2026秋高三数学复习 平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题(原卷版)

平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题

专项训练

考点一平面向量的线性运算与基本定理

uuurruuurruuur

1．（2025·海南三亚·一模）已知ABCD为平行四边形，E为CD的中点，记AB=a,AD=b，则BE=（）

r1rr1r1rr1rr

A．a+bB．a-bC．-a+bD．-a-b

2222

uuur

2．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F，则AF=（）

3uuur1uuur1uuur2uuur2uuur1uuur1uuur3uuur

A．AB+ADB．AB+ADC．AB+ADD．AB+AD

44333344

uuuruuur

3．（24-25高一下·四川成都·期末）设D为VABC所在平面内一点，CD=3BD，则（）

uuur1uuur4uuuruuur3uuur1uuur

A．AD=-AB+ACB．AD=AB-AC

3322

uuur3uuur1uuuruuur4uuur1uuur

C．AD=-AB+ACD．AD=AB-AC

2233

uuuruuur

4．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且BA=4PA.若

uuuruuuruuur

OP=xOA+yOB，则（）

31211213

A．x=,y=B．x=,y=C．x=,y=D．x=,y=

44333344

uuuuruuuur

5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在VABC中，BM=2MC,N为线段AM上一点，且

uuuruuurluuur

AN=(1-l)AB+AC，则实数l的值为（）

3

3256

A．B．C．D．

4567

uuuruuruuuruuuruuur

6．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形ABCD中，已知EC=BE，DF=2FC，则FE=（）

1uuur1uuur1uuur1uuur

A．-AB+ADB．-AB-AD

3232

1uuur1uuur1uuur1uuur

C．AB+ADD．AB-AD

3232

uuurruuurruuurrr

7．（24-25高一下·云南昭通·期末）在VABC中，D为BC的中点，设AB=a,AD=b，且AC=la+mb，则

lm=．

8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在VABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F.若

uuur3uuur1uuurAC

AF=AB+AC，则的值为.

77AD

9．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在VABC中，已知AB=6，AC=8，ÐBAC=60°，AB,AC边上的两条中

线CM,BN交于点P，则BC=，cosÐMPN=．

10．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB^AD，E是CD的中点，若

uuuruuuruuur

AC=lBD+mAE，则l+m=.

考点二平面向量的数量积

rrrrrrπrr

1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量a，b满足a=4，b=2，a与b的夹角为，则a-b=（）

3

A．2B．4C．23D．25

rrrrrrrr

2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量a,b满足a=b=1，a+b=2，则a-b=（）

A．4B．2C．1D．2

3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正六边形ABCDEF边长为2，下列说法正确的是（）

uuuruuuruuuruuuruuur

A．AC-AE=BFB．|AC+AE|=4

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

C．AD×ED=AD×DED．AD在AB上的投影向量为AB

rrrrrrrrrr

4．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量a,b满足a-2b×a+b=3，且|a|=2,|b|=1，则a与b的夹角为

（）

A．30oB．60oC．120oD．150o

rrrrrrrr

5．（24-25高一下·北京大兴·期末）若向量a与b满足a-2b×b=2，且b=2，则a在b上的投影向量的模为

（）

A．2B．4C．5D．8

rrrr1rrrrrr

6．（24-25高三下·山西大同·期末）已知a，b是单位向量，且a×b=．若平面向量p满足p×a=p×b=2，则p

2

的值为（）

2243

A．B．C．3D．2

33

uuuruuur

7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知AD为VABC的高，且AD=2，则BA×AD=（）

A．-2B．2C．22D．-22

rrrπ

8．（2025·河北·模拟预测·多选）已知a=2b=2，且向量ar,b的夹角为，下列说法正确的是（）

3

rr

A．a+2b=25

rrr

B．a-4b^a

rrπ

C．向量ar-2b和a的夹角为

2

rrrr2

D．若la+2b//a-3b，则l=-

3

uuuuruuuruuuruuur

9．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知矩形ABCD中，AB=10，BC=8，BM=lBC，DN=mDC，其中

