邵东市第四中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

湖南邵阳市邵东市第四中学2025-2026学年期末质量监测高二数学试题一、单选题1．计算（

）A．13 B．23 C．29 D．1982．下列选项正确的是（

）A． B． C． D．3．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（

）A． B． C．21 D．2104．已知，若，则（

）A． B． C． D．5．五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为(

)A．12 B．24 C．48 D．1206．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（

）x791113y2356A．10 B．11 C．12 D．137．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（

）A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.38．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（

）

A．在处取极大值 B．C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点二、多选题9．关于的展开式，下列说法正确的是（

）A．展开式共有6项 B．展开式的二项式系数之和为64C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中第4项的二项式系数最大10．下列说法正确的是（

）A．经验回归方程为时，变量与变量成正相关B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好C．若随机变量，且，则D．若随机变量，则，11．设函数，则下列说法正确的有（

）A．不等式的解集为B．函数在单调递增，在单调递减C．当时，总有恒成立D．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为三、填空题12．曲线在点处的切线方程为__________.13．在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）14．甲、乙、丙等位同学都要报名参加学校举办的项不同活动，每人仅报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式种数是_________.（用数字作答）四、解答题15．已知函数.(1)求单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.16．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：喜欢不喜欢男性4010女性2030(1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82817．从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.(1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差.18．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下：活动开展第天入园游客量（百人）(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱；(2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）(3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率.附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；；19．已知函数．(1)若是函数的极值点，求m的值；(2)当时，求证：；(3)若有两个不同的零点和，且，求证：．参考答案1．B解析：.2．C解析：对于A，，而，所以选项A错误.对于B，，而不是，所以选项B错误.对于C，，所以选项C正确.对于D，，而不是，所以选项D错误.3．D解析：根据分步乘法计数原理，不同的选法有种.故选：D4．B解析：由已知，又，所以，解得.5．C解析：将甲、乙捆绑合并为1个单元，单元内部的站位排列数为，剩余3人与该单元构成4个独立元素，4个元素全排列的排列数为.可得总站法种数.6．B解析：由题意可得：，因经验回归方程经过样本中心点,故，解得，所以经验回归方程为，当时，．7．A解析：因为随机变量服从两点分布，所以由题，又，所以.故选：A.8．D解析：由图象可知，当时，；当时，；当时，；当时，；所以在处取极大值，故A正确；由当时，，可得在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和，所以在上存在最小值，故C正确；若，，，，，函数在上至多有4个零点，故D错误.9．BCD解析：展开式共项，故A错误；展开式的二项式系数之和为，故B正确；令，则，则展开式各项的系数之和为1，故C正确；共项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确.故选：BCD10．BCD解析：对于A，因为，所以变量与变量成负相关，故A错误，对于B，由残差的定义可知，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，所以B正确，对于C，因为随机变量，且，则，所以C正确，对于D，因为，则，所以D正确.11．ACD解析：由得，，则，，，对于A：因为，所以等价于，解得，所以选项正确；对于B：由，，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，所以选项错误；对于C：当时，，所以，因为，且在上单调递增，所以此时，又因为，所以时，总有恒成立，所以选项正确；对于D：，，若函数有两个极值点，则有两个不同的零点，令，化简得：，所以直线与函数的图象有两个不同的交点；的图象如图所示：当直线与函数的图象有两个不同的交点时，，解得，所以选项D正确；故选：ACD.12．解析：因为，则，所以，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.13．解析：的常数项为.14．解析：将位同学分成三组，有种分法，再将每组分到项不同活动中，有种方法，所以不同的报名方式种数是.15．(1)递增区间为，递减区间为；(2)最大值为2，最小值为.解析：（1）函数的定义域为R，求导得，由，得或；由，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，而，，则，，所以在区间上的最大值和最小值分别为.16．(1)与性别有关联；(2)．解析：（1）零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关．根据列联表中的数据得，依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联，此推断错误的概率不大于0.001．（2）方法一：依据题意，方法二：由条件概率公式得．17．(1)的分布列为：0123P，期望为(2)的分布列为：0123P，期望为，方差为解析：（1）由题意知，的值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123P；（2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且，，的分布列为：0123P.18．(1)，相关程度很强(2)，残差为百人(3)解析：（1）由表格中的数据可得，，，，，则，由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强.（2），，故经验回归方程为.对于表中第个观测，入园游客量为（百人），预测值为（百人），残差为（百人）（3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，由题意可得，，，，.19．(1)；(2)证明：当时，，若证，只需证，所以，因为，所以在上单调递增，又因为，，所以存在，使得，则，即，当，，当，，则在单调递减，在单调递增，所以，即，所以当时，.(3)证明：，则（为函数的导函数），