新人教版高中数学必修第一册 5.4　5.4.2　第1课时　周期性与奇偶性 教案

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性与奇偶性(教师独具内容)课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．教学重点：1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.2.判断简单三角函数的奇偶性．教学难点：1.函数最小正周期的意义.2.函数周期性与奇偶性的意义．核心素养：1.通过函数周期性的研究，培养逻辑推理素养.2.借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.知识点一函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个eq\x(\s\up1(01))非零常数T，使得对每一个x∈D都有eq\x(\s\up1(02))x＋T∈D，且eq\x(\s\up1(03))f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.eq\x(\s\up1(04))非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的eq\x(\s\up1(05))正数，那么这个最小eq\x(\s\up1(06))正数就叫做f(x)的eq\x(\s\up1(07))最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期eq\x(\s\up1(01))2πeq\x(\s\up1(02))2π奇偶性eq\x(\s\up1(03))奇函数eq\x(\s\up1(04))偶函数1．对周期函数的正确理解(1)关于函数周期的理解应注意以下三点：①存在一个不等于零的常数T；②对于定义域内的每一个值x，都有x＋T属于这个定义域；③满足f(x＋T)＝f(x)．(2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于sin(30°＋120°)＝sin30°，则120°是函数y＝sinx的一个周期．()(2)所有周期函数都有最小正周期．()(3)函数y＝sin2x是奇函数．()(4)余弦函数y＝cosx的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．做一做(1)下列函数中，周期为eq\f(π,2)的是()A．y＝sineq\f(x,2) B．y＝sin2xC．y＝coseq\f(x,4) D．y＝cos4x(2)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))是()A．T＝2π的奇函数 B．T＝2π的偶函数C．T＝π的奇函数 D．T＝π的偶函数(3)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是()(4)若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.答案(1)D(2)B(3)D(4)－3题型一函数周期性的判断例1求下列函数的周期．(1)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))；(2)y＝|cosx|；(3)y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))；(4)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).[解](1)解法一：y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3＋2π))＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋4＋3))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))，令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))的周期为4.解法二：ω＝eq\f(π,2)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.(2)y＝|cosx|的图象如下图所示．∴周期T＝π.(3)解法一：y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).∵3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)＋2π))＝3coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))－\f(π,6)))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))，令y＝f(x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))＝f(x)，∴y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))的周期为eq\f(2π,3).解法二：∵|ω|＝3，∴T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,3).(4)解法一：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)＋2π))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π－\f(π,4)))，令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的周期为π.解法二：∵ω＝2，∴T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.求三角函数周期的方法方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解；方法二：公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝eq\f(2π,|ω|)；方法三：观察法(图象法)．注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.[跟踪训练1]求下列三角函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，x∈R.解(1)因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(3)因为sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋2π－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，由周期函数的定义知，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4)))的周期为6π.题型二函数奇偶性的判断例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).[解](1)显然x∈R，f(x)＝coseq\f(1,2)x，∵f(－x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x))＝coseq\f(1,2)x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－sinx>0，,1＋sinx>0，))得－1<sinx<1，解得函数f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z.∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则．[跟踪训练2]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π－x)；(2)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))；(3)f(x)＝eq\r(1－cosx)＋eq\r(cosx－1).解(1)f(x)＝xsinx的定义域为R.由于f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sinx)＝xsinx＝f(x)，故f(x)为偶函数．(2)f(x)的定义域为R，由已知可得f(x)＝sinxcosx.因为f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1.从而x＝2kπ，k∈Z.此时f(x)＝0.故该函数既是奇函数又是偶函数.题型三三角函数周期性与奇偶性的综合例3(1)已知定义在R上的函数f(x)为偶函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)))；(2)若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－sinx，求当x<0时，f(x)的解析式．[解](1)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，得f(x＋π)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝f(x)．所以f(x)为周期函数且T＝π，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)－3π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))).因为f(x)为偶函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(1,3).(2)设x<0，则－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x－sinx，所以f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx.因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以f(x)＝x－sinx.所以当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝x－sinx.[条件探究]本例(1)中“偶”变“奇”，其他条件不变，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)))的值．解feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－eq\f(1,3).三角函数周期性与奇偶性的解题策略解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值和求解析式的问题．