uuuur

0£l，m£1，MN=5，则（）

3uuur5uuur3uuuur

A．l+m是定值B．若m=，则AN=AD+AM

585

uuuuruuuruuuuruuur2

C．AM×AN>90D．AM+AN£521

10．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB^BC,BC=2AB=2AD=4,E为BC的

中点，则（）

uuuruuuruuuruuur

A．AE=DCB．AD×AC=8

uuuruuuruuuruuuruuur

C．DE×AC=25D．2AD-4AB^AC

uuuuruuuruuuuruuurπuuur

11．（24-25高一下·江苏盐城·期中·多选）已知OM=ON=2，OM与ON夹角为，若OP=2且

3

uuuruuuuruuur

OP=xOM+yONx³0,y³0，则下列说法正确的是（）

uuuruuur3uuuruuuruuuur

A．当y=0时，OP在ON上的投影向量为ONB．当x=y时，OP×MN=0

2

113-1uuuuruuur

C．当x=时，y=D．PM×PN的最大值为0

24

rrrrrr

12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知向量a与b方向相同，a=(2,-6)，|b|=2，则|2a-b|=.

rrrrrrrrrr

13．（2025·四川巴中·三模）非零向量a，b满足：|a-b|=|a|，a×(a-b)=0，则ar-b与b夹角的余弦值为.

rrrr2πrrr

14．（2025·广西柳州·模拟预测）已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角q=，则(a+b)×b=.

3

rrrrrrrr

15．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量a，b满足|a|=3,|b|£2，且|3a-2b|£11，则向量a在向量b方向上

的投影的最小值为．

rrrrrrrr

16．（2024·上海·三模）已知向量a、b满足a=1，b=2，a+b=5，则a,b=．

rrrr

17．（24-25高一下·上海·期中）已知a=3,b=4,a-b=13

rr

(1)求a与b的夹角大小；

rr

(2)求a在b上的数量投影.

rrr

18．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知a，b是单位向量，且ar×b=0．

rrrrr

(1)若非零向量cr满足a-c×b-c=0，求c的最大值；

rrrr

(2)若向量cr满足c-a-b=1，求c的取值范围．

19．（24-25高一下·新疆喀什·期末）回答下列问题

rrrrrr

(1)已知平面向量a、b的夹角为60°，且a为单位向量，b=1,3，求a+b

rrrrrrrr

(2)已知向量a、b，满足a+2b=27，a=2，b=3，求向量a与b的夹角.

rrrrrrπ

20．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量a，b满足：a=3，b=4，a与b的夹角为.

6

rr

(1)求a×b；

urrrrrrurr

(2)设平面向量m=3a-b，n=a+kb，若m，n的夹角为锐角，求实数k的取值范围.

考点三平面向量的坐标运算

rrrrr

1．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知向量a=x，2，b=11，，若b^a-3b，则x=（）

A．2B．-2C．4D．-4

uuuruuur

2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点A1,0,B0,1,C2,3，则向量AB在AC上的投影向量为（）

æ26öæ13öæ13ö

A．ç,÷B．2,6C．ç,÷D．ç,÷

è1010øè1010øè55ø

rrrr

3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）a=1,1，b=-1,2，则a在b上的投影向量是（）

æ12öæ12öæ21öæ21ö

A．ç,÷B．ç-,÷C．ç,÷D．ç,-÷

è55øè55øè55øè55ø

rrrrrr

4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量a=2,1,b=1,-1，若a+b=a-mb，则m=（）

A．2B．-1C．2或-1D．3

rr

5．（24-25高三下·辽宁·期中·多选）已知向量a=1,3，b=-2,1，则（）

rrrrrrrrr2

A．a×b=1B．|a|=|b|2+4C．a+b//bD．cosa,b=

10

rrrrrr

6．（2025·吉林·模拟预测·多选）已知向量a=cosq,3，b=1,sinq，若a+b=a-b，则q可能为（）

π2π5π11π

A．-B．C．D．

6366

rr

7．（2025·陕西汉中·一模·多选）已知向量a=(1,2)，b=(1,-1)，则（）

rr

A．a+2b=(3,1)

r

B．a=5

rr10

C．cosa,b>=

10

rr11

D．a在b方向上的投影向量坐标是(-,)

