高考数学一轮复习（培优版） 第三章　必刷大题6　导数的综合问题

必刷大题6导数的综合问题[分值：60分]1.(13分)已知函数f(x)=xex-mx2.(1)求曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(4分)(2)若函数g(x)=f(x)-ex在x=0处取到极小值，求实数m的取值范围.(9分)解(1)由题意，f'(x)=(x+1)ex-2mx，则f'(0)=1，又f(0)=0，故所求切线方程为y=x.(2)由题意，g(x)=xex-mx2-ex，故g'(x)=xex-2mx=x(ex-2m).若m≤0，则ex-2m>0，故当x∈(-∞，0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，故当x=0时，函数g(x)取到极小值；若m>0，则令g'(x)=0，解得x=0或x=ln(2m)，要使函数g(x)在x=0处取到极小值，则需ln(2m)<0，即0<m<1此时当x∈(-∞，ln(2m))时，g'(x)>0，当x∈(ln(2m)，0)时，g'(x)<0，当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0，满足条件.综上，实数m的取值范围为-∞2.(15分)已知函数f(x)=a12x2-x+(x-2)ex((1)讨论函数f(x)的单调性；(8分)(2)若对∀x∈[2，+∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.(7分)解(1)因为f(x)=a12x2-x+(x-2)ex(则f'(x)=a(x-1)+(x-2+1)ex=(x-1)(ex+a)，①当a≥0时，ex+a>0，由f'(x)>0可得x>1，由f'(x)<0可得x<1，所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；②当-e<a<0时，0<-a<e，则ln(-a)<1，由f'(x)>0可得x<ln(-a)或x>1，由f'(x)<0可得ln(-a)<x<1，所以函数f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增，在(ln(-a)，1)上单调递减；③当a=-e时，f'(x)=(x-1)(ex-e)≥0在x∈R上恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增；④当a<-e时，-a>e，则ln(-a)>1，由f'(x)>0可得x<1或x>ln(-a)，由f'(x)<0可得1<x<ln(-a)，所以函数f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增，在(1，ln(-a))上单调递减.(2)f(x)=ax(x-2)2+(x=(x-2)e因为对任意的x≥2，有f(x)≥0，所以当x≥2时，ex+a2x≥0即a≥-2exx，令g(x)=-2则g'(x)=-2ex所以函数g(x)在[2，+∞)上单调递减，则g(x)max=g(2)=-e2，故a≥-e2，因此实数a的取值范围是[-e2，+∞).3.(15分)(2026·武汉模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函数；若f'(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间D上的凸函数.已知函数f(x)=xex+λln(x+1(1)若f(x)在[2，3]上为凹函数，求实数λ的取值范围；(6分)(2)已知F(x)=f(x-1)，且F(x)在(1，+∞)上存在零点，求实数λ的取值范围.(9分)解(1)令f'(x)=1-xex+λx+1=则m'(x)=x-2e依题意知，m'(x)≥0对任意的x∈[2，3]恒成立，则(x+1)2(x-2)ex≥λ在令n(x)=(x+1)2(x-2)ex=则n'(x)=1ex(-x3+3x2+3x=x+1ex(-x2+4x-1故n(x)在[2，3]上单调递增，故n(x)min=n(2)=0≥λ，则实数λ的取值范围为(-∞，0].(2)依题意得，F(x)=f(x-1)=x-1ex-1+λ若λ≥0，当x>1时，x-1ex-1>0，所以F(x)>0，F(x)在(1，+∞)上无零点，舍去；若λ<0，则F'(x)=λex-1-x2+2xxex-1，令g(则g'(x)=λex-1-2(x-1)<0，则g(x)在(1，+∞)上单调递减，且g(1)=λ+1，①若λ+1>0，即-1<λ<0，此时g(2)=λe<0，则存在m∈(1，2)，使得g(m)=0，即F'(m)=0，故F(x)在(1，m)上单调递增，在(m，+∞)上单调递减，所以F(m)>F(1)=0，当x>m时，F(x)=x-1ex-1+λlnx<x-1x+λlnx=1-1x+λln令1+λlnx<0，解得x>e因为e-1λ>e>m，且F(e所以存在唯一x1∈m，e-1λ，使得F(②若λ+1≤0，即λ≤-1，此时g(x)<0，F(x)在(1，+∞)上单调递减，又F(1)=0，所以F(x)<0，不符合题意，舍去.综上所述，实数λ的取值范围为(-1，0).4.(17分)(2025·南通模拟)已知函数f(x)=exsinx，g(x)=2ln(x+1)-x.(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程；(3分)(2)求证：当x∈0，π2时，f(x)>exg(x)；((3)求证：12ln(n+1)<sin12+sin14+…+sin12n<121+12+1(1)解因为f(x)=exsinx，所以f(0)=e0sin0=0，f'(x)=exsinx+excosx，所以切线斜率为f'(0)=e0sin0+e0cos0=1，所以函数f(x)在x=0处的切线方程为y-0=1×(x-0)，即x-y=0.(2)证明设t(x)=sinx+x-2ln(x+1)，所以t'(x)=cosx+1-2且t(0)=0，t'(0)=0.当x∈0，π设q(x)=t'(x)=cosx+1-2q'(x)=-sinx+2因为函数y=-sinx，y=2(x+1)则q'(x)在0，π又因为q'(0)=2>0，q'π2=-1+2π所以∃x0∈0，π2，使得q'(x且当0<x<x0时，q'(x)>0；当x0<x<π2时，q'(x)<0此时q(x)在(0，x0)上单调递增，在x0，又q(0)=0，qπ2=1-2π故对任意的x∈0，π2，t'(x)=q(则t(x)在0，π所以t(x)>t(0)=0.综上，当x∈0，π2时，t(x即sinx>2ln(x+1)-x，又ex>0，所以f(x)>exg(x).(3)证明因为n∈N*，所以0<12n≤12设m(x)=sinx-ln(x+1)，x∈0则m'(x)=cosx-1设n(x)=m'(x)，则n'(x)=-sinx+1因为函数y=-sinx，y=1(x+1)则n'(x)在0，π因为n'(0)=1>0，n'π2=-1+1π所以∃x1∈0，π2，使得n'(x当0<x<x1时，n'(x)>0；当x1<x<π2时，n'(x)<0所以m'(x)在(0，x1)上单调递增，在x1，又因为m'(0)=0，m'(x1)>0，m'π2=-1π∃x2∈x1，π2，使得m'(当0<x<x2时，m'(x)>0；当x2<x<π2时，m'(x)<0所以m(x)在(0，x2)上单调递增，在x2，因为m(0)=0，mπ2=1-lnπ2所以m(x)>0在0，π所以sinx>ln(x+1)在0，π令x=1所以sin12n>ln12所以sin12>ln32，sin14>ln54，sin16>ln76所以sin12+sin14+…+sin12n>ln32+ln54对∀n∈N*，2n+12n-所以ln2n+12所以2sin12ln>ln32+ln43+ln54+ln65+…+ln=ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln(2n+2)-ln(2n+1)=ln(n+1)，所以sin12+sin14+…+sin12n>12ln设p(x)=sinx-x0<则p'