2026秋高三数学复习 解三角形：最值与范围问题(解析版)

解三角形：最值与范围问题专项训练

考点一利用三角函数的有界性求最值与范围问题

1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为VABC的面积，a=4，且

2

2S=a2-b-c，则VABC的周长的取值范围是（）

ùùùù

A．8,45+4ûB．12,25+2ûC．8,25+2ûD．12,45+4û

【答案】D

2

【详解】Q2S=a2-b-c=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA，

1

\S=bc-bccosA=bcsinA，

2

1AAA

1-cosA=sinA，即2sin2=sincos，A为锐角，

2222

∴A11443

tan=,tanA==,sinA=,cosA=

221355，又a=4，

1-

4

∴

abc

由正弦定理可得===5，

sinAsinBsinC

所以b+c=5sinB+sinC=5ëésinB+sinA+Bûù

æ34ö

=5çsinB+sinB+cosB÷=8sinB+4cosB

è55ø

1A

=45sinB+j，其中tanj=，j=，

22

因为VABC为锐角三角形，

ππππ

所以-A<B<，则-A+j<B+j<+j，

2222

πAπA

即：-<B+j<+，

2222

AA2

所以cos<sinB+j£1，又cos=，

225

8，4ù

8<45sinB+j£45，即b+cÎ5û，

∴ù

故VABC的周长的取值范围是12,45+4û.

故选：D.

2．（24-25高三上·湖北·期中）已知在锐角VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

c

2S=b2+c2-a2，则的取值可能为（）

△ABCb

1

A．B．1C．3D．5

3

【答案】B

b2+c2-a2

【详解】依题意，得2S=bcsinA=b2+c2-a2，故sinA=2×=2cosA，则tanA=2，

△ABC2bc

25

因为A为锐角，所以sinA=.

5

csinCsinA+B255

依题意，===+，

bsinBsinB5tanB5

ìπ

0<B<,

ï2ππæπö1

而í故-A<B<，故tanB>tanç-A÷=，

π22è2ø2

ï0<C=π-A-B<,

îï2

c255æ5ö

则=+Îç,5÷，

b5tanB5è5ø

故选：B.

3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为VABC的面积，

b

且3S=a2-(b-c)2，则的取值范围为（）

c

é725öæ7öæ725öæ24ö

A．ê,÷B．ç,+¥÷C．ç,÷D．ç,+¥÷

ë257øè25øè257øè25ø

【答案】C

1

【详解】在VABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，且VABC的面积S=bcsinA，

2

3

由3S=a2-(b-c)2，得bcsinA=2bc+a2-b2-c2=2bc-2bccosA，化简得3sinA+4cosA=4，

2

æπö247

又AÎç0,÷，sin2A+cos2A=1，联立解得sinA=，cosA=，

è2ø2525

bsinBsinA+CsinAcosC+cosAsinC247

所以====+，

csinCsinCsinC25tanC25

ππππ

VABC为锐角三角形，有0<C<，B=π-A-C<，得-A<C<，

2222

æπöcosA71æ24öbæ725ö

则有tanC>tanç-A÷==，可得Îç0,÷，所以Îç,÷.

è2øsinA24tanCè7øcè257ø

故选：C

π

4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知锐角VABC的面积为23，A=，则边AB的取值范围是（）

3

A．(1,2)B．(2,22)C．(2,4)D．(22,4)

【答案】C

π2π

【详解】由锐角VABC中A=，则B+C=，

33

ì2ππ

0<B=-C<

ï32ππππ

故íÞ<C<，同理<B<，

π6262

ï0<C<

îï2

1

由三角形面积S=bcsinA=23，则bc=8，

2

bccsinBc2sinB

由正弦定理=，则b=，故=8，

sinBsinCsinCsinC

π

8sin(B+)1

所以28sinC34sinB+43cosB43，而tanB>，

c====4+3

sinBsinBsinBtanB

所以c2Î(4,16)，则AB=cÎ(2,4).

