广东省茂名市化州市第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（含解析）

广东省化州市第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．某校高二年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高二年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（

）A．25 B．20 C．15 D．102．已知，，则等于（

）A． B． C． D．3．已知，且，则（

）A．-5 B．3 C．6 D．124．已知，，若，则实数的值为（

）A． B．1或 C．或3 D．35．若是两两垂直的单位向量，，则与的数量积等于（

）A． B． C． D．6．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（

）A．5 B．2 C． D．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．8．如图，二面角等于，是棱l上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．已知一组数据的众数大于中位数B．数据的第70百分位数是21C．甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18D．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.110．下列命题正确的是（

）A．若空间向量不共面，则向量组可以作为空间一个基底B．若空间向量不共面，则向量组可以作为空间一个基底C．点与点关于平面对称D．点与点关于原点对称11．正方体中，为中点，为中点，以下说法正确的是（

）

A．平面 B．平面C．平面 D．与平面相交三、填空题12．已知向量，若，且，则_____．13．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________．14．如图，平行六面体中，,,则__________．四、解答题15．中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；(2)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；(3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．16．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在上的最大值.17．如图，正方体的棱长为2，点为的中点．(1)求二面角的余弦值；(2)求点到平面的距离．18．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的大小.19．设函数.(1)求函数对称轴方程；(2)中，角所对的边分别为，求的面积.

1．D【详解】设应抽取的女生人数为，则，解得．故选：D.2．A【详解】由，，可得：，故选：A.3．C【详解】向量，由，得，所以.故选：C4．C【详解】由题意可知，；因为，所以所以所以或3.故选：C.5．C【详解】由题意得，则，则.故选：C.6．D【详解】，即，即，四点共面且任意三点不共线，，．故选：D.7．B【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，

则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，则,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.故选：B.8．D【详解】由题意得，两边平方得，，所以，故选：D.9．CD【详解】对于A，众数为，中位数为，故A选项错误；对于B，数据从小到大排列为，因为，则其第70百分位数是23，故B选项错误；对于C，设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为，故C选项正确；对于D，根据简单随机抽样的定义知，个体被抽到的概率是，故D正确.故选：CD.10．BD【详解】对A，因为，所以向量组共面，则它们不可以作为空间的一个基底，故A错误；对B，假设，则，无解，又因为空间向量不共面，则向量组不共面，则它们可以作为空间一个基底，故B正确；对C，点关于平面的对称点为，故C错误；对D，点关于原点对称的点的坐标为，故D正确.故选：BD.11．ACD【详解】连接交于，连接，则为的中点，

所以，，又M为中点，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；因为，与平面相交，所以与平面相交，故B错误，D正确；由题可知平面，平面，所以，由题可知，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，故C正确.故选：ACD.12．【详解】因为，所以，①又因为，，所以，②由①②解得；或，所以或，故答案为：.13．2【详解】空间向量在向量方向上的投影为，所以投影的模为．故答案为：．14．【详解】因为，所以，所以.故答案为：15．(1)(2)300人(3)【详解】（1）由题可知组距为，则：解得：.（2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人.（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：.16．(1)；(2)72.【详解】（1）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因此，函数的单调递增区间为；（2）由（1）可知函数在区间上单调递增，当时，函数取得最大值.17．(1)(2)【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，得，所以平面的一个法向量为，又是平面的一个法向量，所以，又二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为；（2）由（1）可得，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离．18．(1)因为平面，，如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，则，所以，因为，所以．(2)【详解】（1）略（2）设平面的法向量，，