2026秋高三数学复习 空间向量与立体几何：最值与范围问题、交线、截面与轨迹问题、立体几何新定义问题(原卷版)

空间向量与立体几何：最值与范围问题、交线截面与轨迹问题、立体几何新定义问题

专项训练

考点目录

最值与范围问题交线、截面与轨迹问题

立体几何新定义问题

考点一最值与范围问题

uuuruuur

1．（2025·河北·模拟预测）正四棱锥P-ABCD底面边长与侧棱长均为2,O为空间任一点，且满足OA×OB=0，则

线段OP长度的取值范围为（）

éùéù

A．ë2,2+1ûB．ë3,3+1û

éùéù

C．ë3-1,3+1ûD．ë2-1,2+1û

2．（24-25高二上·河南周口·期末）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2,P为棱BB1上的动点（不包含端

点），则AC1与D1P所成角的余弦值的取值范围为（）

æ1öæ2öæ1öæ4ö

A．ç0,÷B．ç0,÷C．ç0,÷D．ç0,÷

è2øè3øè4øè9ø

3．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，且ÐBAA1=ÐDAA1=60°，

AB^AD，若A1C=3，则棱AA1的最大值为（）

A．2B．22C．3D．32

r

4．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面a的一个法向量为a=x,1,2-x，直线l的一个方向向量为

r

b=0,11,0，则直线l与平面a所成角的正弦值的最大值为．

5．（24-25高二下·上海·期中）如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P为线段D1E

上一动点，则异面直线C1P与AD所成角的余弦值最大值为．

6．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，动点P在平面ABCD内且满足

uuur2uuur2uuur2uuur2

PA+PB+PC+PD=12，则直线AP与SC所成角的余弦值的取值范围为．

7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB^AC，AA1=2AB=2AC，

uuuruuur

BP=lBB1.

1

(1)当l=时，证明：平面PAC^平面PAC；

21

(2)当lÎ0,1，记平面PAC与平面BAC，平面ABB1A1，平面ACC1A1，平面BCC1B1所成的角分别为1，2，

3，4，=1+2+3+4，求cos的取值范围.

8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在VABC中，AB=AC，O为BC边的中点，点D，E分别在AB，AC上，将

△ACO绕直线AO旋转α到VAON的位置，点E对应点M，DE交AO于点F，点P在线段NC上，连接EP，

uuur1uuuruuuruuur

FP，MO．已知aÎ0,π，DE=BC，PC=2NP．

3

(1)证明：EP//平面AON；

(2)若AO=BC，求OM与平面EFP所成角的正弦值的取值范围．

9．（2025·甘肃白银·三模）已知四边形MBEA为矩形，四边形AECD为直角梯形，AE^AD,AD∥

EC,MA=AD=3,EC=6，二面角B-AE-C的大小为．

π

(1)若=,P为CD的中点．

3

求点P到平面MBEA的距离；

①若AE=3，求平面BEP与平面BAD夹角的余弦值．

π

(2)②若=,AE=3，点N为线段EC的中点，将VDCN沿DN折起，使得VDCN与四边形MBEA在平面AEND的同

2

1

侧，且平面DCN∥平面MBEA，点F为四面体MECD的内切球球面上的一动点，求FD+FC的最小值．

3

10．（24-25高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BD、CC1的中

点，点G是平面ADD1A1上的点.

uuuruuuruuur

(1)若点G是AD1的中点，证明：GF与AB、AD共面；

(2)求平面ADG与平面BDF所成的锐二面角的大小；

6

(3)若点G满足DG=lDA+DD1l,Î0,1，且点G到平面BDF的距离为，试确定点G的位置，使得GE与

3

平面BDF所成的角取得最大值.

11．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，AD^CD，AD=CD，ÐADB=ÐCDB，E为

AC的中点.

(1)证明：平面BED^平面ACD；

(2)设AB=BD=2，ÐACB=60°，点F在线段BD上，

（i）求二面角D-AB-C的余弦值；

（ii）记CF与平面ABD所成角为a，求sina的最大值.

12．（2025·贵州·三模）三棱锥A-BCD中，VABC是正三角形，BC^AD.

(1)证明：BD=CD；

(2)已知AB=2，E为线段BC中点.

3

（ⅰ）若P是平面ADE内一点，AP=，求线段CP长的最小值；

2

（ⅱ）若AD=3，BD=2，l是平面ADE内一条直线，求l与平面ACD所成角的正弦值的取值范围.

13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，BC=2AB=22，△PBC是等边

三角形，平面PBC^平面ABCD，O，F分别是BC，PC的中点，AC与BD交于点E，平面OEF与直线PD交于

点Q.

(1)证明：BD^平面PAO；

(2)求OQ与平面PEF所成角的正弦值；

(3)设S为平行四边形EOFQ内部一点.

（ⅰ）求△SBP的面积的取值范围.

uuuruuur

（ⅱ）当BS×BD取得最小值时，求二面角S-BF-Q的正弦值.