故选：C

5．（24-25高一下·陕西渭南·期中·多选）VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为VABC的面积，且

uuuruuur

a=2，AB×AC=23S，下列选项正确的是（）

π

A．A=

3

B．若b=3，则VABC有两解

C．若VABC为锐角三角形，则b取值范围是23,4

D．VABC周长的取值范围为4,6

【答案】BC

uuuruuur1

【详解】对于A，因为AB×AC=23S，所以bccosA=23´bcsinA，

2

3

所以cosA=3sinA，则tanA=，

3

π

因为AÎ0,π，所以A=，故A错误；

6

23

ab=3

对于B，由正弦定理得=，则1sinB，即sinB=<1，

sinAsinB4

2

因为a<b，所以A<B，则VABC有两解，故B正确；

2b

ab=

对于C，由正弦定理得=，则1sinB，即b=4sinB，

sinAsinB

2

ìπ

0<B<

ï2ππ

因为VABC为锐角三角形，所以í，解得<B<，

5ππ32

ï0<-B<

îï62

3

所以<sinB<1，则23<4sinB<4，

2

即b取值范围是23,4，故C正确，

对于D，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-3bc=4，

2

2æb+cö

则b+c-2+3bc=4，又bc£ç÷，当且仅当b=c时等号成立，

è2ø

2

22æb+cö

则4=b+c-2+3bc³b+c-2+3×ç÷，

è2ø

解得0<b+c£26+22，又b+c>a=2，则2<b+c£26+22，

所以4<a+b+c£26+22+2，故D错误.

故选：BC.

6．（24-25高一下·安徽·阶段练习·多选）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

3bcosC+3ccosB=a2，则下列说法正确的是（△）

A．a=3

B．若B+C=2A，则VABC的外接圆半径为3

π

C．若A=，且VABC有一解，则b的取值范围为0,3

4

D．若c2=a2+ab，且VABC为锐角三角形，则c的取值范围为32,33

【答案】ABD

【详解】对于A，由正弦定理边角互化可得3sinBcosC+sinCcosB=3sinA=asinAÞa=3，故A正确；

π

对于B，A+B+C=3A=πÞA=，

3

a3

2r==Þr=3

则由正弦定理，外接圆半径r满足：sinA3，故B正确；

2

对于C，当B为直角时，该三角形为等腰直角三角形，显然满足题意的三角形只有一个，

但此时b=2a=32，不在0,3中，故C错误；

对于D，由正弦定理边角互化可得sin2C-sin2A=sinAsinB，

注意到sin2C-sin2A=sinC-sinAsinC+sinA，

由和差化积公式可得

C+AC-AC+AC-A

sn2C-nisi2A=4cossinsincos=sinA+CsinC-A

2222

=sinBsinC-A=sinBsinA，

因为BÎ0,π，所以sinB¹0，所以sinC-A=sinA，

所以C-A=AÞC=2A，则B=π-3A.

ìπ

0<A<

ï2

ï

ïπππ

因三角形为锐角三角形，则í0<π-3A<Þ<A<.

ï264

ïπ

ï0<2A<

î2

acasinC23

又由正弦定理可得=Þc==2acosA，又<cosA<，

sinAsinCsinA22

则c=2acosAÎ32,33，故D正确.

故选：ABD

7．（2025·湖北·模拟预测）锐角VABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A=2B，a+b=3，则边c的取值范

围是.

【答案】32-3,33-3

【详解】因为A=2B，则sinA=sin2B=2sinBcosBÞa=2bcosB

3

由a+b=3得，b=，

2cosB+1

又sinC=sin(π-A-B)=sin(π-3B)=sin3B=sinBcos2B+cosBsin2B

=sinB(1-2sin2B)+2sinB(1-sin2B)=3sinB-4sin3B，

32

bsinC33sinB-4sinB34cosB-1

所以c===，化简得c=6cosB-3，

sinB(2cosB+1)sinB2cosB+1

ìπ

0<B<

ï2

ï

ïπππ23

锐角VABC中í0<A=2B<，可得<B<，即<cosB<，

ï26422

ïπ

ï0<C=π-3B<

î2

因此边c的取值范围是32-3,33-3.

