2027新高考数学复习53A版4-5.3　复数

数学新高考适用第五章平面向量与复数5.3

复数目录CONTENTS考点1复数的概念及几何意义考点2复数的运算五年高考考点1复数的概念及几何意义1.★(2025全国一卷,1,5分)(1+5i)i的虚部为()A.-1

B.0

C.1

D.6

C

解析

(1+5i)i=i+5i2=i-5,所以虚部为1,故选C.2.★(2024新课标Ⅱ,1,5分)已知z=-1-i,则|z|=

()A.0

B.1

C.

D.2

C

解析∵z=-1-i,∴|z|=

=

,故选C.3.★(2023新课标Ⅱ,1,5分)在复平面内,(1+3i)·(3-i)对应的点位于()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限

A

解析

(1+3i)(3-i)=6+8i,对应的点(6,8)位于第一象限,故选A.4.★(2021新高考Ⅱ,1,5分)在复平面内,复数

对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限

A

解析

=

=

=

+

i,此复数在复平面内的对应点的坐标为

,该点在第一象限,故选A.5.★(2023全国乙文,1,5分)|2+i2+2i3|=()A.1

B.2

C.

D.5

C

解析|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=

,故选C.6.★(2023全国甲理,2,5分)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=()A.-2

B.-1

C.1

D.2

C

解析因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i-ai2=2a+(1-a2)i=2,所以

解得a=1,故选C.7.★(2022全国乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+a

+b=0,其中a,b为实数,则

()A.a=1,b=-2

B.a=-1,b=2C.a=1,b=2

D.a=-1,b=-2

A

解析由题知

=1+2i,所以z+a

+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a

+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以

解得

故选A.三年模拟1.★(2026届湖北武汉质检,2)若复数z=3+i-2i3,则|z|=

()A.

B.

C.

D.3

D

解析由题可知:z=3+i-2i3=3+3i,所以|z|=

=3

.故选D.2.★(2026届广东佛山联考,2)复数z=i(3+4i),则z的虚部为

()A.3

B.-4

C.3i

D.4i

A

解析因为z=i(3+4i)=3i+4i2=-4+3i,所以z的虚部为3.故选A.3.★(2026届浙南名校联盟联考,1)设m∈R,若(1+mi)(1-i)=2,则m=

()A.-2

B.-1

C.1

D.2

C

解析

(1+mi)(1-i)=1-i+mi+m=1+m+(m-1)i=2,所以1+m=2且m-1=0,解得m=1.故选C.4.★(2026届山东青岛调研,2)复数z=

的共轭复数

在复平面上对应的点位于

(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限

D解析因为z=

=

=

+

i,所以

=

-

i,则

在复平面上对应的点为

,位于第四象限,故选D.5.★(2026届陕西师大附中开学考,2)若复数z为纯虚数,且z=

,m∈R,则m=

()A.-

B.

C.-2

D.2

D

解析由题意,复数z=

=

=

+

i,因为复数z=

为纯虚数,所以m-2=0且2m+1≠0,解得m=2.故选D.6.★★(2025届辽宁名校联盟联考,2)已知1+i是关于x的方程x2-ax+b=0的一个根,a∈R,b

∈R,则a+b=()A.0

B.2

C.1

D.4

D

解析若实系数一元二次方程有虚根,则两虚根互为共轭复数,故1-i是该方程的另一个

根,故a=(1+i)+(1-i)=2,b=(1+i)(1-i)=2,所以a+b=4.故选D.7.★★(2026届河北正定中学开学考,2)若复数(3+i)·(a-i)在复平面内对应的点在第四象

限,则实数a的取值范围是

()A.

∪(3,+∞)B.

C.(3,+∞)D.

B

解析

因为(3+i)(a-i)=3a+1+(a-3)i在复平面内对应的点(3a+1,a-3)在第四象限,所以

解得-

<a<3,故a的取值范围是

.故选B.8.★★(2026届湖北黄冈调研,3)已知z∈C,且|z-1|=1,i为虚数单位,则|z-2i|的最大值是

()A.

+1

B.

-1

C.2

D.

A

解析记z=x+yi,x,y∈R,则|z-1|=|(x-1)+yi|=1,所以

=1,即(x-1)2+y2=1,即z对应的点的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,|z-2i|=

表示圆上的点到(0,2)的距离,所以|z-2i|的最大值为

+1=

+1,故选A.

9.★★(多选)(2026届福建厦门双十中学开学考,9)已知复数z,z1,z2,

是z的共轭复数,则下列说法正确的是(

)A.z·

=|z|2B.若|z|=1,则z=±1C.|z1·z2|=|z1|·|z2|D.若|z-1|=1,则|z+1|的最小值为1

ACD

解析对于A,设z=a+bi(a,b∈R),则z·

=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z|2,因此A正确;对于B,令z=i,满足|z|=|i|=1,因此B错误;对于C,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),【思路探究:设复数的代数形式,用实数运算

解决复数问题,这是解决复数问题的基本手段】则z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,所以|z1z2|=

=

=

·

=|z1||z2|,因此C正确;对于D,设z=a+bi(a,b∈R),则|z-1|=|a-1+bi|=

=1,【方法技巧:复数模的问题可以借助复数的几何意义解决】即(a-1)2+b2=1,表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆,|z+1|=

表示圆上的点到(-1,0)的距离,故|z+1|的最小值为

-1=1,因此D正确.故选ACD.10.★★(多选)(2026届黑龙江齐齐哈尔质量检测,9)已知z=2+i为关于x的方程x2-ax+5=0

(a∈R)在复数范围内的一个根,则

(

)A.|z2|=5B.a=4C.

