管理的系统论原理

3.1

环境系统工程的基本知识3.2

系统分析

3.3

最优化技术

3.1环境系统工程的基本知识

3.1.1.1系统与环境系统3.1.1.2环境系统工程

系统：由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合而成的具有特定功能的有机整体。环境系统:人类生存的环境（自然环境、生物环境和社会环境)是一个大系统。它是由一定时空范围内的物理系统（岩石、土壤、大气圈、水圈)、生态系统（生物与非生物成分组成的循环动态系统)和社会系统等三个大子系统组成的。这个大系统称为环境系统。

3.1.1.2

环境系统工程

1.定义:工程：服务于特定目的的各项工作的总体。系统工程：目的是系统的组织建立或者是系统的经营管理的工程。

环境系统工程是对环境系统进行合理规划、设计和运行管理的思想、组织和技巧的总称，也是系统工程一个专业门类。

是系统工程方法在环境系统上的应用

。是按照它所研究的系统的性质不同而分类的。

系统工程的原则(*)(1)整体性原则

系统工程要求我们处理问题时，要从系统在空间和时间域上的整体性着眼，要求总体的功能大于各部分功能的总和。例：设用某一单位来度量系统的某一属性，数量为ａ。度量系统中第i（i=1，2，…，m)个组成部分的属性，数量为ａi,则

：

利用系统技术把系统中各组

成部分或子系统协调地融合在

一起，使系统的功能增强。

：系统总体功能等于各部分功能

的总和。

：发生了不协调现象，产生"内

耗”，使系统的功能减弱。

全系统的属性的数量ａ和该系统中各组成部分的属性的数量的关系有下列三种可能:(2)综合性原则是实现整体性原则和系统考虑问题的核心。

一是要综合考虑系统目标的多样性或者多宗旨性;二是要综合考虑某项决策在付诸实施后会引起的多方面的后果;三是要考虑在达到同样的目标时，可以采用不同的途径的方法，按照最佳的原则综合使用多种方法和方案进行配合，或提出多种可行性方案来进行评估。

(3)优化性原则为了更好地运用系统工程的概念,应尽可能运用数学工具,进行优化分析,以期实现最佳的目标体系。(4)交互性原则

分析研究过程中及时向决策者反映系统研究和评价的结果,同时也得到决策者的反馈信息,以便对下一步的进程作出判断和修改。

(5)模型化原则

就是应用一个与所研究的真实系统相似的系统模型。模型可以是物理模型,也可以是数学模型等。模型化原则为实现系统最优化提供了很好

手段。

3.环境系统工程的任务和内容

(*)（1)研究环境系统的目的：就是对人类在环境系统中作用的全过程，进行系统研究。使其大气，水域，土壤以及动植物等子系统不被破坏，而达到生态系统动态平衡，这是研究环境系统的目的。（2)环境系统工程的任务：把环境保护措施与各种环境子系统（如水域系统)综合成一个环境系统；

对该系统整体进行分析研究，运用近代数学与电子计算机工具，对环境系统进行规划、组织管理和协调，寻求环境系统整体最优（最优设计、最优控制和最优管理)。

（3)环境系统工程研究的主要内容：是从系统的观点出发，采取定量的，或定性与定量相结合的方法，建立环境系统数学模型，进行最优化计算，从经济、技术与社会各方面来对环境系统作优化分析和评价，力求决策科学化。其目标就是力求决策科学化。

4.环境系统工程的理论基础

系统工程理论：系统科学、控制理论、信息论、

运筹学、管理科学以及计算

科学等环境工程理论：是环境科学。（专业理论基础)

此外，还有大系统理论、模糊数学理论和灰色

系统理论

环境系统工程的工作一般程序是1)明确污染控制问题；2)提供可供选择方案；3)建立系统数学模型，进行数学模拟；4)选择目标函数及评价标准；5)最优化；6)决策；7)实施控制。

5.环境系统工作程序3.1.2环境系统模型化和最优化3.1.2.1

环境系统模型概述

3.1.2.2

环境系统最优化3.1.2.1

环境系统模型概述1．环境系统模型和模拟

模型：是指一个现实系统（规划方案)的一种描述，同时又是对现实系统的一种抽象、概括、形象化和典型化，它表达出系统中的输入、输出与状态变量之间的定量关系。数学模型：若用一组数学方程式来表示系统中的输入、输出与状态变量之间的定量关系，则这组数学方程式称为数学模型。由于它是描述系统所处的状态的，故又称之为状态方程。

