高考数学一轮复习 题库 第5节 古典概型、概率的基本性质

第5节古典概型、概率的基本性质课标要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时,可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.【知识梳理】1.古典概型(1)两个特征有限性(2)计算公式设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.2.概率的性质性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1;性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0;性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B);性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).[常用结论与微点提醒]互斥事件概率加法公式的推广:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本点是“发芽与不发芽”.()(2)“在区间[-3,2]上任取一个数,求它取自[-3,0]的概率属于古典概型.()(3)不可能事件发生的概率为0,必然事件发生的概率为1.()(4)若P(A)+P(B)=1,则A,B互相对立.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1),两个样本点是“发芽”与“发不发芽”,因在适宜条件下,所以一定发芽,样本点不具备等可能性;对于(2),样本空间是无限的,故都不属于古典概型;(4)P(A)+P(B)=1时,A,B不一定对立,如掷骰子一次A为“掷出偶数点”,B为“掷出点数不大于3”,P(A)+P(B)=1,但A,B不对立.2.(苏教必修二P283T1原题)某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,那么下列说法中正确的是()A.一定不会淋雨 B.淋雨机会为3C.淋雨机会为12 D.淋雨机会为答案D解析样本点为“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下雨帐篷未到”是等可能的,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨机会为143.(湘教必修二P224例5改编)从1,2,3,…,30中任意选一个数,则这个数是偶数或能被3整除的概率为()A.16 B.1C.12 D.答案D解析设A=“选到偶数”,B=“选到能被3整除的数”,则P(A)=1530=1P(B)=1030=1P(AB)=530=1则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=234.(人教A必修二P245练习T1改编)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3且B⊆A,则P(A∪B)=,P(AB)=.

答案0.50.3解析P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3.考点一古典概型例1(1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.C.12 D.答案B解析法一画出树状图:甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为824=13,法二甲、乙、丙、丁四人排成一列共有A44=24其中甲或乙在排尾有C21·A3而丙在排头且甲或乙在排尾有C21A故丙不在排头且甲或乙在排尾有12-4=8种排法,故由古典概型所求概率为824=1(2)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练,从甲开始传球,甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人,以此类推,则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为()A.1427 B.C.1627 D.答案C解析按接球人分类:①不含甲,三人时,乙丙丁,乙丁丙,丙乙丁,丙丁乙,丁乙丙,丁丙乙,共6种;两人时,乙丙乙,丙乙丙,乙丁乙,丁乙丁,丁丙丁,丙丁丙,共6种;②含甲,乙甲乙,丙甲丙,丁甲丁,乙丙甲,乙甲丙,乙丁甲,乙甲丁,丙乙甲,丙甲乙,丁乙甲,丁甲乙,丙丁甲,丙甲丁,丁甲丙,丁丙甲,共15种,故共计27种.其中乙恰好接到1次球的情况有16种,所以所求概率为1627思维建模求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法:适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题,注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同;有时也可看成是无序的,如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法:在求一些较复杂的样本点个数时,可利用排列或组合的知识.训练1(1)(2025·1月八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8.现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.

答案3解析根据题意,8张卡片上的所有数字之和为36,所以抽取的3张卡片上的数字之和为18,只有三种情况:3+7+8,4+6+8,5+6+7,所以所求概率为p=3C83(2)(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.

