2026秋高三数学复习 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题(解析版)

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练

考点目录

中线问题角平分线问题

高线问题最值与范围问题

考点一中线问题

1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若

c-asinA=csinC-bsinB,b=3，则AC边上中线长度的最大值为（）

32433342

A．B．C．D．

2323

【答案】C

【详解】c-asinA=csinC-bsinB，由正弦定理可得c-aa=c2-b2，

1p

即a2+c2-b2=ac，则cosB=,QBÎ0,p,\B=，

23

a2+c2

又b=3，所以a2+c2-9=ac，因为ac£，当且仅当a=c=3时等号成立，

2

a2+c2

所以a2+c2-9£，则a2+c2£18．

2

2p

设AC边上中线的长度为h，则2h=a2+c2-2accos=2a2+c2-9£27=33，

3

33

所以AC边上中线长度的最大值为．

2

故选：C

2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）在锐角VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B=60°，

b=2，则边AC上中线BD的取值范围为（）

é21ùæ21ù

A．ê,3úB．ç,3ú

ë3ûè3û

ù

C．1,3D．1,3û

【答案】B

uuur1uuuruuur

【详解】因为BD是VABC边AC上的中线，所以BD=(BA+BC)，

2

222

uuur1uuuruuuruuuruuur1æ22πö122

则BD=BA+BC+2BA×BC=çc+a+2cacos÷=a+c+ac，

44è3ø4

acb243

由正弦定理得====，

sinAsinCsinBsin60°3

4343

可得a=sinA，c=sinC，

33

2

uuur1æ16216216ö422

所以BD=çsinA+sinC+sinAsinC÷=(sinA+sinC+sinAsinC)，

4è333ø3

2

æ31ö331

而2222，

sinC=sin(A+B)=çcosA+sinA÷=cosA+sinAcosA+sinA

è22ø424

æ31ö312

sinAsinC=sinAsin(A+B)=sinAçcosA+sinA÷=sinAcosA+sinA，

è22ø22

2

uuur4æ232312312ö

所以BD=çsinA+cosA+sinAcosA+sinA+sinAcosA+sinA÷

3è42422ø

4æ23ö2234æπö5

=çsinA+3sinAcosA+÷=1-cos2A+sin2A+1=sinç2A-÷+，

3è4ø333è6ø3

ì2ππ

0<C=-A<

πï32ππ

因为VABC为锐角三角形，B=，则í，即<A<，

3π62

ï0<A<

îï2

ππ5π1æπö

所以<2A-<，所以<sinç2A-÷£1，

6662è6ø

πuuur24π5uuur24π57

所以当A=时，BD取得最大值sin+=3，BD的最小值大于sin+=，

33233633

uuur721æ21ù

所以BD的最大值为3，最小值大于=，即BD的取值范围为ç,3ú．

33è3û

故选：B．

uuuruuur

3．（24-25高一下·浙江台州·期中·多选）在VABC中，设a=6，c=5，CA×CB=18，则下列说法正确的是（）

25

A．VABC的面积为12B．VABC外接圆的周长是π

4

975

C．若D为AC的中点，则中线BD长度为D．VABC内切圆的面积是π

22

【答案】ABC

uuuruuura2+b2-c2b2+11

【详解】对于A，a=6,c=5,CA×CB=abcosC=ab·==18，解得b=5，

2ab2

故AB=AC=5，故BC边上的高为52-32=4，

1

故VABC的面积为´6´4=12，故A正确，

2

a2+c2-b236+25-253

对于B，由余弦定理得cosB===，而B为三角形内角，

2ac2´6´55

b525

24π×2R=π×=π×=π

所以sinB=1-cosB=，VABC外接圆的周长是sinB44，故B正确；

5

5

uuur1uuuruuur

对于C，因为BD=BA+BC，

2

uuur21uuuruuur21uuur21uuur21uuuruuur

故BD=BA+BC=BA+BC+BA×BC

4442

11132525+7297

´25+´36+´5´6´=+9+9==，

4425444

uuur97

故BD=，故C正确；

2

14´63

对于D，VABC内切圆的面积是a+b+cr=S，故r==，

25+5+62

9

故πr2=π，故D不正确.