故答案为：32-3,33-3

8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在锐角VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且

c

3a2+c2-b2=4S，则的取值范围是.

a

æ1ö

【答案】ç,2÷

è2ø

1

【详解】因为3a2+c2-b2=4S，则3´2accosB=4´acsinB，

2

æπöπ

整理可得tanB=3，且BÎç0,÷，可知B=，

è2ø3

ππ3

由VABC为锐角三角形可得：<A<，所以tanA>

623

æπö

sinçA+÷

csinC313

==èø=+

asinAsinA22tanA

cæ1ö

所以Îç,2÷.

aè2ø

æ1ö

故答案为：ç,2÷.

è2ø

9．（24-25高三下·山东德州·阶段练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b=2，且满足

atanAcosB+bsinA=2ctanAcosB

(1)求角B的大小

(2)VABC的内心为I，求VACI周长的取值范围.

π

【答案】(1)ÐB=

3

æ43ù

(2)ç4,2+ú

è3û

【详解】（1）由atanAcosB+bsinA=2ctanAcosB，

根据正弦定理，得sinAtanAcosB+sinBsinA=2sinCcosBtanA，

由sinA>0，则sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，

即sinB+A=sinC=2sinCcosB,

1

而sinC>0，故cosB=，

2

又BÎ0,π，

π

所以ÐB=

3

π

（2）由（1）可得ÐB=，

3

2π

即ÐACB+ÐBAC=，

3

π

设VABC的内心为I，即ÐACI+ÐCAI=，

3

2π

故ÐAIC=.

3

æπöπ

设ÐACI=qç0<q<÷，则ÐCAI=-q，

è3ø3

在VACI中，由正弦定理得，

CIAIAC243

====,

æπösinqsinÐAIC2π3

sinç-q÷sin

è3ø3

43æπö43

所以CI=sinç-q÷,AI=sinq，

3è3ø3

43æπö4343æπö

所以VACI的周长为sinç-q÷+sinq+2=sinçq+÷+2

3è3ø33è3ø

π

因为0<q<，

3

ππ2π

所以<q+<，

333

æπöæ3ù

所以sinçq+÷Îç,1ú，

è3øè2û

43æπöæ43ù

所以sinçq+÷+2Îç4,2+ú，

3è3øè3û

æ43ù

故VACI的周长取值范围为ç4,2+ú.

è3û

10．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

b-asin2B-sin2C

=．

asin2A

(1)求角C的大小；

(2)若c=2，求VABC周长的取值范围．

π

【答案】(1)C=

3

ù

(2)23+2,6û

b-asin2B-sin2C

【详解】（1）在锐角三角形ABC中，因为=，

asin2A

b-ab2-c2

所以由正弦定理得=，

aa2

222

故ab-a=ab-c，即ab-a=b2-c2，即ab-a2=b2-c2，即ab=a2+b2-c2，

a2+b2-c2a2+b2-c21

所以=1，即=，

ab2ab2

1æπöπ

由余弦定理得cosC=，因为CÎç0,÷，所以C=．

2è2ø3

abc243

====

（2）因为c=2，由正弦定理sinAsinBsinC33，

2

4343

所以a=sinA，b=sinB，

33

设VABC的周长为l，

43434343æ2πö

则l=2+a+b=2+sinA+sinB=2+sinA+sinç-A÷

3333è3ø

4343æ31ö4323

=2+sinA+çcosA+sinA÷=2+sinA+2cosA+sinA

33è22ø33

æπö

=2+23sinA+2cosA=2+4sinçA+÷，

è6ø

æπöæπö

因为在锐角三角形ABC中，所以AÎç0,÷，BÎç0,÷，

è2øè2ø

2πæπöæπ2πö

所以-AÎç0,÷，解得AÎç,÷，

3è2øè63ø

æππöπæπ2πö

所以AÎç,÷，所以A+Îç,÷，

è62ø6è33ø

æù

æπö3æπöùù

故sinçA+÷Îç,1ú，则4sinçA+÷+2Î23+2,6û，即lÎ23+2,6û，

è6øè2ûè6ø

ù

故VABC周长的取值范围为23+2,6û．

11．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

sin2(A+C)=(sinA+sinC)2-sinAsinC．

(1)求角B的大小；

(2)若b=4，求2a+c的取值范围．

2π

【答案】(1)B=；

3

(2)(4,8).