22

r

8．（2025·江西·模拟预测·多选）已知向量ar=(2,3),b=(-4,m)，则（）

r8

A．若ar^b，则m=

3

rr

B．若m=1，则a-b=215

rrr

C．若a+b∥b，则m=6

rræ21ö

D．若m=2，则a在b方向上的投影向量的坐标为ç,-÷

è55ø

rrrrrrr

9．（2025·北京西城·一模）设平面向量a=-1,1，b=-2,1，c=x,y，且c=5，则使得向量b-c与a共线的一

组值x=，y=．

rrrrrr

10．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知向量a=3,m,b=2,m+1，若a//b，则a-2b=.

r

rrrrrbr

11．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量a=(2,2)，向量b满足(b-a)^a，则在a上的投影向量的坐标

2

为.

rrrrrr

12．（2025·河北衡水·三模）已知向量a=1,1，b=1,-1，若a+lb^a+mb且l>0，则l-m的最小值

为.

13．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知点A(1,1),B(5,3)，O为坐标原点，M为x轴上一动点.

uuuuruuuur

(1)AM^BM，求点M的坐标；

uuuuruuuuruuuuruuuur

(2)当AM×BM取最小值时，求向量AM与BM的夹角的余弦值.

rr

14．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）已知a=(1,1)，b=(0,-2)．

rr

(1)若kar-b与ar+2b共线，求k的值．

rr

(2)若3ar-kb与3ar+b的夹角为90°，求k的值．

rr

(3)求向量a在向量b上投影向量．

rr

15．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量a=1,4,b=2,3.

r

(1)求ar+2b的坐标；

r

(2)求a；

rr

(3)若r=lr-bca，且b^cr，求实数l的值.

16．（24-25高一下·湖南·期末）设0apb2p，向量

rr

ar=1,-2，b=2cosa,sina，cr=sinb,2cosb，d=cosb,-2sinb.

r

(1)若ar^b，求a;

(2)若∣cr+ar∣=3，求sinb+cosb的值;

rr

(3)若tanatanb=4，求证：b//c.

考点四平面向量的新定义问题

rr

12025··

．（河南新乡二模）已知a=x1,y1，b=x2,y2都是非零向量，定义新运算

rr22rrrr

aeb=x1x2+x1y1y2+x1x2+y1x2y2，则“aeb=0”是“a^b”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

uuuruuur

2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量AB=x,y，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转q角得

uuur

到向量AP=xcosq-ysinq,xsinq+ycosq，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转q角得到点P.已知平面内点

π

A1,2，B1+2,2-22，把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P，则P的坐标为（）

4

A．0,-1B．2,5C．4,1D．3,-1

uruur

324-25··°xy

．（高一下江苏阶段练习）如图，设Ox,Oy是平面内相交成60角的两条数轴，e1，e2分别是与轴、轴

uuururuuruuur

(x,y)

正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对叫作向量OP在坐标系xOy中的坐标.若

uuuuruuuruuuur

OM=(1,2),ON=(4,5)，则|MN|=（）

A．5-5B．3C．33D．6

4．（24-25高二上·山西晋城·期中·多选）“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向

rrrr

量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量a与b的外积a´b是一个向量，其长度等于

rrrrrrrrrrrrrrrr

a´b=absina,b，其方向满足a^a´b，b^a´b，a，b，a´b且三个向量构成右手系（如图）．在棱长

为2的正四面体ABCD中，O为△BCD的中心，下列结论正确的有（）

1uuuruuuruuuruuuruuuruuur

A．S=AB´ACB．AB´AC=AD´AC

VABC2

uuuruuuruuuruuuruuuruuur32uuur

C．AB´AC=AC´ABD．BC´BD=-AO

2

uruur

524-25···

．（高一下浙江杭州阶段练习多选）已知单位向量,ee21的夹角为q(qπ)0，若平面向量

uruur

rRr

a=xe1+ye2x,yÎ，有序实数对x,y称为向量a在“仿射”坐标系xOy（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记

r

a=(x,y)q，则下列命题正确的是（）

rr

．已知ar=x,y,b=x,y，则ar+b=x+x,y+y

A11q22q1212q

uuuruuur

OA=(1,0),OB=(0,1)