+2为纯虚数D.2-i为关于x的方程x2-ax+5=0的另一个根

ABD

解析

z2=3+4i,所以|z2|=5,A正确;若实系数一元二次方程有虚根,则两虚根互为共轭复数,故2-i为该方程的另一个根,则a

=2+i+2-i=4,B,D正确;

+2=

+2=2-i+2=4-i,不为纯虚数,C错误.故选ABD.11.★★(2025届浙江Z20名校联盟第一次联考,13)若复数z满足z+

=2,z·

=2,则|z-2

|=____.解析设z=a+bi,a,b∈R,则z+

=2a=2,得a=1,由z·

=a2+b2=1+b2=2,得b2=1,因为z-2

=-a+3bi,所以|z-2

|=

=

.五年高考考点2复数的运算1.★(2025全国二卷,2,5分)已知z=1+i,则

=()A.-i

B.i

C.-1

D.1

A

解析因为z=1+i,所以

=

=-i,故选A.2.★(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)=

()A.-2+4i

B.-2-4i

C.6+2i

D.6-2i

D

解析

(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.3.★(2024全国甲理,1,5分)若z=5+i,则i(

+z)=()A.10i

B.2i

C.10

D.2

A

解析∵

=5-i,∴i(

+z)=i(5-i+5+i)=10i,故选A.4.★(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(

+i)=

()A.6-2i

B.4-2i

C.6+2i

D.4+2i

C

解析

z(

+i)=

z+zi=22+(-1)2+(2-i)i=5+2i-i2=6+2i.归纳总结设z=a+bi(a,b∈R),则

·z=a2+b2.5.★(2024新课标Ⅰ,2,5分)若

=1+i,则z=

()A.-1-i

B.-1+i

C.1-i

D.1+i

C

解析依题意知z=(z-1)(1+i)=z(1+i)-1-i,则z=

=

=1-i.故选C.6.★(2023全国甲文,2,5分)

=()A.-1

B.1

C.1-i

D.1+i

C

解析

=

=

=1-i.故选C.7.★(2023全国乙理,1,5分)设z=

,则

=

()A.1-2i

B.1+2i

C.2-i

D.2+i

B

解析

z=

=

=

=-(2i-1)=1-2i,则

=1+2i,故选B.8.★(2023新课标Ⅰ,2,5分)已知z=

,则z-

=()A.-i

B.i

C.0

D.1

A

解析

z=

=

=

=-

i,∴

=

i,∴z-

=-i,故选A.9.★(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+

=

()A.-2

B.-1

C.1

D.2

D

解析由题意可知1-z=

=-i,所以z=1+i,所以z+

=(1+i)+(1-i)=2.故选D.10.★(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+

i,则

=

()A.-1+

i

B.-1-

i

C.-

+

i

D.-

-

i

C

解析因为z=-1+

i,所以

=

=

=-

+

i,故选C.三年模拟1.★(2026届湖北部分名校月考,1)i2025=

()A.1

B.-1

C.i

D.-i

C

解析

i2025=i506×4+1=i,故选C.2.★(2026届安徽滁州教学质量监测,1)已知z=-2+i,则z·

=

()A.

B.3

C.5

D.6

C

解析

z·

=(-2+i)(-2-i)=(-2)2-i2=5.故选C.3.★(2026届江苏五市十一校阶段联测,2)已知i是虚数单位,则下列运算结果为实数的是

()A.i2(2+i)

B.i(2-i)

C.i(i-1)2

D.(1-i)2

C

解析

i2(2+i)=(-1)(2+i)=-2-i;i(2-i)=2i+1;i(i-1)2=i(i2-2i+1)=i·(-2i)=2;(1-i)2=1-2i+i2=-2i.故选

C.4.★(2026届广西示范性高中联合调研,2)已知复数z=

,则z=

()A.1+2i

B.1-2i

C.-2+i

D.-2-i

D

解析

z=

=

=

=

=-2-i.故选D.5.★(2026届广东深圳中学摸底,1)已知

=2+i,则z·

=()A.

B.

C.

D.

B

解析因为

=2+i,所以z=

=

=

-

i,所以

=

+

i.因此z·

=

=

+

=

.故选B.6.★(2026届浙江杭州一模,1)已知i为虚数单位,则

=()A.1+2i

B.1-2i

C.2-i

D.-1+2i

B

解析

=

=1-2i.故选B.7.★(2026届山西吕梁阶段检测,2)已知

=i,则z=

()A.i

B.-i

C.1+i

D.1-i

C

解析

z=i(1-i)=1+i,故选C.8.★(2026届