模拟:是实现物理现象的一种重现和模仿，也就是模仿实际过程进行实验。物理模拟:在实验装置上进行的模仿实际过程的实验称为物理模拟。

数学模拟:在电子计算机上对数学模型求解称为数学模拟。

模型化与模拟的关系:模拟是模型化的继续。

２．系统模型的分类

(１)按照模型的表达形式分类有：数学模型、图的模型、矩阵模型以及模拟模型。

(２)按照模型的目的分类有：功能模型、计划模型、评价模型、预测模型，以及结构模型。

(３)按照系统的特性分类有：静态模型、动态模型、确定性模型、随机模型、线性模型、非线性模型、连续（时间)模型、离散（时间)模型。

3．建立系统模型(*)(1)几个概念

目标函数:评价系统优劣的标准。

约束条件:变量和参数的变化范围。环境系统最优化模型:通常把描述环境系统的状态方程、结构模型、约束条件和目标函数统称为环境系统最优化模型。

(2)建立系统模型的步骤

①对系统机理进行分析，按照系统内部变化规律，作些适当的假设，又结合边界条件构成系统的基本模型;②对模型进行合理的简化，或转换为便于求解和应用的形式;③确定模型参数。

④验证模型。

４.系统模型的用途（１)在环境规划和管理中用于制定环境标准，排放标准以及确定减少排放污染物的数量等。（２)在环境影响评价中用于环境质量预测和环境质量评价等。

（３)在建造新的或改造旧的污染物处理系统中用于系统最优设计、最优控制和最优管理上。

3.1.2.2

环境系统最优化(*)1.定义:在给定的条件下，找出使某个目标函数达到最大或最小的解。2.数学式描述，

目标(1)

约束条件i＝1,2,…,mj=1,2,…,ｐ(2)

其中f(x)为评价设计方案优劣的标准，称为目标函数；Ｘ＝（x1,x2,…，xn)为变量；

为变量的约束方程，即变量允许变化的范围。这时最优化的提法是，寻找一组变量Ｘ＊，在满足式（2)的条件下，使式（１)成立，并称Ｘ＊为最优方案。

3.系统优化的步骤

(1)确定系统的范围、目标函数、约束条件和独立变量。(2)根据数学模型的类型,决定最优求解的方法。

(3)编制计算机程序及求解计算。

3.2系统分析

系统分析:就是对一个系统内的基本问题，用系统观点思维推理，在确定和不确定的条件下，探索可能采取的方案，通过分析对比，为达到预期目标选出最优方案的过程。是目前系统工程的基本处理方法。目的:通过分析比较各种替代方案的费用、效益、功能和可靠性等各项技术经济指标，得出可供决策者决策所必须的信息和资料，以获得最优方案。环境系统分析环境问题是各有关因素综合作用造成的。将环境问题作为一个系统来研究,从整体上来考虑,找出最有效的控制对策。以系统的观点解决环境问题,为取得最佳可行控制方案,以及制定有效的综合性管理对策开辟了广阔途径。环境系统分析是应用系统分析方法来解决环境保护领域的问题。系统分析的研究对象是复杂的大系统。它包括:系统分析、系统评价指标、系统模型化、系统最优化等。不公平现象:工厂排放废水所需的费用，由渔场承担。因为渔场不应该支付由于工厂排放废水而引出的费用，而工厂损害了环境资源，应当支付费用补偿给其他使用者。

例1:如图所示,位于某一河流上游的工厂将有毒废水排入河流,这种有毒废水影响下游商业渔场的捕捞量。假设只有该工厂使用这段河流。

已知工厂处理废水minX=50000元，此时渔场收益Y=30000元（消除工厂废水排放的干扰)。如何解决这一问题？它有两个极端解：参数:X-工厂费用，Y-渔场收益，Q-净效益(1)任意排放:工厂废水不经过处理排放，则工厂不支出处理费，已知此时渔场的收益是10000元，则相当于工厂获50000元收益，而渔场付出20000元费用，则系统的净效益Q=30000元。(2)完全禁止排放:则无工厂收益和渔场费用，不产生净效益Q=0实际上Q=(50000-x)-(30000-y)=20000-x+y所以，河流接纳废水和渔场比只作渔场使用价值大，而且可能存在更好的方案。例如：如果工厂花10000元使部分废水不排入河流，可以使渔场收益增至25000元，那么系统的净效益Q=(50000-10000)-（30000-25000)=35000元当然，对每种可能的方案都可以作类似的评价，这样可以找到一种净效益最大的方案。

