25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

数学人教版九年级上册方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达.

在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长?AC∶BC=BC∶5BC2=5ACACBxm列方程得

x2=5(5－x)整理得

x2+

5x

－

25

=

0(5

-

x)m等量关系设雕像腰部以下长度为

xm，则

AC=(5－x)m.未知数的最高次数是2，如何求解？

只含有一个未知数x，x的最高次数是2.像这样的方程有丰富的背景、广泛的应用，可以帮助我们解决很多实际问题.看如下一些问题.x2+

5x

－

25

=

0图形面积测算商品调价利润核算场地规划设计章引言中的方程活动一：探究一元二次方程的概念1

如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？100cm50cm设各角切去的正方形铁皮的边长为

xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm．根据方盒的底面积为3600cm2，可列得方程(100－2x)(50－2x)＝3600．整理并化简，得

x2－75x＋350＝0．由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长.方程中未知数的个数和最高次数各是多少？(50-2x)cmx(100-2x)cm未知数的个数：1最高次数：2活动一：探究一元二次方程的概念2

要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛?全部比赛共4×7=28场活动一：探究一元二次方程的概念方程x2－x－56=0中未知数的个数和最高次数各是多少?未知数的个数：1最高次数：2活动一：探究一元二次方程的概念3

方程x2＋

5x

－

25

=

0、x2－75x＋350＝0、x2－x－56=0有什么共同点?①都是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.

一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.

一元二次方程①“整式”应理解为未化简时，方程两边均是整式；②“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2”是对方程整理合并后而言的．活动一：探究一元二次方程的概念活动一：探究一元二次方程的概念含有两个未知数不是整式方程化简为4x2-1=4x2+12x+9即12x+10=0，化简后未知数的最高次数不是2.判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.二次项系数一次项系数ax2＋

bx＋

c＝0(a≠0)

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下一般形式：活动二：探究一元二次方程的一般形式二次项一次项常数项①a≠0；②系数和项均包含前面的符号.为什么一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0中要限制

a≠0？b，c可以为0吗？4当a=0时，

bx＋c=0不是一元二次方程当a≠0，b=0时，

ax2＋c=0当a≠0，c=0时，

ax2＋bx=0三种形式当a≠0，b=c=0时，

ax2

=0只要满足

a≠0即可，b，c

可以为任意实数.没有二次项活动二：探究一元二次方程的一般形式

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.一元二次方程的解活动三：探究一元二次方程的解(根)下列哪些数是方程

x²+x－12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4

当x＝－4时，左边＝16+(－4)－12＝0，则左边=右边，所以－4是方程

x²+x－12=0

的根.同理可证其他结论.例题1

将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.去括号，得

3x2－3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式

3x2－8x–10=0.它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10．确定一元二次方程的各项及其系数的注意事项：(1)先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数．(2)指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉．(3)特例：若没有出现一次项

bx，则

b＝0；若没有出现常数项，则

c＝0．例题2已知

a是方程

x2+

2x-

2=

0

的一个实数根，求2a2

+

4a+

2022的值.由题意得a2+2a-2=0，即a2+2a=2∴2a2+4a+2022=2(a2+2a)+2022=2×2+2022=2026.求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解.例题31.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)5x2－1=4x；(2)4x2=81；(3)4x(x+2)=25；(4)(3x－2)(x+1)=5x－2.解：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项5x2－1=4x4x2=814x(x+2)=25(3x－2)(x+1)=5x－25x2－4x－1=05－4－14x2－81=040－814x2+8x－25=048－253x2－4x=03－402.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；解：(1)设正方形的边长为x，根据题意，可列得方程4x2=25，化成一般形式为4x2－25=0；(2)设矩形的长为x，根据题意，可列得方程x(x－2)=100，化成一般形式为x2－2x－100=0；2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.解：(3)设较短一段的长为xm，根据题意，可列得方程x×1=(1－x)2，化成一般形式为

x2－3x+1=0.一元二次方程├─概念│  一般地，如