4

故选：ABC.

4．（2024·内蒙古赤峰·三模）在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c²=2，a2+b2=10，

BC,AC边上的中线AM，BN相交于点P，则直线AM,BN的夹角为.

p

【答案】/90°

2

【详解】Qc2=2,a2+b2=10,

\c2=a2+b2-2abcosC，

\2=10-2abcosC,

\abcosC=4,

uuuruuuruuuruuur

\CA×CB=CA×CBcosC=bacosC=4，

uuuuruuuuruuur1uuuruuur

因为AM=CM-CA=CB-CA，

2

uuuruuuruuur1uuuruuur

BN=CN-CB=CA-CB，

2

uuuuruuuræ1uuuruuuröæ1uuuruuurö1uuuruuur1uuur21uuur2uuuruuur

AM×BN=çCB-CA÷×çCA-CB÷=CA×CB-CB-CA+CA×CB

è2øè2ø422

1111

=´4-a2-b2+4=1-a2+b2+4

4222

1

=1-´10+4=5-5=0，

2

uuuuruuur

\AM^BN，即AM^BN.

π

故答案为：

2

5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在VABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

3a=3bcosC+3csinB，若点M为AC中点，且b=3，则中线BM的最大值是．

3

【答案】

2

【详解】由3a=3bcosC+3csinB,结合正弦定理边化角得：

3sinA=3sinBcosC+3sinCsinB，

再由三角形内角和定理得：3sinB+C=3sinBcosC+3sinCsinB，

即3sinBcosC+3cosBsinC=3sinBcosC+3sinCsinB，

Þ3cosBsinC=3sinCsinB

因为BÎ0,π，所以sinB>0，即可得Þ3cosB=3sinBÞtanB=3，

π

又因为BÎ0,π，所以B=,

3

b3

π2r===2Þr=1

在VABC中，b=3，B=，可知三角形的外接圆半径为sinB，

33

2

π

故点B的轨迹是以AC=3为弦，所对角B=的圆弧，且是优弧，

3

由平面几何知识得，当AC边上的中线BM就是AC边上的高，

3

即当且仅当a=c=3时，BM最大值为.

2

3

故答案为：.

2

6．（24-25高一下·广东汕尾·期中）如图，在VABC中，已知AB=2，AC=62，ÐBAC=45°，BC，AC边上的

两条中线AM，BN相交于点P．

(1)求BN；

(2)求MPN的余弦值．

【答案】∠(1)BN=10

1310

(2)

50

【详解】（1）因为AC=62，N为AC的中点，所以AN=32,

在VABN中，BN2=AB2+AN2-2AB×ANcosÐBAC

2

=22+32-2´2´32´cos45o=10，

所以BN=10

uuuruuuruuur1uuuruuur

（2）因为N为AC的中点，所以BN=AN-AB=AC-AB，

2

uuur1uuuruuur

又AM=AB+AC，

2

uuuuruuur1uuuruuuræ1uuuruuurö1æ1uuur21uuuruuuruuur2ö

所以AM×BN=AB+AC×çAC-AB÷=çAC-AC×AB-AB÷,

2è2ø2è22ø

uuuuruuur1æ1uuur21uuuruuuruuur2ö1æ11ö

所以AM×BN=çAC-AC×AB-AB÷=ç´72-´12-4÷=13，

2è22ø2è22ø

2

uuuræ1uuuruuurö

BN=çAC-AB÷=18-12+4=10，

è2ø

uuuuruuur

uuuuruuurAM×BN131310

所以cosAM，BN=uuuuruuur==，

AM×BN5´1050

uuuuruuur

又ÐMPN与AM,BN的夹角相等，

1310

所以cosÐMPN=，

50

1310

所以ÐMPN的余弦值为.

50

7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且

3sinA

sinC+3cosC=，b=3.

sinB

(1)求角B；

(2)若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；

(3)求边AC上的中线BE的取值范围.

