2017-2026十年高考数学专项汇编专题08 数列小题综合（三大考点67题）（教师版）

1

专题08数列小题综合

（三大考点，67题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

2026全国一卷、2026全国二卷、

2026北京卷、2026上海卷、20251.题型以选择、填空小题为主，属于

天津卷、2025全国二卷、2025上高考基础必考题型，整体难度偏低，位

海卷、2024全国甲卷、2024上海于试卷靠前位置。

卷、2024新课标Ⅱ卷、2023全国

2.核心考查等差数列通项公式、公差、

考点01等差数列甲卷、2023全国乙卷、2023新课

首项求解，前n项和公式运算、最值分

及其前n项和标Ⅰ卷、2020北京卷、2019全国

析，以及等差数列的判定。

Ⅰ卷、2019全国Ⅲ卷、2019北京

卷、2019江苏卷、2018全国Ⅰ卷、3.常结合常用逻辑用语、实际文化情

2018北京卷、2017全国Ⅰ卷、境、数列单调性、最值综合命题，侧重

2017全国Ⅱ卷、2017上海卷、公式活用与基础推理。

2017浙江卷、2017北京卷

2026全国一卷、2026全国二卷、

2026上海卷、2025北京卷、20251.选择、填空高频考查，包含多选题，

全国二卷、2025全国一卷、2025难度覆盖基础到中档，考频稳定。

上海卷、2024北京卷、2023全国

2.核心考查等比数列通项、公比、前

甲卷、2023天津卷、2023新课标

考点02等比数列n项和计算，等比数列判定、增减性分

Ⅱ卷、2023上海卷、2023北京卷、

及其前n项和析。

2023全国乙卷、2022北京卷、

2021全国甲卷、2021新高考全国3.命题素材丰富，结合古代数学文化、

Ⅱ卷、2019全国Ⅰ卷、2018北京音律、度量衡、集合综合设问，常与等

卷、2018江苏卷、2017全国Ⅱ卷、差数列交叉考查，综合性较强。

2017全国Ⅲ卷、2017江苏卷

2026北京卷、2026天津卷、2024

1.以选择、填空压轴小题为主，难度

上海卷、2023北京卷、2022浙江

中等偏上，是数列小题核心拉分考点。

考点03数列递推卷、2022全国乙卷、2021浙江卷、

2020浙江卷、2020全国Ⅰ卷、2.核心考查递推数列的单调性、取值

2019浙江卷、2017上海卷范围、项的规律、前n项和求解，结合

1

Sn与an关系转化运算。

3.常结合新定义、卫星探测、高阶数

列等新颖情境，侧重逻辑推理与规律探

究能力，区分度较高。

考点01等差数列及其前n项和

1.（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的

历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为

a(i1,2,,12)a1aa3aa5aaa

i，其中1，23，45，且6，7，…，12是一个首项为7，公差为2的

aaa

等差数列．将1，2，…，12分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差

为d(d0)的等差数列，则d（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】B

5

abb1d18

【分析】由条件求出数列n的前12项的和，设新数列为n，设其公差为d，由条件可得2，

结合选项判断即可.

a1aa3aa5a72i62i5

【详解】由已知1，23，45，i，i6,7,8,9,10,11,12，

b

设新数列为n，n1,2,3,4,5,6，

b

由已知数列n为等差数列，设其公差为d，d0，

ab

又n的前12项都为奇数，n所有项都为偶数，

b

由已知d为正偶数，1为正偶数，

655

6b1d108b1d18

则2，故2，

b13

若d2，则1，矛盾，

b3

若d6，则1，矛盾，

1

b2

若d8，则1，矛盾，

b8baa8baa12baa16

若d4，则1，此时可取116，227，348，

baa20baa24baa28

4311，5512，6910，满足要求.

2

Sn8nan

2.（2025·天津·高考真题）n，则数列的前12项和为（）

A．112B．48C．80D．64

【答案】C

aSSaa

【分析】先由题设结合nnn1求出数列n的通项公式，再结合数列n各项正负情况即可求解.

S=n28n

【详解】因为n，

aS=12817

所以当n1时，11，

aSS=n28nn128n12n9

当n2时，nnn1，

a7

经检验，1满足上式，

a2n9nN*a2n90n4a2n90n5

所以n，令n，n，

aT

设数列n的前n项和为n，

2

anTS48416

则数列的前4项和为44

a

数列n的前12项和为

T12a1a2a12a1a2a3a4a5a6a12

2SS21612281280

412.