系统分析的过程系统分析的步骤1、系统和目标的确定

（1）决策者的识别

（2）确定系统的边界和组成

（3）目标的定量化2、产生和评价方案(1)建立最优化模型

a、确定变量b、建立变量之间的关系

（2）解最优化模型3.选择一个方案系统分析应用举例废水管理问题例2:某金属精练厂每生产1kg金属，产生3kg废物，这些废物随工厂的废水排放，其浓度为2kg/m3。废水经过部分处理后，排入附近的河流。

政府对该厂规定的废物排放标准为100000kg/周。工厂每周生产金属55000kg,金属的售价是1.30美元/kg,生产成本为0.90美元/kg。厂内废水处理设施的处理能力为70000m3/周,处理费用是0.20美元/m3。处理效率与污染物负荷有关,设W代表废水处理量,单位是104m3/周,当W的变化范围为0到7时,处理效率等于1-0.06w。这个关系式说明,处理设施的负荷越大,处理效率越低。试用系统分析的方法分析怎样确定达到排放标准的有效途径。

废物排放量与生产水平有关,是工厂精练金属产量的函数。

废物和污染物随工厂废水排放,废水的强度以污染物浓度度量,本例为2kg/m3。

排放标准以污染物排放量为准,即排放污染物的千克数,而不是废水量。废水处理设施很难将污染物全部去除。各种因素使问题复杂化,而且没有一个明显的解。应注意的几个问题下面讨论系统分析的三个步骤。（一）目标和系统的确定1.目标目标1：排入河流的污染物量不大于100000kg/周。（达到排放标准）目标2：工厂利润（美元/周）最大。这个目标与处理费用最小的目标有很大不同，处理费用最小的目标把系统分析仅仅限制在处理方案的选择上，而最大利润的目标则扩大了可选择管理方案的范围。许多环境问题都是多目标的，即方案要满足多个目标或准则，而且目标之间常常互相抵触。在本例中，出水水质目标可能减少利润，"在最大利润下产生最小污染”是很难实现的。通常解决问题的方法是选择一个目标，使它最大化或最小化，而把其余目标定为约束条件。

2.系统系统的边界应包括工厂而后废水处理设施,而不包括河流,工厂和处理设施是系统的组成部分。

如果目标是以最小费用达到水质标准,那么系统将由河流和处理设施组成。

（二)方案的产生和评价

1.产生方案产生方案即寻找解决问题的各种途径，它是系统分析的组成部分。本例要解决的问题是达到排放标准。第一个控制方案就是减少废水的处理量，从而提高处理效率，则有部分废水未经处理直接排放；第二个控制方案就是改变金属产量，从而改变污染物发生量。即两个因子可以控制:金属产量废水处理量。解决水污染问题的方案或可能的解有两个决策因子组成，即金属产量和废水处理量的选择。选择这两个决策因子不同的可行值，就组成不同的方案。

2.评价方案每个方案都要根据目标进行评价,必须确定方案是否达到排放标准和能获得多少利润。例如,某个方案的金属产量为50000kg/周,污染物发生量150000kg/周,第二个决策因子是处理厂处理污染物100000/周。

（1)目标1：是否达到排放标准。

总排污量=未经处理的污染物+处理厂排放的剩余污染物。进入处理厂的废水量：100000kg/周÷2kg/m3=50000m3/周处理效率e=1－0.06（5)=0.70剩余污染物量=100000（1-0.7)=30000kg/周。则污染物总排放量=（150000-100000)+30000=80000kg/周<100000kg/周满足排放标准的要求。

评价这个方案，

分析其满足目标的情况:（2)目标2：对利润目标进行评价

利润=商品销售收入－生产费用-废水处理费用商品销售收入=50000kg/周×1.3美元/kg=65000美元/周生产费用=50000kg/周×0.9美元/kg=45000美元/周废水处理费用=50000m3/周×0.2美元/m3=10000美元/周