π

【答案】(1)B=

3

3

(2)

6

æ33ù

(3)ç,ú

è22û

3sinA

【详解】（1）因为sinC+3cosC=，

sinB

所以sinBsinC+3sinBcosC=3sinB+C=3sinBcosC+3cosBsinC，

所以sinBsinC=3cosBsinC，

又sinC>0，所以tanB=3，

π

又BÎ0,π，所以B=；

3

ππ

（2）由B=及余弦定理得b2=c2+a2-2accos，

33

即3=c2+a2-ac=a+c2-3ac，

1

又因为a+c=2，所以ac=，

3

1π1π1π

所以S=S+S=c×BD×sin+a×BD×sin=acsin，

VABCVABDVBCD262623

ππ

所以BD×a+c×sin=acsin，

63

13

´

3

即BD=32=；

1

2´6

2

uuur1uuuruuur

（3）因为E是AC的中点，所以BE=BA+BC，

2

uuur21uuur2uuuruuuruuur213+2ca

则BE=BA+2BA×BC+BC=c2+a2+ac=，

444

由正弦定理得，

bbæ2ö

ac=sinA×sinC=4sinAsinC=4sinAsinçπ-A÷，

sinBsinBè3ø

2æπö

即ac=23sinAcosA+2sinA=3sin2A-cos2A+1=2sinç2A-÷+1，

è6ø

2

因为AÎ0,π,C=π-AÎ0,π，

3

æ2πö

所以AÎç0,÷，

è3ø

πæπ7πö

所以2A-Îç-,÷，

6è66ø

æπöæ1ù

所以sinç2A-÷Îç-,1，

è6øè2ûú

æπö

所以ac=2sinç2A-÷+1Î0,3，

è6ø

uuur23+2caæ39ù

所以BE=Îç,，

4è44ûú

æ33ù

所以BEÎç,ú，

è22û

æ33ù

即边AC上的中线BE的取值范围为ç,ú.

è22û

π

8．（24-25高三上·云南临沧·期中）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=．

3

当，时，

(1)c=43SVABC=33

（i）若线段BD是角B的内角平分线，点D在边AC上，求BD的长；

uuuruuur

（ii）若点O是VABC的外心（即各边垂直平分线的交点），求BO×AC的值；

(2)当c=43，AC边上的中线BM=21时，求A的大小．

1245

【答案】(1)（i）BD=；（ii）-

52

π

(2)A=

6

1π

【详解】（1）（i）由题意知：S=×43×asin=33，所以a=3，

VABC23

1π1π

由S=´43´BD´sin+´3´BD´sin=33，

VABC2626

12

解得BD=；

5

uuuruuur

（ii）设点N是AC的中点，连接ON，则ON^AC，NOAC=0·，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuur

则BO×AC=BN+NO×AC=BN·AC+NO·AC=BA+BC·AC

2

1uuuruuuruuuruuur1uuur2uuur245

=BA+BC·BC-BA=BC-BA=-.

