2026秋高三数学复习 数列：数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题(原卷版)

数列：数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题专项训练

考点目录

数列递推问题数列新定义问题

数列插项问题

考点一数列递推问题

1．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，且anSn+1=anSn+1-1，则S2025=

（）

2025

A．1012B．2024C．D．2025

2

2．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知数列an的首项a1=1，且满足an+1=2an+n-1，则a11=（）

A．2037B．2047C．1014D．1021

n+1

324-25··æö

．（高二上湖北孝感阶段练习）数列an满足：a1=1，an+1=an+log2ç÷，则a8=（）

ènø

A．22B．3C．4D．42

4．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知数列an满足a1=-5,nan+1-n+1an=nn+1，则an中的项小于0的有

（）

A．0项B．5项C．6项D．无数项

52025··nN*

．（四川绵阳模拟预测）已知数列an满足a1=1，an+1=an+n+2nÎ，则an等于（）

nn-1nn-1

A．+2n-1-1B．+2n-1

22

nn+1nn-1

C．+2n+1-1D．+2n+1-1

22

ì1ü

624-25··22ïï

．（高三上云南大理开学考试）在数列an中，a1=2，且an+1-an=2an+1-2an+n+1，则数列í2ý

îïan-1þï

的前2025项和为（）

2025202520262025

A．B．C．D．

2026101320251012

12

7．（24-25高二下·河南焦作·期末·多选）已知数列an中，a1=2，a=a+a，则（）

n+12nn

*

A．an是递增数列B．$nÎN，an+1<an+2

ì1ü11

C．"nÎN*，loga³2n-1+1D．数列íý的前n项和为-

2n+12a

îan+2þn+1

8．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）已知数列an各项均为正数，其前n项和Sn满足an×Sn=2n=1,2,×××．则下列

结论正确的有（）

2an-1

A．an的第2项小于2B．an=2n³2

2-an-1

1

C．a为递减数列D．a中存在小于的项．

nn1024

tan-11

9．（25-26高三上·贵州·开学考试·多选）已知数列an满足an+1=2,a1=，其中t¹0，则（）

tan+3tt

ìtü

A．a2=tB．íý为等差数列

îtan+1þ

ì4ü

n2

C．数列íý的前项和为n+nD．数列tan+1的前99项和大于182

îtan+1þ

1025-26··N

．（高三上云南临沧开学考试）已知数列an满足a1=2，n+1ann1×=-an-1n³2,nÎ，则数列

an的通项公式为．

112025··222

．（浙江宁波模拟预测）数列an是正项数列，若a2=16，且3an-5anan-1-2an-1=0，n³2，则

log4a6=．

1225-26··nN*

．（高三上四川成都开学考试）数列an满足an+1=-1an+nnÎ，则an的前100项和为．

1324-25··2

．（高二下浙江杭州期末）数列an满足an+1=an+4an+2,a1=8．

(1)证明数列an是单调递增数列；

(2)若ap,ap+1,ap+2是an中连续的三项，证明：ap,ap+1,ap+2不可能成等比数列；

*

(3)证明：不存在正的常数M，使an<M对所有的nÎN成立．

1425-26··

．（高三上广东开学考试）在正项数列an中，a1=9，且an+1-3an+1=an+3an．

(1)求an的通项公式；

1

b=

(2)若数列bn满足n，求bn的前n项和Sn．

an×an+1

1525-26··22

．（高二上甘肃张掖阶段练习）在正项数列an中，a1=1，且an+1-2an+1=an+2an.

(1)求an的通项公式；

1

(2)若数列bn满足bn=，求bn的前n项和Sn.

an×an+1

1624-25··n

．（高二上福建莆田阶段练习）已知数列an满足a1=1，且an+1=3an+3nÎN．

(1)求a2,a3的值；

ìanü

(2)求证：数列íý是等差数列，并求出数列an的通项公式；

î3nþ

(3)求数列an的前n项和Sn．

n+1an

17．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列a中，a=2，a=2a+3´2，令bn=

n1n+1n2n

(1)求数列bn的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn．

1825-26··22

．（高三上安徽开学考试）已知各项均为正数的数列an满足a1=1，an+1-an+1=an+an．

(1)求数列an的通项公式；

an

(2)记b=，求数列b的前n项和Tn．

n3nn

考点二数列新定义问题

1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指

逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，a2-a1=2，a3-a2=3，

a4-a3=4，a5-a4=5，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数

列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（）

A．38B．51C．66D．83

2．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该

数列的一次“美好成长”.将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4；第二次得到数列1,4,4,16,4；L，设第

n次“美好成长”后得到的数列为1,x1,x2,×L,xk,4，记an=log41×x1×x2×L×xk×4，则下列说法错误的是（）

n

A．a2=5B．k=2-1

3n+1

C．an+1=2an+1D．数列an的通项公式为a=

n2

*

3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意nÎN，都有an+an+1=c（c为常数），称数列an为“等和”数列.