14．（2025·安徽·一模）如图，在五面体ABCDFE中，菱形ABCD的边长为2，EA=EB=FC=FD=10，

EF>BC.

(1)证明：BC//EF且AB^BC.

(2)求五面体ABCDFE体积的最大值.

(3)当五面体ABCDFE的体积最大时，求平面ABE与平面BCFE夹角的余弦值.

考点二交线、截面与轨迹问题

1．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=6，AA1=3，点P,Q分

别为BC，C1D1的中点，点M为长方形ADD1A1内一动点（含边界），若直线QM//平面APC1，则点M的轨迹长

度为（）

A．6B．22C．23D．32

2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为正方体内一点，若AP=CP，

A1P=3，则点P的轨迹长度为（）

A．πB．2πC．2πD．22π

3．（2025·湖北·二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,BB1=1，点M是平面B1CDA1内的动点，且

MA^MC，则MC的最大值为（）

25354565

A．B．C．D．

5555

4．（25-26高三上·广东阳江·阶段练习）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为棱CC1的中点，点

M为侧面BCC1B1内一动点，且A1M//平面AED1，则线段A1M的长度的最小值为（）

63330

A．1B．C．D．

555

5．（24-25高一下·福建宁德·期末·多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为

正方形BCC1B1内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（）

A．直线DP与AA1所成角的正切值为22

B．用平面A1DP截该正方体，所得截面周长为5+2

é325ù

C．若D1Q//平面A1DP，则D1Q长度的取值范围为ê,ú

ë42û

62

D．若DQ=，则动点Q的轨迹长度为π

124

6．（25-26高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为平面ABCD内一点，

点M，N，Q分别是棱C1D1,CC1,AA1的中点，下列说法正确的是（）

A．平面MNQ与正方体各面的交线围成的是正六边形

B．直线PM与直线QN是异面直线

C．当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥P-MNQ体积的最大值为1

D．若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是双曲线

725-26···

．（高三上贵州贵阳开学考试多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，底面DCBA1111内

（含边界）有一动点E，下列说法正确的有（）

A．若平面ADEI平面BCE=l，则AD//l

é3ù

B．若异面直线CE与AB所成角为，则cos的取值范围是ê0,ú

ë3û

π

C．当CE=2时，点E的轨迹长度为

2

9

D．四棱锥E-ABCD外接球的表面积最小值为π

4

825-26···

．（高三上安徽开学考试多选）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在正方形DCBA1111内运动

（含边界）且AE∥平面BC1D，则（）

A．点E的轨迹长度大小为22

B．三棱锥B-C1DE的体积始终不变

π

C．异面直线AE与BC所成角的大小可能为

12

D．当异面直线AE与BC1所成角最大时，四面体ABC1E的外接球的表面积为12π

j

9．（24-25高一下·辽宁大连·期末·多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，AB=a，且直线AP与直线CC1夹角为，

则下列说法正确的是（）

A．若点P在棱CC1上，且tanj=22，则PC1=a

π3aπ

B．若j=，且点P在面DCBA1111上，则点P的轨迹长度为

66

32

C．P是ABCD-A1B1C1D1面上的动点，DP^AC1，则P的轨迹图形面积是a

2

D．点P为截面AC11B上的动点，DP^AC1，则点P的轨迹长度是2a

10．（2024·黑龙江哈尔滨·一模·多选）如图，已知正三棱台ABC-A1B1C1是由一个平面截棱长为6的正四面体所

得，其中AA1=2，以点A为球心，27为半径的球面与侧面BCC1B1的交线为曲线G,P为G上一点，则下列结论中

正确的是（）

A．点A到平面BCC1B1的距离为26B．曲线G的长度为4π

47π

C．CP的最小值为23-2D．所有线段AP所形成的曲面的面积为

3

uuuuruuuur

112025···

．（山西临汾一模多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，M在棱CC1上，且满足CC1=3MC1，

π

动点P在VBDC1内（包括边界）移动，动点E在正方体内（包括边界）移动，且ÐDDE=，则（）

14

A．PC+PM的最小值为23

3

B．动点E在面ABCD内运动轨迹的长度为π

2

C．动点E的轨迹与动点P的轨迹的交线是椭圆的一部分

D．在正四面体D1-AB1C的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4

1224-25···

．（高二下湖南阶段练习多选）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，E，F分别

为A1B1，CD的中点，M是侧面ADD1A1上一动点（含边界），则下列结论正确的是（）

A．若满足MA=2MD，则点M的轨迹为圆的一部分

B．若ÐMA1F=ÐEA1F，则点M的轨迹为抛物线的一部分

2

C．以点D为圆心，3为半径的球与正四棱柱的侧面BB1C1C的交线长度为π

2

2

D．以EF为直径的球面与正四棱柱的侧面BB1C1C的交线长度为π

2

13．（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体

æ2ö

ABCD-A1B1C1D1表面上运动，且PA=r0<r<3，记点P的轨迹长度为fr，则fç÷=.