故选：C

SaS6,S5,S

3.（2025·全国二卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和.若35则6（）

A．20B．15C．10D．5

【答案】B

aa

【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项1和公差d的方程求出首项1和公差d，再由等

差数列前n项和公式即可计算求解.

1

3a13d6d3

a5a10d5a5

【详解】设等差数列n的公差为d，则由题可得11，

S6a15d651515

所以613.

故选：B.

aSS1aa

4.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列n的前n项和为n，若9，则37（）

72

A．2B．3C．1D．9

【答案】D

a

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1和d来处理，亦可用等差数列的性质进行

处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

98

S9ad19a36d1

S1911

由9，根据等差数列的求和公式，2，

22

a3a7a12da16d2a18d(9a136d)

又99.

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

aaaaS1

根据等差数列的性质，1937，由9，根据等差数列的求和公式，

9(a1a9)9(a3a7)2

S91a3a7

22，故9.

故选：D

方法三：特殊值法

12

S919a1a1a3a72a1

不妨取等差数列公差d0，则9，则9.

故选：D

SaSSa1a

5.（2024·全国甲卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和，已知510，5，则1（）

7717

A．2B．3C．3D．11

【答案】B

SSa0a

【分析】由510结合等差中项的性质可得8，即可计算出公差，即可得1的值.

SSaaaaa5a0a0

【详解】由1056789108，则8，

1

aa117

85aa4d14

ad15

则等差数列n的公差33，故33.

故选：B.

Saaa10,aa45S

6.（2023·全国甲卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和．若2648，则5（）

A．25B．22C．20D．15

【答案】C

a

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列n的公差和首项，再根据前n项和公式即可解出；

a

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列n的公差，再根据前n项和公式的性质即可解出．

aa

【详解】方法一：设等差数列n的公差为d，首项为1，依题意可得，

aaada5d10a3d5

2611，即1,

aaa3da7d45d1,a2

又4811，解得：1，

54

S55a1d521020

所以2．

故选：C.

aa2a10aa45a5a9

方法二：264，48，所以4，8，

aa

d841

aad514

从而84，于是34，

S5a20

所以53．

故选：C.

2

aScosanN*Sa,b

7.（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列n的公差为3，集合n，若，

则ab（）

1

1

A．－1B．2C．0D．2

【答案】B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理

作答.

2π2π2π

aa(n1)n(a)

{a}n11

【详解】依题意，等差数列n中，333，

2π2π

ycos[n(a)]

1cosa

显然函数33的周期为3，而nN，即n最多3个不同取值，又

1

{cosa|nN}{a,b}

n，

cosa,cosa,cosacosacosacosacosacosacosacosa=cosacosa

则在123中，123或123或132

2π4π

coscos()coscos()

于是有3或3，

2ππ

()2kπ,kZkπ,kZ

即有3，解得3；

4π2π

()2kπ,kZkπ,kZ

或者3，解得3；

ππ4πππ1

abcos(kπ)cos[(kπ)]cos(kπ)coskπcos2kπcos

所以kZ，333332或

2π1

abcos(kπ)coskπ

32.

故选：B

Sn

Saa{}

8.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记n为数列n的前n项和，设甲：n为等差数列；乙：n为等差

数列，则（）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判

断作答.，

aa

【详解】方法1，甲：n为等差数列，设其首项为1，公差为d，

n(n1)Snn1ddSn1Snd

Snna1d,a1dna1,

则2n222n1n2，

S

{n}

因此n为等差数列，则甲是乙的充分条件；

SSn1SnnSn1(n1)Snnan1Sn

{n}

反之，乙：n为等差数列，即n1nn(n1)n(n1)为常数，设为t，

naS

n1nt

Snatn(n1)S(n1)atn(n1),n2

即n(n1)，则nn1，有n1n，

ana(n1)a2tnaa2t

两式相减得：nn1n，即n1n，对n1也成立，

a

因此n为等差数列，则甲是乙的必要条件，

1

所以甲是乙的充要条件，C正确.

n(n1)