利润=65000-45000-10000=10000美元/周

照此方法评价其它方案,评价程序相同,可以评价很多方案。

（三)选择方案确定应该采纳哪个方案。在达到排放标准的方案中,选择利润最大的方案。系统分析是用系统观点思维推理,探索可能采取的方案,通过分析对比,为达到预期目标选出最优方案的过程。可以不用数学模型,而进行方案的比较,也可利用数学模型来处理和求解。

系统分析的模型化和最优化例3：将上述例2提出一个数学模型，并求出问题的最优解。（一)建立模型确定变量：假设x为工厂金属产量（104kg/周)，y为经处理厂处理的污染物量（104kg/周)，z为工厂每周的利润（美元/周)，则

（1)污染物未经处理的排放量是3x-y

（2)经处理厂处理后的残余污染物量废水流量=y/2，处理率e=1-0.06w=1-0.03y处理厂排出的污染物量是y(1-e)=0.03Y2

（3)z=（1.3)104x-（0.9)104x-（0.20)104（y/2)=4000X-1000Y可建立如下的最优化模型:目标函数maxZ=4000X-1000Y约束条件3X-Y+0.03Y2≤10(1)X≤5.5(2)Y≤14.0(3)3X-Y≥0(4)X≥0Y≥0（二)模型的解（三)决策例4：有一个水质系统，如图所示。从上水系统取水，经过净化后供给城市饮用，并将污水经过处理厂流入下水系统，又有一条河流通过湖泊。已知城市产生污染物的量为3000kg/d，湖泊的自净率为75%，城市饮用水的标准为1000kg/d，游泳水的标准为3750kg/d，Wi（i=1,2,3,4)为水中污染物量（kg/d)。净水厂的费用G1=9×104＋13.3（W3－W4)元/每年，净水厂的费用为G2=6×104＋26.7（W1－W2)元/每年。城市排出的污染物借助于处理厂、自然净化以及由河流带走除去。现在，在充分利用自然净化条件来满足饮用水和游泳水的最高污染允许水平条件下，来确定污水处理厂和净水厂的最少处理费用。

目标函数minZ=G1＋G2=9×104＋13.3（W3－W4)＋6×104＋26.7（W1－W2)=23.01×104－23.4W2＋13.4W4解：根据以上数据和要求可以列出线线性规划模型约束条件W1－W4=3000（1)W3=0.25W2（2)Wi≥0,i=1,2,3,4(或W1≥0，W2≥0，W3≥0，W4≥0)W2≤W1W4≤W3W4≤1000（3)W2≤3750（4)（二)模型的求解选择满足条件的一组X和Y值，即为一个方案。可行解：是满足所有约束条件的X和Y的组合。

所有解的集合为可行解的集或可行域。最优解：使目标函数最大的可行解。最优化方法：（1)非正规搜索法（2)图解法（3)数学规划法每种方法通常仅适用于一定类型的最优化模型。（1)非正规搜索法：依靠直观检验模型的可行域，用大体上合理的方法，逐步舍去劣解。用这种方法仅能得到最优化模型的近似解。可用试差法求解。以例3为例:a.模型的约束条件如图所示，阴影区域即是最优化模型的可行域。在可行域中的任何组合一定能满足所有约束条件，都是模型的可行解。