【详解】（1）在VABC中，有sin(A+C)=sin(π-B)=sinB，

所以sin2B=(sinA+sinC)2-sinAsinC=sin2A+sin2C+sinA×sinC，

由正弦定理得b2=c2+a2+ac，

1

由余弦定理得b2=c2+a2-2accosB，所以cosB=-，

2

2π

因为0<B<π，所以B=．

3

acb83

（2）由正弦定理得===，

sinAsinCsinB3

8383éæπöù83

所以2a+c=(2sinA+sinC)=ê2sinç-C÷+sinCú=3cosC-sinC+sinC=8cosC，

33ëè3øû3

π1

因为0<C<，所以<cosC<1，故2a+c的取值范围为(4,8)．

32

12．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在VABC中，c=3，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下

面的问题．条件：csinA=3acosC；条件：(a-b)2=c2-ab．

(1)若b=2，求V①ABC的面积；②

(2)求a+b的取值范围．

3

【答案】(1)

2

3,23ù

(2)(ûú

【详解】（1）选条件：由正弦定理，得sinCsinA=3sinAcosC．

因为AÎ(0,π)，所以①sinA¹0，

所以sinC=3cosC，得tanC=3．

π

因为CÎ(0,π)，所以C=．

3

π

在VABC中，当c=3,b=2,C=时，

3

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，

1

得3=a2+4-2´a´2´，即a2-2a+1=0，所以a=1，

2

11π3

所以S=absinC=´1´2´sin=．

△ABC2232

选条件：因为(a-b)2=c2-ab，整理得a2+b2-c2=ab．

②a2+b2-c2ab1

由余弦定理，得cosC===．

2ab2ab2

π

因为CÎ(0,π)，所以C=．

3

π

在VABC中，当c=3,b=2,C=时，

3

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，

1

得3=a2+4-2´a´2´，即a2-2a+1=0，所以a=1，

2

11π3

所以S=absinC=´1´2´sin=．

△ABC2232

π

（2）解法一：由题设及（1）可知C=,c=3．

3

π

由余弦定理，得(3)2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab，

3

2

2æa+bö

化简得(a+b)-3=3ab．又ab£ç÷，

è2ø

3

所以(a+b)2-3=3ab£(a+b)2，

4

解得a+b£23，

当且仅当a=b=c=3时等号成立，

由三角形的三边关系可知a+b>c=3，

ù

所以3<a+b£23，即a+b的取值范围为3,23û．

π

解法二：由题设及（1）可知C=,c=3．

3

abc3

====2

由正弦定理，得sinAsinBsinC3，

2

所以a=2sinA,b=2sinB，

éæπöù

得a+b=2(sinA+sinB)=2êsinA+sinçA+÷ú

ëè3øû

æππöæ33ö

=2çsinA+sinAcos+cosAsin÷=2çsinA+cosA÷

è33øè22ø

æ31öæπö

=23çsinA+cosA÷=23sinçA+÷，

è22øè6ø

ππæπ5πö

因为C=，则A+Îç,÷，

36è66ø

æπöæ1ù

所以sinçA+÷Îç,1，

è6øè2úû

æπö

故3<23sinçA+÷£23，

è6ø

ù

所以3<a+b£23，即a+b的取值范围为3,23û．

13．（24-25高一下·海南·期末）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，VABC的面积为S，已知a=2，且

urrurr

________在m=cosA,cosB，n=b-2c,a，且m^n，acosA+acosB-C=23bcosAsinC，

2①②③

b+c-a2=43S.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按

第一个解答计分）

(1)求A；

(2)求b-2c的取值范围.