B．已知ππ，则线段AB的长度为1

33

r

ar=(2,-1),b=(1,2)rr33

C．已知ππ，则a×b=

332

ar=(x,y),ar=123

D．已知π，则x+y的最大值为

33

r

6．（2025·四川成都·三模·多选）对于空间中一组向量ai(i=1,2,3)，若存在不全为零的实数ki(i=1,2,3)使得

rrrr

k1a1+k2a2+k3a3=0，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（）

rrrrrr

A．若a=(-1,1,1)，b=(-2,2,2)，c=(3,1,-4)，则a，b，c线性相关

rrrrrr

B．若a=(-1,1,1)，b=(1,2,3)，c=(2,3,4)，则a，b，c线性无关

rrrrrrrrr

C．若a1，a2，a3线性无关，则a1-a2，2a1-3a2，a3-a1线性相关

rrryr2rrrrrrr

D．对于非零向量a1，a2，a3，若存在实数x，使得a1=xa1×a2+ya1×a3，则a1，a2，a3线性相关

rr

7．（24-25高三上·湖北·期中）定义：已知平面向量a，b表示夹角为120o的两个单位向量，O为平面上的一个定

uuurrr

点，A为平面上任意一点，当OA=xa+yb时，定义x,y为点A的斜坐标.设点B的斜坐标为3,-7，则

uuur

OB=.

8．（24-25高三上·上海·期中）我们称n（n为正整数）元有序实数组x1,x2,¼,xn为n维向量，x1+x2+¼+xn

rr

为该向量的范数.已知n维向量a=x1,x2,¼,xn，其中xiÎ-1,0,1i=1,2,¼,n，记范数为奇数的a的个数为An，

则A10=

rr

92025··rr、、

．（上海松江二模）设向量a=x1,y1,b=x2,y2，记aåb=x1x2-y1y2.若点A1A2A3为圆C：

22uuuruuuuruuuuruuur

x+y+4x-2y=0上任意三点，且满足A1A2^A2A3，则OA1åOA2+OA2åOA3的取值范围是.

10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在VABC中，ÐABC=90°，AB=23，BC=2，

uuuuruuuruuuruuuruuuruuuur

AM=xAB(0x1)，AN=yAC(0y1)，设CM与BN交于点P，且CP=2PM．

(1)求2xy-3y的值；

rarsinq

rrr

(2)定义平面非零向量之间的一种运算“Å”：aÅb=r（其中q是两非零向量a和b的夹角）．

b

uuuruuur

（ⅰ）若M为AB的中点，求PBÅPC的值；

uuuruuur3

（ⅱ）若APÅBC=，求x+y的值．

2

11．（24-25高一下·广东汕尾·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把

Crr

有序复数对(z1,z2)（z1,z2Î）看作一个向量，记作a=(z1,z2)，称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对

rrCrr

于a=(z1,z2)，b=(z3,z4)（z1,z2,z3,z4Î），我们定义复向量运算法则：加法：a+b=(z1-z3,z2-z4)；减

rrrC①rrr②rr

法：a-b=(z1+z3,z2+z4)；数乘：kÄa=(kz1,kz2)(kÎ)；数量积：a×b=z1z3+z2z4；模：a=a×a.

rr③rrrr④⑤

(1)设a=(1,2-i)，b=(1+i,2i)，求a×b和a+b；

rrrr

(2)验证复向量结合律：kÄ(a+b)=kÄa+kÄb是否成立；

rrrrrrrr

(3)设a=(2+2i,2i)，集合Ω=pp=(z,z+2i),zÎC，bÎW，求a+b的最小值；并证明当a+b取最小值时，对

rrrrr

于任意的cÎW，(a+b)×(b+c)=0.

urræπö

12．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）设平面内两个非零向量m,n的夹角为qçq¹÷，定义一种新运算“Ä”：

è2ø

urrurr

mÄn=mntanq.

r