222

（2）设AM=MC=x，

由cosÐAMB=-cosÐCMB，

x2+21-48x2+21-a2

则根据余弦定理得，=-，

2x×212x×21

化简得：2x2=a2+6，

在VABC中，根据余弦定理得，①4x2=48+a2-43a，

②

由得：a2+43a-36=0，解得a=23或a=-63（舍去），

①②643

=

从而x=3，即b=6，由正弦定理可得π，解得sinC=1，

sinsinC

3

ππ

因为C是三角形ABC的内角，所以C=，则A=．

26

9．（24-25高三上·云南昭通·期中）已知在VABC中，AB=AC=1，E，F分别为边AB，BC上的点，且

AE=EB，2BF=FC．

(1)若ÐBAC=90o，用向量方法求证：CE^AF；

(2)若BC=3，求AB边上的中线CE的长．

【答案】(1)证明见解析

7

(2)CE=．

2

【详解】（1）

uuuruuuruuuruuur1uuur

证明：因为AE=EB，所以CE=CA+AE=-AC+AB．

2

uuuruuur1uuuruuur1uuuruuur1uuur2uuur

又因为2BF=FC，所以AF=AB+BC=AB+AC-AB=AC+AB．

3333

uuuruuur

因为ÐBAC=90o，AB=AC=1，所以AB×AC=0，

uuuruuuræuuur1uuuröæ1uuur2uuurö1uuur21uuuruuur1uuur2

所以CE×AF=ç-AC+AB÷×çAC+AB÷=-AC-AC×AB+AB=0，

è2øè33ø323

uuuruuur

即CE×AF=0，得证．

1+3-13

（2）在VABC中，由余弦定理得：cosB==，

2´1´32

2

2

222æ1ö1377

在VEBC中由余弦定理得：CE=BE+BC-2BE×BCcosB=ç÷+3-2´´3´=，则CE=．

è2ø2242

10．（24-25高三上·四川成都·期中）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且

bsinB=asinA+csinC+asinC.

(1)若acosC+csinA-b=0，求角C；

(2)若bcosC+ccosB=2，3sinA=2sinC，求AC边的中线BD的长；

(3)若角B的内角平分线BE的长为2，求4a+c的最小值.

π

【答案】(1)C=

12

7

(2)

2

(3)18

【详解】（1）由bsinB=asinA+csinC+asinC利用正弦定理可得b2=a2+c2+ac；

1

又b2=a2+c2-2accosB，因此可得cosB=-，

2

2π

又BÎ0,π，可得B=；

3

由acosC+csinA-b=0利用正弦定理可得

sinAcosC+sinCsinA-sinA+C=sinAcosC+sinCsinA-sinAcosC-cosAsinC=0；

即sinCsinA-cosAsinC=0，因此sinA=cosA，

π

即tanA=1，可得A=；

4

π2ππ

所以C=π-A-B=π--=.

4312

（2）设VABC的外接圆半径为R，

由bcosC+ccosB=2可得2RsinBcosC+2RsinCcosB=2RsinB+C=2RsinA=2；

2a

即=2R，又=2R，因此可得a=2；

sinAsinA

由3sinA=2sinC利用正弦定理可得3a=2c，可得c=3，如下图：

uuur1uuuruuuruuuruuur

易知BD=BA+BC，且BA=c=3,BC=a=2；

2

uuur1uuuruuur21uuur2uuur2uuuruuur1æ1ö7

因此BD=BA+BC=BA+BC+2BA×BC=ç9+4-2´3´2´÷=，

444è2ø2

7

因此AC边的中线BD的长为

2

（3）若角B的内角平分线BE的长为2，

由等面积法可得S△ABC=S△ABE+S△CBE，

11B1B

即acsinB=BE×csin+BE×asin，可得ac=2c+2a，

22222

111

即+=，

ac2

æ11öæ4acöæ4acö

又a>0,c>0，所以4a+c=24a+cç+÷=2ç4+++1÷³2ç5+2×÷=18；

èacøècaøècaø

4ac

当且仅当=，即a=3,c=6时，等号成立，

ca

即4a+c的最小值为18.

11．（24-25高一下·广东·阶段练习）记ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4bcosA-c=2acosB.

(1)判断ABC的形状；△

△

2π

(2)若a=2，C=，求ABC内切圆的直径；

3

△

(3)设AD为BC边上的中线，若c=3，2AD=34，求a.

【答案】(1)等腰三角形．

(2)43-6

(3)a=4

【详解】（1）由正弦定理可得4sinBcosA-sinC=2sinAcosB，

又A，B，C为ABC的内角，故sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB．

代入可得4sinB△cosA-sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，

也即3sinBcosA-3sinAcosB=0，即sinB-A=0.

又AÎ0,π，BÎ0,π，则A=B，故ABC为等腰三角形．

ca△

=

（2）由正弦定理可得2ππ，

sinsin

36

故c=23，

absinC

故ABC的周长l=4+23，面积S==3，

2

△

2S23

由等面积法可得其内切圆半径r===23-3，

l4+23

故ABC内切圆的直径为43-6.