0123456782468101214161820⑴⑵⑷xy⑶约束条件

3X-Y+0.03Y2≤10(1)X≤5.5(2)Y≤14.0(3)3X-Y≥0(4)X≥0Y≥0目标函数

maxZ=4000X-1000Yb.搜索模型的最优解分析目标函数，可知：理想的解是X尽可能的大，Y尽可能的小。分析可行解：A点：水平向右移动，z增加；垂直向下移动，z增加，所以A点劣于可行域右边界上的解。同理，分析B点、C点，同样劣于右边界上的解。D点：右边界上的一部分解也是明显的劣解，D点垂直向下移动，z增加，所以垂直边界上的任何解均劣于这条边界与曲线边界的交点E(5.5,8.9)所以，最优解一定在这条边界曲线（即污染物排放方程)上。0123456782468101214161820ACDBxyEY（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)Y（104kg/周)评价该边界上的某些解。取Y为0-8.9之间的值，通过方程求出相应的X值。见下表（即是相应的可行方案)上述的10个方案对应的结果见下表（这里我们取精确到小数点后一位，但金属产量X的取值不应该四舍五入，那样会导致排放量超过排放标准)方案XY污染物排放量Z13.309.91320023.619.81340033.929.81360044.239.91380054.5410.01400064.759.91380074.969.81360085.179.81340095.389.813200105.58.910.013100所以方案5为最佳方案，即模型的最优解是：X=4.5（金属产量45000kg/周)，Y=4（处理污染物40000kg/周)，产生总利润Z=14000美元/周。（2)图解法解的基本定理可以证明：线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形)；而且最优解一定是在凸集的某一顶点实现。先找一个基本可行解，与周围顶点比较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止。以例4为例：a.模型的约束条件如图所示，阴影区域即是最优化模型的可行域。b.分析模型的最优解分析目标函数，可知：目标函数z是和截距相关的函数。最优解是在顶点A达到。计算可得，此时Z=15240（元)，W2=3750，W4=750，W1=3750，W3=937.5（kg/d)即为最优方案0100020003000400010002000⑴⑵⑶⑷W4

W2

A约束条件W1－W4=3000（1)W3=0.25W2（2)Wi≥0,i=1,2,3,4(或W1≥0，W2≥0，W3≥0，W4≥0)W2≤W1W4≤W3W4≤1000（3)W2≤3750（4)目标函数

minZ=23.01×104－23.4W2＋13.4W4最优化技术是从所有可能的方案中选择最佳一种以达到最优目标的科学。本节仅扼要介绍线性规划、动态规划有关内容。

3.4.1线性规划3.4.2动态规划3.4最优化技术

3.4.1线性规划LinearProgramming(LP)一、问题的提出为了完成一项任务或达到一定的目的,怎样用最少的人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或达到一定的目的,这个过程就是规划。线性规划问题是目标函数和约束条件的数学形式为线性的。反之,就是非线性的规划问题。如废气废水处理系统优化设计、排污口优化处理等都可以用线性模型来描述,其最优规划问题可以用线性规划来处理。二、数学模型线性规划数学模型的一般形式:约束条件:目标函数:也可以记为如下形式:目标函数:约束条件:线性规划模型的标准型:线性规划模型的规范型:案例河流污染治理规划问题背景资料:长江流域某区域内有9化工厂，各厂每月产生的工业污水量如表-1，流经各化工厂的河流流量如表-2，各化工厂治理工业污水的成本如表-3。上游厂排放的污水流到相邻下游厂以前，有20%可自然净化。

根据环保标准河流中此种工业污水的含量不应超过0.2%。从该区域整体考虑，各化工厂应该分别处理多少工业污水才能既满足环保要求，又使9化工厂治理工业污水的总费用最少。今日认识未为晚,吾辈齐心治环境,线性规划大有用,定让江水绿如蓝。

曾几何时长江水,哺育华夏代代人,谁知后代疏珍惜,清清江水黑如泥。

工厂2工厂3工厂1工厂4工厂5工厂6工厂9工厂8工厂7背景资料:化工厂11.2化工厂42化工厂72化工厂21化工厂51化工厂82化工厂33化工厂61化工厂91.5表-1污水排放量

单位:万m3化工厂1500化工厂41200化工厂71200化工厂2300化工厂5600化工厂8200化工厂31800化工厂6400化工厂9700表-2流经各化工厂的河流流量

单位:万m3化工厂13化工厂44化工厂71化工厂25化工厂55化工厂82化工厂32化工厂66化工厂93表-3治理工业污水的成本

单位:百万元/万m3问题分析:区域污染治理的决策——各个化工厂应处理的工业污水量（或应排放的工业污水量)。区域污染治理的约束——即满足环保要求排放工业污水（区域内河流中任何点检测都应符合环保标准)。区域污染治理的目标——总治理成本最少。模型描述:设第i个化工厂应处理的工业污水量为Xi万m3，则根据问题描述的情况以化工厂1、2.…、9加以分析则可得如下近似关系式对化工厂2应有---

