递减。（）参考答案：×解析：f(x)在x＝1.5时取得最小值1，但函数在[－1，1.5]上单调递减，在[1.5，3]上单调递增，故不单调递减。2.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1－a_n＝2(n－1)，则{a_n}是等差数列。（）参考答案：×解析：a_n＝n^2－n＋1，a_{n＋1}－a_n＝(n＋1)^2－(n＋1)＋1－(n^2－n＋1)＝2n，故不是等差数列。3.已知圆C的方程为(x－2)^2＋(y－3)^2＝1，则直线l：x＋y－5＝0与圆C相切。（）参考答案：×解析：圆心到直线的距离d＝√2≠1，故相离。4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间[0，π]上的图像如下（此处应有图像，假设为正弦曲线），则ω＝1，φ＝π/2。（）参考答案：√解析：ω＝1，φ＝π/2。5.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在区间[－1，3]上的最大值为2，最小值为－4。（）参考答案：√解析：f(－1)＝－4，f(0)＝2，f(2)＝－4，f(3)＝2，故最大值2，最小值－4。6.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则过点A且与直线AB垂直的直线方程为x－2y＋3＝0。（）参考答案：√解析：直线AB的斜率k＝－1，垂直直线的斜率为1，方程为x－2y＋3＝0。7.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a＝e^2。（）参考答案：×解析：f'(1)＝0得e－a＝0，即a＝e。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n^2－n＋1，则a_4＝7。（）参考答案：√解析：a_4＝S_4－S_3＝7。9.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，则直线l：3x－4y＋5＝0与圆C的位置关系为相交。（）参考答案：√解析：圆心到直线的距离d＝1＜r＝2，故相交。10.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，若f(a)＝0，则a的取值范围是(－1，0)。（）参考答案：×解析：ln(a＋1)＝a，g(x)＝ln(x＋1)－x在(1，2)上单调递减且过(1，0)，故a∈(1，2)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值4，最小值1解析：f(x)在x＝1.5时取得最小值1，在x＝－1时取得最大值4。2.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1－a_n＝2(n－1)，求a_5的值。参考答案：21解析：a_n＝n^2－n＋1，a_5＝5^2－5＋1＝21。3.已知圆C的方程为(x－2)^2＋(y－3)^2＝1，求圆心到直线l：x＋y－5＝0的距离。参考答案：√2解析：圆心(2，3)到直线的距离d＝|2＋3－5|/√2＝√2。4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间[0，π]上的图像如下（此处应有图像，假设为正弦曲线），求ω和φ的值。参考答案：ω＝1，φ＝π/2解析：ω＝1，φ＝π/2。5.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值－4解析：f(－1)＝－4，f(0)＝2，f(2)＝－4，f(3)＝2，故最大值2，最小值－4。6.已知点A(1，2)和点B(3，0)，求过点A且与直线AB垂直的直线方程。参考答案：x－2y＋3＝0解析：直线AB的斜率k＝－1，垂直直线的斜率为1，方程为x－2y＋3＝0。7.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，求a的值。参考答案：e解析：f'(1)＝0得e－a＝0，即a＝e。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n^2－n＋1，求a_4的值。参考答案：7解析：a_4＝S_4－S_3＝7。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值4，最小值1解析：f(x)在x＝1.5时取得最小值1，在x＝－1时取得最大值4。2.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1－a_n＝2(n－1)，求a_5的值。参考答案：21解析：a_n＝n^2－n＋1，a_5＝5^2－5＋1＝21。3.已知圆C的方程为(x－2)^2＋(y－3)^2＝1，求圆心到直线l：x＋y－5＝0的距离。参考答案：√2解析：圆心(2，3)到直线的距离d＝|2＋3－5|/√2＝√2。4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间[0，π]上的图像如下（此处应有图像，假设为正弦曲线），求ω和φ的值。参考答案：ω＝1，φ＝π/2解析：ω＝1，φ＝π/2。5.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值－4解析：f(－1)＝－4，f(0)＝2，f(2)＝－4，f(3)＝2，故最大值2，最小值－4。6.已知点A(1，2)和点B(3，0)，求过点A且与直线AB垂直的直线方程。参考答案：x－2y＋3＝0解析：直线AB的斜率k＝－1，垂直直线的斜率为1，方程为x－2y＋3＝0。7.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，求a的值。参考答案：e解析：f'(1)＝0得e－a＝0，即a＝e。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n^2－n＋1，求a_4的值。参考答案：7解析：a_4＝S_4－S_3＝7。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.A5.A6.C7.A8.C9.A10.C解析：2.f(x)＝ln(a＋1)－a，g(x)＝ln(x＋1)－x在(1，2)上单调递减且过(1，0)，故a∈(1，2)。3.f(x)在x＝1.5时取得最小值1，在x＝－1时取得最大值4。4.a_n＝n^2－n＋1，a_5＝21。5.圆心到直线的距离d＝√2≠1，故相离。6.ω＝1，φ＝π/2。7.f(－1)＝－4，f(0)＝2，f(2)＝－4，f(3)＝2，故最大值2，最小值－4。8.直线AB的斜率k＝－1，垂直直线的斜率为1，方程为x－2y＋3＝0。9.f'(1)＝0得e－a＝0，即a＝e。10.a_4＝S_4－S_3＝7。11.圆心到直线的距离d＝1＜r＝2，故相交。二、填空题1.42.213.√24.1，π/25.2，－46.x－2y＋3＝07.e8.79.相交10.(1，2)三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×四、简答