江苏省扬州市邗江中学2025-2026学年高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，则该平面图形的高为（）

A. B.2 C. D.2.已知圆锥的体积为12π，其侧面积与底面积的比为5：3，则该圆锥的母线长为（）A.5 B.6 C.8 D.103.已知0＜α＜π，cos=，则sin（α-）=（）A. B. C. D.4.在空间中，l,m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m B.若l∥m,m⊂β，则l∥β

C.若m∥β，m∥α，则α∥β D.若α∩β=l,m∥β，m∥α，则l∥m5.在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.6.在△ABC中，D是边BC上一点，且BD=2DC，E是AC的中点，记，则=（）A. B. C. D.7.设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=5，AB=3，BC=4，则球O的表面积为（）A. B.50π C.75π D.200π8.在△ABC中，a,b,c分别为内角A，B，C所对的边，已知.设D为边BC上一点，若，且，则△ABC面积的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，θ的值为

C.的取值范围为 D.存在θ，使得10.已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）A.若A＜B，则sinA＜sinB

B.若a=2，B=，且该三角形有两解，则＜b＜2

C.若=，则△ABC为等腰三角形

D.若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC为锐角三角形11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BD的中点，N是线段CD1上一动点，则下列说法正确的有（）A.三棱锥N-BAA1的体积随着点N的位置的改变而随之变化．

B.无论点N在何处，始终有B1D⊥平面ACN成立．

C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．

D.平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面可能是三角形或四边形．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，，若，，则=

．13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,设，，则角B等于

.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，动点P在△AB1C内，满足，则点P的轨迹长度为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，.

（1）若，求tanα；

（2）若，已知，求cos2α.16.(本小题15分)

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,cos2C-cos2A=sinBsinC

（1）求证：A=2C；

（2）若b＞c=1，求△ABC周长的取值范围.17.(本小题15分)

如图，多面体ABCD-A1B1C1是由一个直三棱柱ABC-A1B1C1与一个四棱锥D-A1C1CA组成，其中BC∥AD，AD=2BC，AB=BC=CA=AA1=4，E是AC上的一点.

（1）若E是AC中点.

①求证：B1C∥平面A1EB；②求异面直线A1E与B1C所成角的余弦值.

（2）若E为BD与AC交点，问A1B上是否存在一点K，使得EK∥平面A1AD？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，AB=2AC=4，AC⊥CB，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点，点F是线段CE的中点.

（1）求证：AF⊥平面BCE；

（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；

（3）求二面角F-AD-C的余弦值.19.(本小题17分)

设O为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量称为函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R）的“友向量”.

（1）记的“友函数”为f（x），求函数f（x）的单调递增区间；

（2）设，其中θ∈R，求h（x）的“友向量”模长的最大值；

（3）已知点M（a,b）满足6a2+5ab+b2＜0，向量的“友函数”f（x）在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】AB

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】3

13.【答案】30°

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为，，，

所以，

所以．

（2）因为向量，，

所以，

因为，

所以，

即，

即，

所以由，得，

因为，所以，

所以，

令，则，，，

所以，，

所以．

16.【答案】证明见解析；

．

17.【答案】①证明见解析；②；

存在，且．

18.【答案】解：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，

又AC⊥CB，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，

又AF⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥AF，

在矩形ACC1A1中，，AC=2，点E是棱A1C1的中点，

所以AE=EC=2，所以△AEC是等边三角形，

又点F是线段CE的中点，所以AF⊥EC，

又CE∩BC=C，CE，BC⊂平面BCE，

所以AF⊥平面BCE．

（2）在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，

由（1）知AF⊥平面BCE，又DH⊂平面BCE，

所以AF⊥DH，

又BF⊥DH，BF∩AF=F，BF，AF⊂平面ABF，

所以DH⊥平面ABF，

所以∠DFB是直线DF与平面ABF所成角，

在△ABC中，AB=2AC=4，AC⊥CB，

所以，

又点D为棱BC的中点，所以，

因为BC⊥平面ACC1A1，又CE⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥CE，

所以，，

在△BDF中，由余弦定理得，

所以，

即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．

（3）在平面ACC1A1内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，

因为BC⊥平面ACC1A1，又FO⊂平面ACC1A1，所以BC⊥FO，

又AC⊥FO，AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，

所以FO⊥平面ABC，

又GO，AD⊂平面ABC，所以FO⊥GO，FO⊥AD，

又GO⊥AD，GO∩OF=O，GO，OF⊂平面GOF，

所以AD⊥平面GOF，

又GF⊂平面GOF，所以AD⊥GF，又GO⊥AD，

所以∠FGO为二面角F-AD-C的平面角，

在△FOC中，，

因为AF⊥平面BCE，DF⊂平面BCE，所以AF⊥FD，

又易得，FD=2，

所以，

由等面积法可知，

在△GFO中，FO⊥GO，，，

所以，

所以，

即二面角F-AD-C的余弦值为．

19.【答案】解：（1）由已知，

则令，k∈Z，

解得，k∈Z，

即函数的单调递增区间为，k∈Z；

（2）

=，

则h（