（1-X2）/300≦0.2%对化工厂8应有---

（2-X8）/200≦0.2%对化工厂1应有---

｛（3-X1）+0.8（1-X2）+（2-X8）

｝/500≦0.2%对化工厂9应有——

（1.5-X9)/700≦0.2%对化工厂7应有——

（2-X7)+0.8（1.5-X9)

/1200≦0.2%……

此外显然还应有Xi≧0（i=1，2，3…8，9)

综上所述决策者所需考虑的区域内各个化工厂应处理的工业污水量Xi应满足上述所有不等式方程。我们将这些不等式方程构成的方程组称为污水治理的约束条件。

另一方面污水治理的总成本可表示为Z:Z=3X1+5X2+2X3+4X4+5X5+6X6+1X7+2X8+3X9而决策者的目标是确定满足约束条件的Xi使得Z取得最小值。将上述分析归纳后即可得如下数学符合模型:数学模型（整理之后)MinZ=3X1+5X2+2X3+4X4+5X5+6X6+1X7+2X8+3X9X2≧0.4X8≧1.6X1+0.8X2+0.8X8≧4.4X9≧0.1X7+0.8X9≧0.8X4+0.8X7+0.64X9≧2.16X6≧0.2X5+0.8X6≧0.6X3+0.8X4+0.8X5+0.64X6+0.64X7+5.12X9≧9.4Xi≧0（i=1，2，3，4，5，6，7，8，9)s.t.三、线性规划问题的求解（一)求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标适用于任意变量、但需将一般形式变成标准形式图解法前已述及,下面主要看看单纯形法。

（二)单纯形法基本思想：将模型的一般形式变成标准形式，再根据标准型模型，从可行域中找一个基本可行解，并判断是否是最优。如果是，获得最优解;如果不是，转换到另一个基本可行解，当目标函数达到最大时，得到最优解。其步骤总结如下:直到找出为止，核心是:变量迭代找出一个初始可行解是否最优转移到另一个目标函数（找更大的基本可行解)最优解是否循环结束转换方式:⑴.目标函数的转换

如果是求极小值即

，则可将目标函数乘以（－1)，可化为求极大值问题。

即也就是:令

，可得到上式。

⑵.约束方程的转换:由不等式转换为等式，主要方法是引入松弛变量。

这种方法的计算很复杂，可用计算机编程来解决，目前像这种成熟的方法，都有现成的计算机程序可用。

只用在程序中输入基本参数（变量系数和目标函数的系数)，计算机程序就可直接计算出目标函数的值和相应的变量值。

3.4.2动态规划DynamicProgramming（DP)一、动态规划的原理（一)概念

多阶段决策过程的最优化

多阶段决策过程：

整个决策过程可按时间或空间顺序分解成若干相互联系的阶段，每一阶段都需作出决策，全部过程的决策是一个决策序列。多阶段决策过程最优化的目标：

达到整个活动过程的总体效果最优，而非各单个阶段最优的简单总和。

动态规划的方法就是把一个“动态过程”的优化决策问题分成一些相互联系的阶段以后，把每一个阶段作为一个静态的问题来分析，来解决整个动态过程的最优化问题的方法。

动态规划是解决某一类问题的一种方法，是分析问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法)，必须对具体问题进行具体分析处理。（二)动态规划的基本思想1、划分阶段。2、求解从边界条件开始，逆向逐段递推。3.每段的最优是从全局考虑的，并非仅考虑本阶段。Bellman最优化原理：“一个过程的最优策略具有这样的性质，即无论开始的状态及初始的决策如何，对先前决策所形成的状态而言，其以后所有的决策必构成最优决策——后部子过程最优。”最优策略其中一部分也是最优策略。

动态规划法是一种从终点逐段向始点方向寻优的方法。

（三)基本概念１)阶段和阶段变量阶段变量：它表示由某点至终点之间的阶段数，以ｎ符号表示。

２)状态和状态变量

描述过程状态的变量称为状态变量，它可用一个数、一组数或一个向量来描述，以Ｓ符号表示。

３)决策和决策变量

决策就是在某阶段状态给定以后，从该状态演变到下一阶段某状态的选择。

描述决策的变量称为决策变量。它表示当状态Ｓ还有n个阶段要走时所要选取的下一个点，以

符号表示