答案1解析因为甲出卡片1一定输,出其他卡片有可能赢,所以四轮比赛后,甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢,所以只有1种组合:3-2,5-4,7-6,1-8.若甲的总得分为2,有以下三类情况:第一类,当甲出卡片3和5时赢,只有1种组合,为3-2,5-4,1-6,7-8;第二类,当甲出卡片3和7时赢,有3-2,7-4,1-6,5-8或3-2,7-4,1-8,5-6或3-2,7-6,1-4,5-8,共3种组合;第三类,当甲出卡片5和7时赢,有5-2,7-4,1-6,3-8或5-2,7-4,1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6,1-8,3-4或5-4,7-6,1-2,3-8,共7种组合.综上,甲的总得分不小于2共有12种组合,而所有不同的组合共有4×3×2×1=24(种),所以甲的总得分不小于2的概率P=1224=1考点二概率基本性质的应用例2从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里,遇到红灯个数的概率如表所示:红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03求:(1)表中字母a的值;(2)至少遇到4个红灯的概率;(3)至多遇到5个红灯的概率.解(1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.(2)设事件A为“遇到红灯的个数为4”,事件B为“遇到红灯的个数为5”,事件C为“遇到红灯的个数为6个及6个以上”,则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,因为事件A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)设事件D为“遇到6个及6个以上红灯”,则“至多遇到5个红灯”为事件D.则P(D)=1-P(D)=1-0.03=0.97.思维建模复杂事件概率的求解方法(1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其对立事件,通过求其对立事件的概率,然后转化为所求问题.训练2(1)(2025·济南质检)在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则在一次试验中,事件A∪B发生的概率为()A.13 B.1C.23 D.答案C解析掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果,依题意知P(A)=26=13,P(B)=46所以P(B)=1-P(B)=1-23=1因为B表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与B互斥,从而P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+13=(2)(多选)已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=13,P(B)=16,则(A.P(A)=2B.13≤P(A+B)≤C.若A与B互斥,则P(A∪B)=4D.一定有B⊆A答案AB解析对于A,因为P(A)=13所以P(A)=1-P(A)=1-13=23,故A对于B,因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=12-P(AB)又0≤P(AB)≤P(A),且0≤P(AB)≤P(B),则0≤P(AB)≤16,所以13≤12-P(AB)即13≤P(A+B)≤12,故B对于C,因为A与B互斥,所以P(AB)=0,由B项知P(A∪B)=12≠49,故C对于D,记事件A=“抛掷一枚骰子,向上的点数小于3”,事件B=“抛掷一枚骰子,向上的点数为4”,则满足P(A)=13,P(B)=1但B⊆A不成立,故D错误.考点三古典概型的综合应用例3(2025·黑龙江联考)2025年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴.某中学寒假社会劳动与实践活动小组对某市市民发放了3000份问卷,调查市民对春节联欢晚会的满意度情况,从收回的问卷中随机抽取300份进行分析,其中女性与男性市民的人数之比为1∶1,统计结果如表所示:女性男性合计满意120不满足60合计用样本估计总体,将频率视为概率.(1)完成2×2列联表,依据小概率值α=0.01的独立性检验,判断能否认为市民对春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系;(2)分别估计该市女性与男性市民对春节联欢晚会满意的概率;(3)在该市对春节联欢晚会满意的市民中按性别以分层随机抽样的方式抽取7人,再从这7人中随机抽取2人进行电话采访,求恰好有1男1女被电话采访的概率.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(α0.100.050.01xα2.7063.8416.635解(1)依题意得2×2列联表:女性男性合计满意12090210不满足306090合计150150300所以χ2=300×(120×60-30×90)2对照临界值表知,依据小概率值α=0.01的独立性检验,认为市民对春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系.(2)由(1)得该市女性市民对春节联欢晚会满意的概率p1=120150=4男性市民对春节联欢晚会满意的概率p2=90150=3(3)根据2×2列联表可得这7人中男性市民有3人,女性市民有4人,再从这7人中随机抽取2人,样本点的个数为C72设事件M为“恰好有1男1女被电话采访”,则事件M包含的样本点的个数为C31故所求概率P(M)=1221=4思维建模有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息,准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.训练3某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[240,260),[260,280),[280,300]的三组用户中,用分层随机抽样的方法抽取6户居民,并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目,求参加节目的2户来自不同组的概率.解(1)由(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x+0.0050+0.0025)×20=1得x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数是220+2402因为(0.0020+0.0095+0.0110)×20=0.45<0.5,且(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125)×20=0.7>0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.0020+0.0095+0.0110)×20+0.0125×(a-220)=0.5,解得a=224,所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15(户),月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.0025×20×100=5(户).所以在[240,260),[260,280),[280,300]中分别抽取3户、2户和1户.设参加节目的2户来自不同组为事件A,则P(A)=C31C2一、单选题1.下列试验是古典概型的是()A.在区间[-1,5]上任取一个数x,使x2-3x+2>0B.抛掷一枚质地不均匀的骰子,向上点数为6点的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率答案D解析A中,在区间[-1,5]内的数有无限多个,不满足有限性;B中,骰子不均匀,不能保证等可能性;C中,圆面内的点有无限多个,不满足有限性;D中,老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限,甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.2.(2025·济南模拟)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师,既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为()A.38 B.17C.45 D.答案C解析由题知公司有120人,荣获“优秀员工”称号的有85人,则未荣获“优秀员工”称号的35人中有35-14=21(人)是高级工程师,所以高级工程师共有75+21=96(人),所以被选中的员工是高级工程师的概率为p=96120=43.(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为()A.16 B.C.12 D.答案D解析从7个整数中随机取2个不同的数,共有C72=21(种)取法,取得的2个数互质的情况有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14种,根据古典概型的概率公式,得这2个数互质的概率为1421=24.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8答案B解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1-0.2-0.5=0.3.5.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16 B.1C.12 D.答案D解析记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级2名学生分别为b1,b2,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6个,其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4个,所以这2名学生来自不同年级的概率p=46=26.(2025·南京模拟)有5个形状大小相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是()A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率答案C解析对于A,B,两事件能同时发生,不是互斥事件,A,B错误;对于C,“至少取到1个红球”的概率p=C32+C31Cp=C22+C31对于D,“至多取到1个红球”的概率p=C22+C31C21C52=0.7,“至多取到17.已知二项式2x+1xn(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,现从展开式中任取2项A.27 B.3C.14 D.答案A解析因为二项式的展开式中只有第4项的二次项系数最大,所以展开式的总项数为7项,故n=6,Tr+1=C6r(2x)6-r1xr=C6r当r=0,2,4,6时,通项为有理项,故所求概率为p=C42C8.整数集就像一片浩瀚无边的海洋,充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质:220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284,同时284的所有真因数之和也等于220,他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”,“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284,1184和1210,2924和2620是3对“亲和数”,把这六个数随机分成两组,一组2个数,另一组4个数,则220和284在同一组的概率为()A.115 B.2C.715 D.答案C解析由题意可得一共有C62种分组方法,若要满足220和284在同一组,①220和284在2个数这一组中,有C22②220和284在4个数这一组中,有C42种分组方法.故所求概率p=C2二、多选题9.(2025·南阳模拟)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的值可以是()A.1312 B.5C.43 D.答案CD解析由题意可知0<即0<2-a<1,解得54<a≤410.(2025·衡水调研)中国篮球职业联赛中,某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表:投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是()A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27 D.P(B∪C)=0.55答案ABC解析由题意可知P(A)=55100=0.55P(B)=18100=0.18∵事件A∪B为事件C的对立事件,且事件A,B,C两两互斥,∴P(C)=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)=0.27,∴P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.45.11.(2025·西安调研)黄种人群中各种血型的人所占的比例如表:血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB型血的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,则()A.任找一个人,其可以给B型血的人输血的概率是0.64B.任找一个人,B型血的人能给其输血的概率是0.29C.任找一个人,其可以给O型血的人输血的概率为1D.任找一个人,其可以给AB型血的人输血的概率为1答案AD解析因为B型血、O型血的人可以给B型血的人输血,所以可以给B型血的人输血的概率为0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能给B型血、AB型血的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,故B错误;O型血的人只能接受O型血的人输血,故C错误;由任何血型的人都可以给AB型血的人输血,知D正确.三、填空题12.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为.