2025

a

设“等和”数列an的首项为1，直线kx-(y+k)+2=0kÎR过定点P(a1,a2)，则an=（）

n=1

A．2025B．2562C．3036D．3037

4．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数n，数列an的前n项和Sn都是完全平方数，则称数列an为“完全平

n2

方数列”.有如下两个命题：若数列bn的前项和Tn=n-t，（t为正整数），则使得数列bn为“完全平方数

列”的t值有且仅有一个；①存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.则下列选项中正确的是（）

A．是真命题，②是真命题；B．是真命题，是假命题；

C．①是假命题，②是真命题；D．①是假命题，②是假命题.

ì1

①②①ï,0<x£1,②

5．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数fx=íx，数列an满足a1=mm>0，an+1=fan.

îïx-1,x>1.

给出下列四个结论，其中正确的是（）

A．若a3=5，则m有4个不同的可能取值

N*

B．若an+5=annÎ，则m=2-3

N*

C．对于任意m>2，存在正整数T，使得an+T=annÎ

N*

D．对于任意大于2的正整数T，存在m>1，使得an+T=annÎ

6．（2025·上海·三模）设数列an的各项均为非零的整数，其前n项和为Sn．设i,j为正整数，若j-i为正偶数

时，都有aj³2ai恒成立，且S2=0，则S10的最小值为（）

A．0B．22C．26D．31

7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M：

第1行123……789

第2行101112……979899

第3行100101102……997998999

第4行100010011002……999799989999

…………

将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其

余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第n行正整数的个数为bn，则以下说法正确的有（）

A．b2=89

B．bn+1=10bn-bn-1n³2

b526b

C．n+1-+n是等差数列

n

D．将数列3n+1与数列2的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列an，则a2位于数阵M中的第2行第

7个位置（从左向右数）

8．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列an的通项公式为an=n，其项数不少于4项，从an中选取

m3£m£n项组成数列bm，数列bm满足"iÎ1,2,L,m-2，bi+2-bibi+2-bi+1<0，则（）

A．数列bm是单调数列B．当n=m=7时，b7=4

m

C．当m=12时，b12-b1³6D．数列bm的个数为2Cn

m

925-26···

．（高三上辽宁开学考试多选）设数列an和bn的项数均为m，称ai-bi为数列an和bn的距

i=1

1+an

离．记满足an+1=的所有数列an构成的集合为C．已知数列An和Bn为集合C中的两个元素，项数均为

1-an

m，则下列说法正确的是（）

A．数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4

*

B．若m=4ppÎN，则A1A2...Am=B1B2...Bm

m

*∣∣

C．若m=4ppÎN,则Ai£m

i=1

D．若A1=2,B1=3,数列An和Bn的距离不超过2025，则m的最大值为3470

10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）若数列an的相邻两项或几项之间的关系由函数fx确定，则称fx为

an的递归函数；gx=x为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如1.2=1，-1.3=-2；设an的递归

5n3a

22T=1

函数为fx=-x+x，an+1=fan+5an+an，且a1=，an的前n项和记为Sn，若n，则

3i=1Si-a1+1

2024

gTi为．

i=1

*

11．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）数列an为无穷非负整数数列，若对任意kÎN，均存在

*i<i<<ia+a+a=ka

i1,i2,L,imÎN，且12Lm，使ii2Lim，则称数列n为“完备数列”.给出下列四个结论：

若正项等差数列an为“完备数列”，则首项一定为1；

①

若正项等比数列an为“完备数列”，则公比一定为2；

②*

若an满足an+2=an+1-an，则对任意a1,a2ÎN，数列an均为“完备数列”；

③*

若an满足an+2=an+1+an"nÎN,a1=a2=1，则数列an为“完备数列”；

其中正确结论的序号是④.

1224-25··an

．（高二下北京丰台期末）已知数列an满足a1=m(m>0),an+1=lne-1+kan，给出下列四个结论：

当k=0时，对任意的m>0，都有a2<a1；

①1

当k=时，对任意的m>0，都有a<0；

22

②

当k=1时，存在m>0，使数列an是常数列；

③

当k=2时，存在m>0，使数列an是递减数列．

其中所有正确结论的序号是④．

3

1n+1n3

13．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列a中，a=，且．

n1n+1-n=1

22an+12an

(1)求an的通项公式．

na

(2)证明：i<2．

i=1i

(3)若数列bn中存在两项bp，bqp<q，使得bp=bq，则称p,q为数列bn的等项数对．证明：an的等项数

对唯一．

14．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知an是mm³4项正整数数列，令

Tk=r1a1+r2a2+L+rkakk=1,2,L,m，其中rkÎ-1,1.若对任意的rn,T1,T2,L,Tm中均无相同的项，则称数列an

为“和差单值”数列.

