福建省莆田市2027届高三上学期开学质量诊断数学试卷（含解析）

福建莆田市2027届高三毕业班开学质量诊断练习数学试题一、单选题1．若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．42．设全集，集合，则（

）A． B． C． D．3．双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．5．若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．56．设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（

）A．4 B． C． D．7．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（

）附：二十四节气表立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种夏至小暑大暑立秋处暑白露秋分寒露霜降立冬小雪大雪冬至小寒大寒A．分 B．分 C．分 D．分8．有6个除颜色外完全相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个球，直到取出2个黄球时停止取球．记为停止取球时所取出的球的个数，则的数学期望为（

）A．2 B． C．3 D．二、多选题9．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则在上的投影向量为10．在棱长为2的正方体中（

）A．直线与是异面直线 B．平面平面C．直线到平面的距离为 D．四面体的外接球的体积为11．已知抛物线：（）的焦点为，准线为：，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则（

）A．B．C．若弦的中点到的距离为，则的斜率为D．设交于点，则三、填空题12．已知是等比数列的前项和，且，，则________．13．直线被圆所截得的弦长为_____．14．定义：，已知，，…，是10个互不相等的实数的一个排列，且满足，则该排列的所有可能结果有________个．四、解答题15．在中，角所对的边分别为，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的面积．16．近年来AI生成的艺术品备受关注．某艺术机构为了解购买AI生成的艺术品的意愿与性别的关系，随机调查了100名顾客，得到如下列联表：愿意不愿意合计女性451560男性251540合计7030100(1)根据小概率值的独立性检验，分析购买AI艺术品的意愿是否与性别有关；(2)从这100名顾客中随机抽取两名，已知其中至少有一名为女性，求这两名顾客都愿意购买AI艺术品的概率．附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.63517．已知和为椭圆：（）上两点．(1)求的方程；(2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程．18．如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，将沿翻折至．(1)证明：；(2)若平面平面，求在平面内的射影的轨迹的长度；(3)当点与重合时，记二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．19．已知函数，．(1)当时，求的单调区间；(2)证明：；(3)当时，，求的取值范围．

1．B【详解】，又，可得2．A【详解】因为不等式的解为，所以全集，因为集合所以.3．C【详解】双曲线的，，则，离心率为．故选：C．4．C【详解】求导得，所以曲线在点处的切线的斜率为.所以曲线在点处的切线为，即.5．C【详解】正弦型函数图象的对称轴性质可知，当时，相位满足，化简得，结合，当取的最小值为2.6．B【详解】因是定义在上的偶函数，则，又满足．则，令，得.7．C【详解】由题意知，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，“夏至”时日影长度最小，为160分，“夏至”之后，每往后一个节气日影长度增加分,则“夏至”对应等差数列的首项，公差，则.由二十四节气表可知，“立秋”是该数列的第4项，则.故“立秋”时日影长度为分.8．D【详解】由题意知X是停止时取出球的个数，X的可能取值：，时，，时，，时，，时，，数学期望．9．CD【详解】对于A，，故A错误；对于B，若，则，解得，故B错误；对于C，若，则，则，则，故C正确；对于D，若，则，则在上的投影向量为，故D正确.10．ABC【详解】对于A，结合正方体的性质易知，直线与不平行且不相交，故直线与是异面直线，A正确.对于B，正方体中，易知，.因为平面，平面，所以平面.同理平面.因为，平面，，所以平面平面，B正确.对于C，因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设为，易知是边长为的等边三角形，则.又，则，所以，故直线到平面的距离为，C正确.对于D，四面体的外接球就是正方体的外接球，设半径为，则，所以.所以外接球体积为，D错误.11．ABD【详解】对于A，由准线方程为，可得，故A正确；对于B，由选项A可得，由题设可得直线，斜率均存在且不为0，则设，因，则.将两直线与抛物线联立，可得.设，由韦达定理可得：，又由抛物线定义可得，从而，当且仅当两直线倾斜角分别为时取等号；对于C，设中点为，结合选项B可得，则到的距离为，从而的斜率为；对于D，将与联立可得，又因，则，注意到，则，又易得，由射影定理，可得，则，又由射影定理可得，则.12．【详解】等比数列的公比为：，则.13．【详解】圆可化为所以圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为.14．【详解】设排列为，条件等价于，即不能同时大于其左右两个相邻元素，也就是不是局部最大值，在满足条件的排列中，最大值必定位于第位或第位，理由如下：假设最大值位于某个内部位置，则，但与条件矛盾，故只能在两端，设表示个互不相等的实数满足类似条件（内部位置满足）的排列数，最大值可放在第位或第位（共种选择），去掉后，剩下的个数仍需满足同样的内部条件（因最大值在端点处不影响其他内部位置），故，由递推式，逐项展开得，对于（只有一个数），没有内部位置，条件自然满足，所以，故，代入，得到．所以该排列的所有可能结果有种．15．(1)方法一：因为，所以，所以，即，所以，又，所以，即．方法二：由正弦定理得，，由余弦定理得，，整理得，，即，所以，所以．(2)【详解】（1）略（2）方法一：由（1）可得，，因为，所以，由余弦定理得，，所以，所以的面积．方法二：由（1）可得，，所以是以为顶点的等腰三角形，因为，所以，过作于，则，所以的面积．16．(1)购买艺术品的意愿与性别无关联(2)【详解】（1）零假设：购买艺术品的意愿与性别无关联．根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为购买艺术品的意愿与性别无关联.（2）设事件“所选的两名顾客至少有一名是女性”，事件“这两名顾客都愿意购买艺术品”，则.故所求的概率为.17．(1)(2)或【详解】（1）依题意得，，解得，所以的方程为．（2）法一：依题意可知，直线的斜率存在且不为零．设直线：，，，所以，联立，整理得，所以，设原点到的距离为，因为的面积与的面积相等，所以，得，所以，得依题意，与异号，所以，所以，解得，所以直线的方程为或．法二：依题意可知，直线的斜率存在且不为零．设直线：，，，所以，联立，得，所以，因为的面积与的面积相等，所以，所以，则，即.依题意，与异号，所以，则，解得，所以直线的方程为或．法三：依题意可知，直线的斜率存在且不为零．设直线：，，，所以，联立，得，所以，设原点到的距离为.因为的面积与的面积相等，所以，得，所以与的中点重合，又的中点，的中点，所以，所以，解得，所以直线的方程为或．18．(1)连接，作于，连接，由翻折性质知，，，，又，平面，，平面，又平面，．(2)(3)【详解】（1）略（2）法一：∵平面平面，平面平面，平面，，平面，为点在平面上的射影．又，可知的轨迹是以为直径的一段圆弧，∴当点从移动至时，的轨迹长度从增长至最大，∵点与重合，，又，，，在平面的射影的轨迹长度为；法二：以为原点，以向量，的方向为轴，轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则，∵平面平面，平面平面，平面，，平面，为点在平面上的射影，设，则，即，取中点，则，的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，且圆弧对应的圆周角为，∴该圆弧的长度为；（3）法一：以为原点，以向量，的方向为轴，轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则，，，过作的垂线，垂足为，求得，，二面角的平面角为，则，设平面的法向量为，，，由，，得，令，则，代入解得，即平面的一个法向量，直线的方向向量，设直线与平面所成角为，则，，单调递增，，，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．法二：作平面于点，连接，，平面，，又，，平面，，平面，又平面，，是二面角的平面角，，在中，，又，设直线与平面所成角为，又，所以，，单调递增，，，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．19．(1)单调递增区间是，单调递减区间是．(2)由（1）知，在上单调递减，所以当时，，即，由得，即，令，得，即，所以，，