π

【答案】(1)A=

3

(2)-4,2

urrrr

【详解】（1）若选，由m^n得，m×n=b-2ccosA+acosB=0，

①

由正弦定理，sinB-2sinCcosA+sinAcosB=0，

则sinBcosA+sinAcosB-2sinCcosA=0，整理得，sinC1-2cosA=0，

1π

因sinC>0，则有cosA=，又0<A<π，故A=；

23

若选，acosA+acosB-C=23bcosAsinC，

②

因cosA=cosëéπ-B+Cûù=-cosB+C，

代入得，acosB-C-acosB+C=23bcosAsinC，

展开整理得，2asinBsinC-23bcosAsinC=0，即sinCasinB-3bcosA=0，

因sinC>0，则有asinB-3bcosA=0，由正弦定理，sinAsinB-3sinBcosA=0，

π

又因sinB>0，故得tanA=3，因为0<A<π，所以A=；

3

21

若选，因为b+c-a2=43S，所以b2+c2-a2+2bc=43×bcsinA，

2

b2③+c2-a2

即+1=3sinA，

2bc

æπöæπö1

由余弦定理，得3sinA-cosA=1，2sinçA-÷=1，sinçA-÷=，

è6øè6ø2

ππ5ππ

在三角形中AÎ0,π，则A-=或（舍），故A=.

6663

bca4343

（2）因为===，则b-2c=sinB-2sinC，

sinBsinCsinA33

2π

因为B+C=，

3

æ2πö31

所以sinB=sinç-C÷=cosC+sinC，

è3ø22

43æ33öæπö

所以b-2c=çcosC-sinC÷=-4sinçC-÷.

3è22øè6ø

æ2πöπæππöæπöæ1ö

因为CÎç0,÷，所以C-Îç-,÷，所以sinçC-÷Îç-,1÷，

è3ø6è62øè6øè2ø

æπö

所以b-2c=-4sinçC-÷Î-4,2.

è6ø

rr

14．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知a=sinwx,coswx，b=coswx,3coswx，w>0，函数

rr3

fx=a×b-的最小正周期为π．

2

(1)求函数fx的单调递减区间；

æAö3

(2)在锐角VABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足fç÷=，a=2，求VABC周长的取值

è2ø2

范围．

éπ7πù

【答案】(1)kπ+,kπ+，kÎZ

ëê1212ûú

ù

(2)2+23,6û

rr

【详解】（1）因为a=sinwx,coswx，b=coswx,3coswx，w>0，

rr

则a×b=sinwx,coswx×coswx,3coswx

131+cos2wx133

=sinwxcoswx+3cos2wx=sin2wx+=sin2wx+cos2wx+

22222

æπö3

=sinç2wx+÷+，

è3ø2

rr3æπö

故fx=a×b-=sinç2wx+÷．

2è3ø

2πæπö

因为fx的最小正周期为π，所以T==π，所以w=1，故fx=sinç2x+÷．

2wè3ø

ππ3ππ7π

由2kπ+£2x+£2kπ+，kÎZ，解得kπ+£x£kπ+，kÎZ，

2321212

éπ7πù

所以fx的单调递减区间为kπ+,kπ+，kÎZ．

ëê1212ûú

æAöæπö3

（2）由（1）知fç÷=sinçA+÷=．

è2øè3ø2

æπöππ5ππ2ππ

又AÎç0,÷，则<A+<，所以A+=，得A=．

è2ø336333

ìπìπ

0<B<0<B<

ï2ï2ππ

又VABC为锐角三角形，所以í，即í，解得<B<．

π2ππ62

ï0<π-A-B<ï0<-B<

îï2îï32

abc2

由正弦定理==可得b+c=sinB+sinC

sinAsinBsinCsinA

2æ31ö

2éæ2πöù=çsinB+cosB+sinB÷=23sinB+2cosB

=êsinB+sinç-B