答案6解析从正方体的8个顶点中任取4个,有n=C84=704个点同一平面的有6+6=12个结果(共表面、与共对角面各6个),故p=1270=613.由于夏季炎热,某小区用电量过大,据统计,一天停电的概率为0.3,现在用数据0,1,2表示当天停电;用3,4,5,6,7,8,9表示当天不停电,现以两个随机数为一组,表示连续两天停电情况,经随机模拟得到以下30组数据.282179145674068953901457623093786344712867035382472310940243根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为.

答案0.4解析由题意可知连续两天中恰有一天停电的情况有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23,共12种,所以连续两天中恰好有一天停电的概率为123014.(2024·全国甲卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球,设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于12的概率为.答案7解析设3次取出的球上的数字依次为a,b,c,则共有A63=120则|m-n|=a+b2-a可得|a+b-2c|≤3.令(a',b',c')=(7-a,7-b,7-c),则|a'+b'-2c'|=|a+b-2c|,由对称性只须考虑c=1,2,3的情形,再由对称性,不妨设a<b,则:(1)c=1⇒1<a+b≤5⇒(a,b)=(2,3);(2)c=2⇒1<a+b≤7⇒a=1,b=3,4,5,6或(a,b)=(3,4);(3)c=3⇒3≤a+b≤9⇒(a,b)=(1,2),(4,5)或a=1,2,b=4,5,6.故共有(1+5+8)×2×2=56(种)可能情况,故所求概率p=56120=7四、解答题15.某中学组织了一次数学