è3ø

14．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面棱长为4，侧棱长为3，且M为棱

AA1上靠近点A的三等分点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD的所成角

π

=，则点P形成的轨迹长度为．

3

15．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=4，平面PAB^平面ABCD，

平面PAD^平面ABCD.

(1)求证：PA^平面ABCD；

(2)求二面角A-PD-B的余弦值；

éππù

(3)点M在正方形ABCD内（包括边界），若平面PAM^平面PDM，且ÐADMÎ,，求点M的轨迹长度.

ëê43ûú

16．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知四棱锥P-ABCD，PD^底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方

形，PD=AB，E为PA的中点，点Q为三角形PBC内（包括边界）的一个动点，且EQ^BC.

(1)求点Q的轨迹长度；

10

(2)当二面角Q-AD-B正弦值大小为时，求AQ与平面PBC所成角的正弦值.

10

17．（25-26高三上·广东·开学考试）如图，在三棱锥P-ABC中，D是BC的中点，AB=AC,BC=4,PC^底面

ABC．

(1)证明：AD^平面PBC；

(2)若点E为VPCB内（包含边界）一点，且AE^CE，求点E的轨迹的长度；

(3)若AB^AC，二面角C-AP-D的大小为60o，求AC与平面ADP所成角的正弦值．

18．（2025·广东揭阳·三模）如图，三棱锥A-BCD中，点B在平面ACD的射影H恰在CD上，M为HC中点，

π

ÐBAH=，AB=2，S=S=1.

6△ABM△ABD

(1)若CD^平面BAH，证明：M是CD的三等分点；

(2)记D的轨迹为曲线W，判断W是什么曲线，并说明理由；

(3)求CD的最小值.

考点三立体几何新定义问题

1．（25-26高二上·云南·开学考试）在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角

四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体ABCD中存在“完美顶点”A，AB=2，AC=3，AD=6，F

为AD的中点，则CF与BD所成角的余弦值为（）

353522

A．B．C．D．

66105

2．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正

六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截

角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相

同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（）

A．60B．90C．120D．180

3．（2025·河北保定·二模）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：

多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每

ππ

个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2π-3´=π．若正四棱锥S-ABCD的侧面与

33

底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为（）

p3p2p

A．B．pC．D．

243

4．（24-25高一下·山东德州·期末）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲

性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正

ππ

四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2π-3´=π.若正四棱锥S-ABCD的

33

侧面与底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S-ABCD在顶点A处的曲率为（）

π3π5π

A．B．πC．D．

346

5．（24-25高一下·湖北荆门·期末·多选）阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的

1

离散曲率为1-ÐQPQ+ÐQPQ+L+ÐQPQ+ÐQPQ，其中Qii=1,2,L,k,k≥3为多面体M的所有与

2π1223k-1kk1

点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3,L，平面Qk-1PQk和平面QkPQ1为多而体M的所有以P为公共点的

面.”解答问题：已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB，则（）

1

A．直四棱柱ABCD-ABCD是正方体，则直四棱柱ABCD-ABCD在顶点A处的离散曲率为

111111113

11

B．若AC=BD，则三棱锥A-BCD在顶点B处的离散曲率为

124

7

C．若四面体AABD在点A处的离散曲率为，则AC^平面ABD

111211

17

D．若直四棱柱ABCD-A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为，则BC1与平面ACC1所成角的正切值为

37

6．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习·多选）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都

可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关

系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V-E+F=2．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是

（）

注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体

A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥

B．存在7条棱的多面体

C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同

D．若某凸多面体每个面都是边长为1的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均

相同，则面数的所有可能取值为6，7，12

7．（24-25高一下·四川遂宁·期末）世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球

心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则勒

洛四面体能够容纳的最大球的半径为．

8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）设正四面体的四个顶点到平面a的距离所构成的集合为A，若A中元素的个数为

k，则称a为正四面体的k阶等距平面，A为正四面体的k阶等距集.如果a为正四面体的1阶等距平面且1阶等距

集为m，则符合条件的平面a有个；若正四面体的棱长为6，则m的所有可能取值构成的集合为.

9．（24-25高二上·辽宁·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多

1

面体M在点P处的离散曲率为j=1-ÐQPQ+ÐQPQ+L+ÐQPQ+ÐQPQ，其中

P2π1223k-1kk1

Qi(i=1,2,L,k,k³3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk-1PQk和平面

QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥P-ABC如图所示．

(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；

3

(2)若PA^平面ABC，AC^BC，AC=BC=4，三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面

8

PBC的距离；

30

(3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．

6

10．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，

1

定义多面体M在点P处的离散曲率为j=1-ÐQPQ+ÐQPQ+L+ÐQPQ+ÐQPQ，其中

P2p1223k-1kk1

Qii=1,2,L,k,k³3为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3,L，平面Qk-1PQk和平面

QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥P-ABC如图所示．

(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；

3

(2)若PA^平面ABC，AC^BC，AC=BC=8，三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面