2026秋高三数学复习 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和(原卷版)

数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练

考点目录

裂项相消法错位相减法

倒序相加法分组与并项求和

考点一裂项相消法

ì1ü

1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记等差数列an的前n项和为Sn，且S2=2，S6=12，记Tn为íý的前n项

îSnþ

和，则T8=（）

911614232

A．B．C．D．

54555

2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知数列an满足：a1=1,a2=3,an+2+an=2an+1+1，数列bn满足

2an×bn=1，则数列bn的前50项的和为（）

50150

A．B．C．D．50

5150101

ì1ü

324-25··22ïï

．（高三上云南大理开学考试）在数列an中，a1=2，且an+1-an=2an+1-2an+n+1，则数列í2ý

îïan-1þï

的前2025项和为（）

2025202520262025

A．B．C．D．

2026101320251012

424-25···n-1n

．（高二下四川成都阶段练习多选）已知数列an满足a1+2a2+L+2an=n×2，数列an的前n项和

为Sn，则（）

A．a5=6B．数列an是等比数列

ì1ü50

C．S4，S8，S12构成等差数列D．数列íý前200项和为

îan×an+1þ101

5．（24-25高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列an的前n项和为Sn，a2=4，S7=42，则下列说法正确

的是（）．

A．a6=7B．an+n为递增数列

125ì1ü5

C．Sn=n+nD．íý的前4项和为

22îanan+1þ21

1o1o

6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列a的前项和为S，若æöæö，则S=

nnnan=cosçn-÷sinç÷90.

è2øè2ø

ìü

ïï

2ï2ï

7．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数fx=x+3x，数列an的前n项和为fn，记数列íý的

ïænöï

anf¢ç÷

îïè2øþï

11

前n项和为T，则使得T>成立的n的最小值为．

nn36

ì1ü

82025··n-1n

．（四川广安模拟预测）已知数列an满足a1+2a2+×××+2an=n×2，且数列íý的前n项和为Sn，

îan×an+1þ

则S20=.

925-26··22

．（高二上甘肃张掖阶段练习）在正项数列an中，a1=1，且an+1-2an+1=an+2an.

(1)求an的通项公式；

1

(2)若数列bn满足bn=，求bn的前n项和Sn.

an×an+1

10．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn,a3=8,2Sn=nan+1-1.

ìa+1ü

(1)证明：íný是常数列；

înþ

1

(2)设bn=，求数列bn的前n项和.

3Sn-1

11．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知正项数列an满足a1=1，an+1-an=2n+1.

(1)求an的通项公式；

ìü

ïan+2-an+1ï

(2)求íý的前n项和Sn.

îïan+1an+2þï

12．（25-26高三上·山东·开学考试）若等比数列an的各项均大于1，其前n项和为Sn，且a2=4，S3=14，

(1)求数列an的通项公式；

nì1ü

nT

(2)设bn=ålog2ak，求数列íý的前项和n.

k=1îbnþ

1

13．（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列a的前n项和为S，满足a=，n2a=S．

nn12nn

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)若b=a，且数列b的前n项和为Tn，求证：T<．

nn+1nn2

14．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知等差数列an的公差d>0，前n项和为Sn，且S5=15,a1,a3,a9成等

比数列.

(1)求数列an的通项公式；

111*

(2)证明：++L+<2nÎN.

S1S2Sn

考点二错位相减法

12100

124-25··æö

．（高二下江西阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=ç-÷Sn，则åSi=（）

è3n3øi=1

3203919792039203

A．-B．-C．-D．-

22´310044´39944´39944´3100

1111

2．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）19´+17´+15´+L+1´=（）

22223210

3333

A．18+B．17+C．18+D．17+

211211210210

a2

*n+1

3．（24-25高二下·四川达州·期中）在数列{an}中，若a1=2，且对任意nÎN有=2+，则数列{an}的前30

ann

项和为（）

A．30´231+2B．31´231+2

C．29´230+2D．29´231+2

n

4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列an的通项公式为a=，则数列an的前n项和Sn=（）

n2n

2n-n-12n+1-n-22n-n+12n+1-n+2

A．B．C．D．

2n2n2n2n

5．（24-25高二上·山东烟台·期末·多选）已知数列an的前n项和为Sn，且满足

n2+n

n-1N*，则（）

a1+2a2+L+2an=nÎ

2

n+1

A．a=1B．a=

1n2n

n+2

C．a为递减数列D．S=4-

nn2n-1

6．（25-26高三上·四川内江·开学考试·多选）记Sn为数列an的前n项和，Sn=2an+1，则（）

A．a1=-1B．an<an+1

1n

C．数列{}为等比数列D．数列{}的前n项和为Tn，则Tn>-4

anan

7．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若1´2+2´22+3´23+L+99´299=A´2100+B，则A+B=．

8．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，且点an,Sn总在直线y=2x-1上，则数列

n×an的前9项和T9=.

a

9．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知数列a,a=16,a=4a+3×4n，n³2．令b=n，

n1nn-1n4n

(1)证明数列bn是等差数列，并求出通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn．

1025-26··n

．（高三上安徽蚌埠开学考试）已知数列an满足a1=3,an+1=an+2+1．

(1)求数列an的通项公式；

2

(2)若bn=2n-1an-2n+n，求数列bn的前n项和Sn．

11．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知数列an为等差数列，且a4=7,a7=13．

(1)求an的通项公式；

1232nn-1*

(2)设bn=Cn+Cn´2+Cn´2+L+Cn´2,nÎN，且cn=an2bn+1，求数列cn的前n项和Sn．

12．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知an是公差不为零的等差数列，满足a1=1，且a1,a2,a7成等比数列．