(1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列.

k1k2km

(2)已知an:2,2,L,2，其中k1,k2,L,km为两两不同的正整数，问：an是否为“和差单值”数列？请说明理

由．

m-1

(3)证明：若a的最大值不超过，则a一定不是“和差单值数列”.

n2n

152025··2

．（河北衡水模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若数列an满足SnSn+2<×Sn+1，则称数列an是

“方特数列”.

(1)证明：数列n是“方特数列”；

n-1q

(2)若数列a1qa1¹0是“方特数列”，求的取值范围；

(3)证明：当q>0时，数列nqn-1是“方特数列”.

16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知数列an的前n项和为Sn，若存在常数l(l>0)，使得lan³Sn+1对任意

*

nÎN都成立，则称数列an具有性质M(l)．

(1)若数列an的通项公式an=-2n+1，求证：数列an具有性质M(3)；

(2)设数列an的各项均为正数，且an具有性质M(l)．

qq

若数列an是公比为的等比数列，且l=4，求的值：

①求l的最小值．

②

1725-26··q1

．（高三上江苏阶段练习）将项数n…4，公比¹的等比数列an中的项重新随机排列，得到新数列

bn.若在数列bn中任意抽取连续三项，总有某一项为另外两项的等比中项，则称bn为“差续数列”.

(1)当n=4时，写出所有“差续数列”bn（用an中的项表示）；

(2)若b1=a1,b2=a3，证明：当n=3mm…2时，必定存在“差续数列”bn；

bk+11

(3)若bn是“差续数列”，证明：存在正整数k，使得=q或.

bkq

18．（25-26高三上·北京·开学考试）已知n为给定的正整数，n³3．数列A:a1,a2,×××,an，B:b1,b2,×××,bn，若对于任

N*

意的1£r<s£n，r,sÎ，都有ar-asbr-bs<0，则称A,B互为逆序数列．

(1)已知A:2,5,3，分别判断下面数列是否为A的逆序数列，并说明理由．

B:4,2,6；C:9,3,8．

①②

(2)若n=10，数列A为等差数列，其前k项和为Sk，k=1,2,×××,10，a1=2．数列S:S1,S2,×××,S10与数列A互为逆序

数列，求数列A的公差d的取值范围；

(3)对于固定的正整数n³3，"k=1,2,3,×××,n，总有akÎ1,2,3,×××,n，bkÎ0,1,2,×××,n，且数列A,B互为逆序数

n

列，求ak-bk的最大值．

k=1

考点三数列插项问题

1．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）在-3与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之

和为（）

A．21B．24C．27D．30

2．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该

数列的一次“美好成长”.将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4；第二次得到数列1,4,4,16,4；L，设第

n次“美好成长”后得到的数列为1,x1,x2,×L,xk,4，记an=log41×x1×x2×L×xk×4，则下列说法错误的是（）

n

A．a2=5B．k=2-1

3n+1

C．an+1=2an+1D．数列an的通项公式为a=

n2

k-1

3．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知an=3n-1，在数列an的每相邻两项ak与ak+1k=1,2,L之间插入2个

1，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn，记新数列bn的前n项和为Sn，则S100=（）

A．150B．151C．170D．171

4．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数

记为nnÎN*.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，

35N*

3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第nnÎ次得到的数列的所有项之和为Tn，则T8=

22

（）

A．510B．514C．1022D．1026

5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习·多选）已知等差数列an的首项a1=16，公差d=-4，在an中每相邻两项

之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn，Sn是数列bn的前n项和.以下说法正

确的是（）

A．bn=17-nB．b29是数列an的第8项

ìSnü

C．当n=17时，Sn最大D．íý是公差为-1的等差数列

înþ

6．（24-25高二上·湖南·期末·多选）已知等差数列an的首项a1=2，公差d=8，在an中每相邻两项之间都插入

k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn，以下说法正确的有（）

A．an=8n-6

B．当k=3时，bn=2n

C．当k=3时，b29是数列an中的项

D．若b9是数列an的项，则k的值不可能为7

7．（23-24高三上·山东青岛·期末）某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，

形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，

3，2；第2次得到数列1,4,3,5,2；...第n次得到数列1,x1,x2,x3,¼,xk,2；记an=1+x1+x2+L+xk+2，则

a2024

a3=；=.

1-a2023

8．（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加

快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学

生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派

遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：

把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为an，在数列an的任意相邻两项ak与k+1ka=1,2,L之间插入

k

2个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn.按新数列bn的各项依次派遣支教学生.记S70为派遣70批学

生后支教学生的总数，则S71的值为.

an1

9．（2025·湖南常德·模拟预测）记S为数列a的前n项和，Sn=+.

nn24

(1)求数列an的通项公式；

ì1ü

(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差dn为的等差数列，求数列íý的前2025项和.