Snad

aaan1

方法2，甲：n为等差数列，设数列n的首项1，公差为d，即2，

Sn(n1)ddSn

a1dna1{}

则n222，因此n为等差数列，即甲是乙的充分条件；

SnSn1SnSn

{}D,S1(n1)D

反之，乙：n为等差数列，即n1nn，

SnSn(n1)DS(n1)S(n1)(n2)D

即n1，n11，

SSS2(n1)D

当n2时，上两式相减得：nn11，当n1时，上式成立，

aa2(n1)Daaa2nD[a2(n1)D]2D

于是n1，又n1n11为常数，

a

因此n为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

aa9a1Taa…a(n1,2,…)

9.（2020·北京·高考真题）在等差数列n中，1，5．记n12n，则数列

T

n（）．

A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大

项和最小项.

aa19

d512

【详解】由题意可知，等差数列的公差5151，

aan1d9n122n11

则其通项公式为：n1，

aaaaa0a1a

注意到1234567，

T0T0i6,iN

且由5可知i，

T

ia1i7,iN

iT

由Ti1可知数列n不存在最小项，

a9,a7,a5,a3,a1,a1

由于123456，

TT63T6315945

故数列n中的正项只有有限项：2，4.

1

TT

故数列n中存在最大项，且最大项为4.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属

于中等题.

S{a}S0，a5

10.（2019·全国I卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和．已知45，则

12

2Sn2n

a2n5a3n10S2n8nn

A．nB．nC．nD．2

【答案】A

4(72)

S100

a54

【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，5，2，

S0,aSS252850105

排除B，对C，4554，排除C．对D，

125

S40,a5S5S452505

22，排除D，故选A．

d

S44a1430

2a13

aa4d5d2a2n5

【详解】由题知，51，解得，∴n，故选A．

【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数

列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．

Sa3SSSa2a

11.（2018·全国I卷·高考真题）设n为等差数列n的前n项和，若324，1，则5

A．12B．10C．10D．12

【答案】B

a

【详解】分析：首先设出等差数列n的公差为d，利用等差数列的求和公式，得到公差d所满足的等量

aa4d21210

关系式，从而求得结果d3，之后应用等差数列的通项公式求得51，从而求得正

确结果.

详解：设该等差数列的公差为d，

3243

3(32d)22d42d

根据题中的条件可得22，

aa4d21210

整理解得d3，所以51，故选B.

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，

aa和d

结合等差数列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差数列的通项公式得到5与1的关系，从而

1

求得结果.

{x}xan2bnc*

12.（2017·上海·高考真题）已知a、b、c为实常数，数列n的通项n，nN，则“存在

*

kN，

xxx

使得100k、200k、300k成等差数列”的一个必要条件是（）

A．a0B．b0C．c0D．a2bc0

【答案】A

x,x,x

【详解】存在kN，使得100k200k300k成等差数列，可得

222

2[a(200k)b(200k)c]a(100k)b(100k)ca(300k)b(300k)c，

x,x,x

化简可得a0，所以使得100k200k300k成等差数列的必要条件是a0.

13.（2017·全国I卷·高考真题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习

数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已

知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是

20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N

项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440B．330

C．220D．110

【答案】A

【详解】由题意得，数列如下：

1,

1,2,

1,2,4,

k1

1,2,4,,2

k(k1)

12k

则该数列的前2项和为

k1k1

Skk11121222k2

2，

k(k1)

100k1k

要使2，有k14，此时k22，所以k2是第k1组等比数列1,2,,2的

t1t

部分和，设k212221，

所以k2t314，则t5，此时k25329，

1

2930

N5440

所以对应满足条件的最小整数2，故选A.

点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体

含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难

点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并

不能放在一个数列中，需要进行判断.

S{a}

14.（2017·全国I卷·高考真题）（2017新课标全国I理科）记n为等差数列n的前n项和．若

aa24S48{a}

45，6，则n的公差为

A．1B．2

C．4D．8

【答案】C

65

S6ad6a15d48

aaa3da4d2a7d24611

【详解】设公差为d，45111，2，联立

2a17d24

,

6a15d48

1解得d4，故选C.

{a}

点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如n为等差数列，若

aaaa

mnpq，则mnpq.

aS"S+S2S"的

15.（2017·浙江·高考真题）已知等差数列n的公差为d,前n项和为n,则“d>0”是465

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

SS2S10a21d2(5a10d)dSS2S0

【详解】由46511，可知当d0时，有465，即

S4S62S5S4S62S5

，反之，若，则d0，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件，选C．

SS2Sd

【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，通过套入公式与简单运算，可知465，结合

充分必要性的判断，若pq，则p是q的充分条件，若pq，则p是q的必要条件，该题“d0”“

SS2S0

465”，故互为充要条件．

Saa1a5

16.（2026·全国二卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和，若1，4，则

1

S

6__________．

【答案】24

【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可.

aan1d

【详解】由等差数列通项公式n1，

a5,a15141d

代入41可得，解得d2.