[跟踪训练3]若f(x)是以2为周期的奇函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))的值．解因为f(x)是以2为周期的函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－2×2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).又f(x)为奇函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).又当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.1．函数f(x)＝eq\r(2)sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数答案A解析因为f(x)＝eq\r(2)sin2x的定义域为R，f(－x)＝eq\r(2)sin2(－x)＝－eq\r(2)sin2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．2．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(3π,2)))的最小正周期是()A．2π B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)答案C解析所求函数的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).3．已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期是eq\f(π,3)，则ω的值为________，f(π)＝________.答案6eq\f(\r(2),2)解析由eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,3)，得ω＝6.所以f(π)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).4．已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(10)的值是________.答案20解析f(10)＝f(6×1.5＋1)＝f(1)＝20.5．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝－2cos2x；(2)f(x)＝xsin(x－π)．解(1)因为f(－x)＝－2cos2(－x)＝－2cos2x＝f(x)，x∈R，所以f(x)＝－2cos2x为偶函数．(2)因为f(x)＝xsin(x－π)＝－xsinx，x∈R，所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．一、选择题1．函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(15π,2)))是()A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数C．周期为3π的奇函数 D．周期为eq\f(4π,3)的偶函数答案A解析∵f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(3π,2)))＝－3coseq\f(2,3)x，∴f(x)为偶函数，且周期T＝eq\f(2π,\f(2,3))＝3π.故选A.2．定义在R上的周期函数f(x)的周期为π，且是奇函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,4)))的值为()A．1 B．－1C．0 D．2答案B解析由已知，得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,4)－3π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－1.3．函数y＝xsinx的部分图象是()答案A解析由f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，得f(x)＝xsinx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x＝eq\f(π,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(π,2)·sineq\f(π,2)＝eq\f(π,2)>0，排除C.故选A.4．函数y＝eq\r(lgcosx)在定义域内是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数答案C解析由lgcosx≥0得cosx≥1，又cosx≤1，所以cosx＝1，即x＝2kπ，k∈Z，从而函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，此时y＝eq\r(lgcosx)＝0，所以该函数既是奇函数又是偶函数．5．(多选)若函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,3)x＋\f(π,4)))(k>0)的最小正周期不小于2，则正整数k的值可能是()A．8 B．9C．10 D．11答案AB解析由题意知eq\f(2π,\f(k,3))≥2，所以eq\f(6π,k)≥2,0<k≤3π.又k为整数，所以结合选项，知k可以取8,9.故选AB.二、填空题6．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②存在φ，使f(x)是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．答案①④解析φ＝0时，f(x)＝sinx，是奇函数，φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝cosx是偶函数．7．函数y＝|sineq\f(x,2)|的最小正周期是________.答案2π解析∵y＝sineq\f(x,2)的最小正周期为T＝4π，而y＝|sineq\f(x,2)|的图象是把y＝sineq\f(x,2)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y＝|sineq\f(x,2)|的最小正周期为T＝2π.8．设函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，ω>0，x∈R，且以eq\f(π,2)为最小正周期．若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝eq\f(9,5)，则ω＝________，sinα＝________.答案4±eq\f(4,5)解析因为f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)，ω>0，所以ω＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))).因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)＋\f(π,6)))＝3cosα＝eq\f(9,5)，所以cosα＝eq\f(3,5).所以sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\f(4,5).三、解答题9．已知函数y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求出其最小正周期．解(1)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，))图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.10．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xcos(π＋x)；(2)f(x)＝lg(sinx＋eq\r(sin2x＋1))．解(1)∵f(x)＝－xcosx，∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)∵f(－x)＋f(x)＝lg[sin(－x)＋eq\r(sin2－x＋1)]＋lg(sinx＋eq\r(sin2x＋1))＝lg(sin2x＋1－sin2x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．1．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq\f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(π,2)≤x≤0，,sinx，0<x≤π，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))的值等于()A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．0 D．－eq\f(\r(2),2)答案B解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝feq\f(3π,2)×(－3)＋eq\f(3π,4)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2).2．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)(f(x)≠0)．若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为________.答案eq\f(1,5)解析∵f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝－eq\f(1,fx＋2)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝eq\f(－1,f－1＋2)＝eq\f(－1,f1)＝eq\f(1,5).3．设函数f(x)＝sineq\f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝________.答案eq\f(\r(3),2)解析∵f(x)＝sineq\f(π,3)x的周期T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝336eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)＋sin\f(2π,3)＋sinπ＋sin\f(4π,3)＋sin\f(5π,3)＋sin2π))＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＋f(336×6＋3)＋f(336×6＋4)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sineq\f(π,3