(1)求an的通项公式；

n-1

(2)设bn=an+3×2，求数列bn的前n项和Tn．

13．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知an与bn均为等差数列，且an-bn=2,a1=b2=3．

(1)求an与bn的通项公式；

ìæa-1öbn-1ü

n2n

(2)求数列íç÷×2ý的前项和Sn．

îè2øþ

14．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）在等比数列an中，a1=1，a1¹a2，且3a2,2a3,a4成等差数列．

(1)求an的通项公式；

n

(2)若bn=，求bn的前n项和Sn．

an

na1

15．（25-26高三上·广东广州·开学考试）设数列a满足a=3,a=n+

n1n+1n+1n+1

(1)证明：nan为等差数列并求an；

2m

(2)设fx=a1x+a2x+L+amx，求f¢x．

(3)求f¢-3

16．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列an满足a1=1，a2=3，且对任意正整数n³3有an=3an-1-2an-2，

数列bn满足b1=1，bn=an-an-1n³2

(1)证明：数列bn是等比数列；

2n-1

(2)设cn=，数列cn的前n项和Sn；

bn

求Sn；

①nn

若不等式-1l<S+对任意的正整数n恒成立，求实数l的取值范围．

n2n-2

②

考点三倒序相加法

3

1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知函数fx=．

9x+3

æ11ö

(1)求证：函数fx的图象关于点ç,÷对称；

è22ø

(2)求S=f-2022+f-2021+L+f0+L+f2022+f2023的值．

1

2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数fx=，数列a是正项等比数列，且a10=1，

x+1n

æ1ö

(1)计算fx+fç÷的值；

èxø

(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求fa1+fa2+fa3+×××+fa18+fa19的值.

1

3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）记S为数列a的前n项和，已知：a=1，Sa-Sa=aa

nn1n+1nnn+12n+1n

（nÎN*）．

ìSnü

(1)求证：数列íý是等差数列，并求数列an的通项公式；

îanþ

012n

(2)求和：a1Cn+a2Cn+a3Cn+×××+an+1Cn．

aaa

424-25··12nN*b

．（高二下湖南益阳阶段练习）已知数列an满足+2+L+n=nnÎ，数列n满足

222

1

bn=50．

an+2

(1)求数列an的通项公式；

ìnü

(2)求数列íý的前n项和Sn；

îanþ

(3)求数列bn的前99项的和T99的值．

考点四分组与并项求和

ì2n-1,n为奇数

124-25··

．（高二下四川眉山期末）已知数列{an}的通项公式为an=ín，则数列{an}的前n项和S10=

î2,n为偶数

（）

A．107B．1409C．1414D．112

ì2,n=110

225-26··

．（高三上广东深圳开学考试）已知数列{an}满足an=í，则åak=（）

î2n-1,n³2k=1

A．100B．101C．102D．103

1

3．（24-25高二下·湖北·期末）已知数列a的前n项和是S，且满足a=3,a=8a,a=a,kÎN*，则

nn12k2k-12k+122k

S2025=（）

A．42025-1B．3´22025-3

C．3´41013-9D．5´41012-2

nn+15

4．（24-25高二下·广西崇左·期末）若数列a满足a+=2a+，a=，a的前n项和为S，则S

nn+12n-1n2n+112nn100

的整数部分为（）

A．2101-1B．2101C．2101+1D．2100+1

ìn+1

ïan+3,

5．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列an满足，a1=0，an+1=í，设bn=a2n，记数列

为偶数

îï3an,n

an的前2n项和为S2n，数列bn的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（）

n

A．a3=9B．bn=n×3

n+1

n-1×3+6n+1

C．T=D．S2n=n-1×3+3

n2

ì1*

ï,n=2k-1,kÎN

ï2n-1

6．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列an=ín-1则下列说法错误的是（）

ïæ1ö*

ç-÷,n=2k,kÎN

îïè2ø

A．数列a2n-1为等差数列B．an是单调递减数列

ì1ü

C．数列íý的前20项和为-698860D．若amam+1=am+2，则m=2

îanþ

7．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，

ìa+2,n=2k-1,kÎN*

a=n，则满足2025£S£3000的正整数m的所有取值集合为.

n+2íN*m

î2an,n=2k,kÎ

ì2an,n为奇数

8．（24-25高三上·天津·期中）已知数列a满足an+1=í，a1=0，则a8=；设数列a的前

n为偶数n

îan+2,n

n项和为Sn，则S2024=．（第二个空结果用指数幂表示）

9．（24-25高二下·江西上饶·期中）已知an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，a1=1，且S3+a3，

S5+a5，S4+a4成等差数列.

(1)求数列an的通项公式；

ìan,n=2k-1

ïN*

(2)设bn=í3n+5an,nÎ，求数列bn的前2n项和T2n.

ï,n=2k

în-1n+1

ìSnü

10．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）记Sn是数列an的前n项和，a1=1，S3=6，且数列íý是等差数列．

înþ

(1)求an的通项公式；

ìa,n为奇数,

ïn