6aa

S16

aa5d15296

因为61，所以2，

S3193824

故6.

aSS6a30

17.（2026·北京·高考真题）已知等差数列n的前n项和为n，且66，则公差d________，

SSa

若n5恒成立，则符合条件的1的一个取值为________．

8a10

【答案】29（答案不唯一，满足1即可）

【分析】利用等差数列前n项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差d的方程求解；由SnS5恒

Sa0a0

成立可知5为前n项和的最大值，结合数列的单调性得到5且6，代入公差d2解不等式即可得

a

到1的取值范围，选取范围内任意值即可.

n(n1)

Snad

n1aa(n1)d

【详解】等差数列的前n项和公式为2，通项公式为n1.

65

S6ad6a15d

611aa5d

∵2，61，

6a6(a5d)6a30d

∴611.

S6a306a15d6a30d30

由66，得11，

6a

消去等式两侧的1，整理得15d30，解得d2.

{a}SS

∵d20，等差数列n为递减数列，且n5恒成立，

a50

Sa0

∴5为前n项和的最大值，即数列前5项非负，第6项及以后非正，即6，

a14da180

a5da1008a10

代入通项公式得11，解得1，

a9

取1即为符合条件的一个取值.

1

aa0S0,1

18.（2026·上海·高考真题）已知等差数列n中，1，公差为d，其前n项和n在区间内至少有

两项，则公差d的取值范围是__________．

1

0,

【答案】3

【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.

S0,1

【详解】根据已知前n项和n在区间内至少有两项，则得出d0，

S0SS0,1,S0,1

且1，n是单调递增的，所以必须满足23，

1

d0,

Sd0,1,S3d0,1

所以23，所以3.

aa3

19.（2025·上海·高考真题）已知等差数列n的首项1，公差d2，则该数列的前6项和为

_________．

【答案】12

【分析】直接根据等差数列求和公式求解.

65

S66a1d12

【详解】根据等差数列的求和公式，2.

故答案为：12

aanc,S0

20.（2024·上海·高考真题）数列n，n7，c的取值范围为___________．

,4

【答案】

a

【分析】先利用等差数列的定义判定n为等差数列，再利用等差数列性质即可求解.

ancaan1cnc1

【详解】因为n，则n1n，

a

可知数列n为等差数列，

S7a74c0

则74，解得c4，

,4

所以c的取值范围为.

,4

故答案为：.

S{a}aa73aa5

21.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和，若34，25，则

S

10________.

1

【答案】95

a,d

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1，再利用等差数列的求和公式即可得到答案.

a2da3d7

11a14

a3ada4d5

【详解】因为数列n为等差数列，则由题意得11，解得d3，

109

S1010a1d10445395

则2.

故答案为：95.

{a}(nN*)Saaa0,S27

22.（2019·江苏·高考真题）已知数列n是等差数列，n是其前n项和.若2589，

S

则8的值是_____.

【答案】16.

【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.

aaaada4da7d0

258111

98

S99a1d27

【详解】由题意可得：2，

a1587

S88a1d4028216

解得：d2，则2.

【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，

a,d

灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1的方程组.

23.（2019·北京·高考真题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn

的最小值为__________．

【答案】0.-10.

a

【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得5的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最

小值.

aS5a10a2,a3daa1aa2d0

【详解】等差数列n中,53,得32,公差32,53,

aa0aSSS

由等差数列n的性质得n5时,n,n6时,n大于0,所以n的最小值为4或5,即为10.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基

本运算能力的考查.

Saa5,a13

24.（2019·全国III卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和，若37，则

1

S

10___________.

【答案】100

【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.

a3a12d5a1

,1,

aa6d13

【详解】71得d2

109109

S10ad1012100.

10122

【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和

公式是解题的关键．

a≠0，a3a

25.（2019·全国III卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，121，则

S

10

S

5___________.

【答案】4.

a

【分析】根据已知求出1和d的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.

a3aad3a2ad

【详解】因21，所以11，即1，

109

10ad

1100a

214

S1054

25a1

5a1d

所以S52．

【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用