△a2+c2-b2

（3）在ABC中，有cosB=，

2ac

△3

化简得cosB=.

2a

AB2+BD2-AD2

在ABD中，有cosB=，

2×AB×BD

△

11

且BD=BC=AC，

22

117

9+a2-

即cosB=42，

1

2×3×a

2

代入解得a=4.

12．（2025·湖南长沙·模拟预测）记VABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bsinA=c.

(1)求A；

(2)若c=2，AC边上的中线BD长为10，求VABC的面积.

π

【答案】(1)A=

4

(2)4

【详解】（1）因为acosB+bsinA=c，

由正弦定理可得sinAcosB+sinBsinA=sinC，

又sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAsinB=cosAsinB，

因为BÎ0,π，sinB¹0，所以sinA=cosA，

π

又因为cosA¹0，AÎ0,π，所以tanA=1，A=.

4

π

（2）在△ABD中，因为AB=2，BD=10，A=

4

，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA，

即AD2-2AD-8=0，解得AD=4，所以AC=8，

112

所以S=×AB×AC×sinA=×2×8×=4.

VABC222

13．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在VABC中，AC=3AB，且BC边上的中线AD长为1．

5π

(1)若ÐBAC=，求BC的长；

6

(2)若ÐABC=2ÐDAC，求BC的长．

【答案】(1)BC=27

(2)2

【详解】（1）设AC=b,AB=c,BC=a，则b=3c，

AD2+BD2-AB2

在△ABD中，cosÐADB=，

2×AD×BD

AD2+CD2-AC2

在VACD中，cosÐADC=，

2×AD×CD

1a

在VABC中，AD为中线，则BD=CD=BC=，ÐADB+ÐADC=π，

22

a2a2

1+-c21+-b2

则4=-4，化简可得a2=8c2-4，

aa

2´1´2´1´

22

222

AC+AB-BC5π3c2+c2-8c2+4

由cosÐBAC=，则cos=，解得c=2，

2×AC×AB623c2

所以a=8c2-4=27.

a

（2）由题可知AB=c,AC=3c,AD=1,BD=DC=，

2

设ÐABC=2q,ÐDAC=q,ÐADB=a，则ÐADC=π-a，

ABADc1

在△ABD中，由正弦定理得=，即=，

sinÐADBsinÐABDsinasin2q

a

DCAC

在△ADC中，由正弦定理得=，即23C，

sinÐDACsinÐADC=

sinqsin(π-a)

1a3

所以=，则a=，

sin2q23sinqcosq

在△ABD和△ADC中，出余弦定理得①

22

2æaö22æaö2

1+ç÷-c1+ç÷-(3c)

22

cosÐADB+cosÐADC=èø+èø=0，

aa

2´´12´´1

22

所以a2+4=8c2，

在△ADC中，由余弦定理得②DC2=AD2+AC2-2AD×AC×cosÐDAC，

2212

æaö221+3c-a

即ç÷=1+(3c)-2´1´3c´cosq，即4，

2cosq=

èø23c

③

c2+2

将a2=8c2-4代入得cosq=，

23c

22④2

22

æ3öæc+2öc+22242

由得，即3，即9c=2c-1c+4c+4，

ç÷=ç÷=

èaøè23cø8c2-412c2

①④

即2c6+7c4-5c2-4=0，即c2-12c2+1c2+4=0，

因为c>0，所以c2=1，则a2=8c2-4=4，所以a=2．

故BC的长为2．

考点二角平分线问题

1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在VABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c2=a2+b2+ab，点D在边

1

AB上，CD平分ÐACB，且CD=，则4a+9b的最小值为（）

2

2525

A．B．25C．D．24

24

【答案】A

12π

【详解】由c2=a2+b2+abÞcosC=-,QCÎ0,π\C=，

23

又SVABC=SVACD+SVBCD，

12π1uuurπ1uuurπ11

\ab×sin=b×CDsin+b×CDsinÞ