福建省泉州市泉港区第二中学2027届高三上学期开学学情调研测试数学试卷（含解析）

泉港区第二中学2026-2027学年高三上学期开学学情调研测试数学试题一、单选题1．已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（

）A．8 B．9 C．10 D．122．设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（

）A． B． C． D．23．已知函数，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．4．已知集合，，则（

）A． B．C． D．5．若直线交抛物线于两点，则（

）A． B．4 C． D．86．若函数的最大值为，则（

）A．1 B．2 C．e D．7．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（

）A． B． C． D．8．设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（

）A． B． C．0 D．二、多选题9．给出下列命题，其中正确命题为（

）A．随机变量，若，则B．随机变量X服从正态分布，，则C．一组数据的线性回归方程为，若，则D．对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大10．若函数的部分图象如右图所示，且，则（

）A．B．是的一个对称中心C．D．11．数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，所以我们听到声音的函数是，设声音函数，函数则（

）A．关于中心对称 B．的最大值是C．是的一个周期 D．若恰有一个零点时，则的取值范围为三、填空题12．椭圆的离心率为________．13．已知∈（0，），且满足，，则______.14．设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______．四、解答题15．如图，在中，为边上一点，且.(1)求；(2)若，求.16．有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5．现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元.(1)若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望.(2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由.17．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离．18．已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2．(1)求C的方程：(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．（ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程；（ⅱ）求的取值范围．19．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；(2)若，求a的取值范围；(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．

1．B【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10，则中位数为.2．B【详解】因为向量，，则，因为，是平面内一组基底，所以，解得.3．A【详解】由可得，所以，，故曲线在处的切线方程为即，故选：A4．B【详解】,，因为，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.根据正弦函数的周期性，当时，函数值重复出现，所以，所以.5．D【详解】已知抛物线方程，则焦点，准线为，设，联立直线方程与抛物线方程得，则，因为直线过焦点，所以由抛物线焦点弦的性质可得．6．A【详解】的定义域为，当时，单调递增，无最大值，不合题意；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，即，又在上单调递增，，所以．故选：A.7．C【详解】由的底面半径，母线长，所以圆锥的高.由题可设圆柱的底面半径为()，高为.由得，即，截得.所以圆柱的侧面积所以当时，侧面积取得最大值为.8．D【详解】由题意得，随机变量X的取值为.则，，，，，，所以.9．AD【详解】A项，随机变量，若，则，解得，故A项正确；B项，由于随机变量X服从正态分布，，，，故B项错误；C项，一组数据的线性回归方程为，因为，则，由样本中心点在回归直线方程上得，；即，故C项错误；D项，对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D项正确．故选：AD.10．ABD【详解】由题意得：，故A正确；由，所以，又，当时，，所以，所以，所以是的一个对称中心，故B正确；又，所以，故D正确；所以，所以，又，所以，故C错误.11．ABD【详解】对于A，，关于中心对称，A选项正确；对于B，，所以是的一个周期，，令，即，解得或，所以或或，当时，，即函数单调递增；当时，，即函数单调递减；当时，，即函数单调递增；又当时，；当时，；所以，B选项正确；对于C，；不是的一个周期，C选项错误；对于D，由题意得，注意到，，，令，则，，令，，其中，则当时，取最小值，最小值为，若，即时，恒成立，从而在R上单调递增，又，则时，，时，，即时，递减，时，递增，从而有最小值，所以在R上递增，又，所以只一个零点，当时,存在，使得当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，又，所以在上有零点，且，不满足恰有一个零点，所以若恰有一个零点时，a的取值范围为，选项D正确.故选：ABD.12．/【详解】椭圆标准方程为，表示焦点在轴的椭圆，且，，所以，所以椭圆的离心率为.13．/【详解】因为，，所以，由得，即，所以，所以，得，所以．故答案为：14．【详解】由题知，令为数列的前项和，记，当时，，当时，，则，令连续三项作为一个组块，设这连续项为，若这项正好为连续的三个组块，则，可得，矛盾，无解；若这项中只有两个完整的组块，当这项下标为，则，相减可得，当这项下标为，则，两式相减得，所以，所以当时，最小，且为.15．(1)6；(2)3.【详解】（1）设，则，由余弦定理可得，即，得，所以.（2）由，得，则.由正弦定可得，解得.由余弦定理得，即，而，所以.16．(1)X的分布列为X01540P0.20.40.4期望为22元(2)甲应选择方案二，理由如下：设方案二的奖金金额为Y，设猜中动物类谜语的数量为，则，由题意，则，所以（元），因为，所以甲应选择方案二.【详解】（1）若甲选择方案一，则奖金金额为X可取0,15,40，设“猜对动物类谜语”为事件A，则，猜对“植物类谜语”为事件B，则，且A，B相互独立，则，，，所以X的分布列为X01540P0.20.40.4期望（元）.（2）略17．(1)证明：如图，连接，设，连接．因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点．因为为的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．(2)【详解】（1）略；（2）因为，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以．因为，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，，，．所以，，设平面的法向量为，则即，令，则，于是．所以点到平面的距离．18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）．【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率．则，，解得，，因此双曲线的方程为．（2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率，设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点，联立直线与双曲线方程，得，化简得，其中.由根与系数的关系，可得，，因为Q点在第三象限，所以，所以．因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点，因此，所以，由于，所以，，，所以，由于，，所以简化为，代入韦达定理，得，则，化简得，由于，解得，所以直线l的方程为，即.（ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角，直线QP即直线l，方程为，点，点，点，直线QP的斜率，直线QR的斜率，由于P，Q在直线上，有，，则，代入，则，设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则，因此，即，又因为单调递减，所以的取值范围．19．(1)不是，理由为：，，则不是中的元素.(2)；(3)证明：对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未知.首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点，当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有3个零