高中二年级信息技术选考班：基于二分与阶乘实例的迭代和递归代码案例教学设计

高中二年级信息技术选考班：基于二分与阶乘实例的迭代和递归代码案例教学设计一、教材定位与学情研判本课选自浙教版（2019）高中信息技术选择性必修1《数据与数据结构》第五章第二节"迭代和递归"。教材在系统讲解了数组、链表、栈、队列、树等基本数据结构之后，安排这一节内容，意图十分明显：迭代与递归是程序设计中最基础、最普遍的两类重复执行控制思想，它们既是对前面循环结构、自定义函数知识的综合运用，又是后续学习排序算法、查找算法、树遍历的先决条件。可以说，这一节是从"会写程序"走向"会设计算法"的枢纽节点。授课对象为高中二年级选考信息技术的学生。经过必修模块的学习，学生已经能够熟练使用for循环与while循环，能够定义和调用自定义函数，对累加求和、累乘求积等经典迭代问题有初步认识。但学生的困难也很典型：一是把"迭代"简单等同于"循环"，说不出迭代思想中"用旧值推出新值"的状态演进本质；二是对递归存在畏难情绪，"函数调用自己"违反初学者的直觉，学生常常纠结于"函数还没定义完怎么就能调用自己"这一认知冲突；三是无法辨析两类方法在时空开销上的差异，面对具体问题时缺乏选择依据；四是容易遗漏递归终止条件，写出无限递归程序后只会强行终止运行，调试能力薄弱。基于上述判断，本课的教学重心不是罗列语法，而是借助二分查找、阶乘计算、斐波那契数列、汉诺塔四个递进案例，让学生在"读代码—改代码—写代码—比代码"的完整链条中建立对迭代与递归的结构化认识，并渗透计算思维中问题分解、抽象建模、状态追踪的核心方法。二、教学目标1.信息意识层面：学生能够认识到"重复"是计算机解题的基本策略，面对具有重复结构的问题，能主动联想到迭代或递归两种求解路径，形成用自动化方式处理大规模重复任务的意识。2.计算思维层面：学生理解迭代的本质是"状态变量的周而复始的更新"，能准确找出迭代问题中的迭代变量、迭代关系式和迭代终止条件；理解递归的本质是"把大问题分解为结构相同的子问题"，能归纳出递归的两个必要条件——边界条件（递归出口）与递归模式（递推关系）；能用栈的模型解释递归调用的执行过程，理解先进后出的调用与返回次序。3.数字化学习与创新层面：学生能够针对同一问题分别写出迭代实现与递归实现，并通过手工添加计数变量、打印追踪信息等方法比较两种实现的执行次数与时间开销，形成基于证据的算法比较习惯。4.信息社会责任层面：通过大熊猫种群数量估算、对折纸张厚度等有关迭代增长的情境，体会指数增长的威力，理解数学建模在人口、资源、环境议题中的作用。三、教学重点与难点教学重点：迭代三要素（迭代变量、迭代关系式、终止条件）的提炼；递归两要素（边界条件、递推关系）的归纳；用调用栈解释递归执行过程。教学难点：递归执行过程的追踪与理解；迭代与递归的适用场景判断；避免无限递归与重复计算的策略意识。难点的突破策略：用"递去—归来"的动画演示配合打印语句输出函数调用深度，让学生亲眼看到栈的生长与收缩；用数学归纳法的逻辑类比递归的正确性论证，把直觉困难转化为逻辑可信。四、教学方法与课前准备教学方法采用案例驱动、任务驱动与对比探究相结合。四个案例构成一条认知螺旋：二分查找（迭代强化）—阶乘（递归初识）—斐波那契（递归反思）—汉诺塔（递归升华）。每个案例遵循"问题情境—手工推演—代码实现—追踪验证—对比讨论"的五步流程。课前准备：机房安装Python3.x环境并配置IDLE与Thonny（Thonny的单步调试视窗能直观显示函数调用栈，是突破难点的关键工具）；教师准备四层汉诺塔实物模型或联动动画；学案上预先印好待填空的代码框架；黑板一侧预画调用栈示意图的位置。五、教学过程（一）情境导入：一张纸的对折课始，教师出示一张A4纸，现场对折，提出问题：假设这张纸厚度约0.1毫米，对折30次，厚度大约是多少？学生凭直觉猜测，多数答案停留在几厘米到几米之间。教师不急于揭晓，而是引导学生写出这个变化过程的表达式：每对折一次，厚度变为原来的2倍，即h=0.0001×2的30次方米。接着师生口算换算：2的10次方约为1000，2的30次方约为10亿，厚度约10万米，超过珠穆朗玛峰的高度。教室里出现惊讶的声音时，教师顺势点题：这个感叹背后是一个朴素而强大的思想——每一步都从上一步的结果出发再推进一步，这就是迭代。今天我们要研究的，还有迭代的一位"孪生兄弟"：它不从前往后推，而是把问题不断拆小，直到小到一眼有答案，再倒着拼回来，这就是递归。设计意图：指数增长的反直觉现象能快速激活注意，同时"h由h上一步推出"天然就是迭代关系式的雏形，为后续抽象出迭代三要素埋下伏笔。（二）案例一：二分查找——迭代思想的规范化提炼教师给出情境：在1到100之间你心里想好一个数，我来猜，每次猜完你只回答"大了"或"小了"，我最少几次能保证猜中？请两名学生上台配合演示，教师用折半策略猜数，7次以内命中。演示结束后，学生在学案上用自然语言描述刚才的策略，教师引导其精确化：设查找区间下界为low，上界为high，每次取中间位置mid=(low+high)//2；若目标值小于中间元素，则新区间为low到mid−1；若大于，则新区间为mid+1到high；直到low大于high或命中为止。随后学生补全学案上的代码框架，核心代码如下：defbinary_search(a,key):low,high=0,len(a)1whilelow<=high:mid=(low+high)//2ifa[mid]==key:returnmidelifa[mid]<key:low=mid+1else:high=mid1return1代码运行验证后，教师组织关键的抽象环节：请学生对照这段代码回答三个问题。哪几个变量在循环中反复更新？更新的依据是什么表达式？什么时候停止更新？学生依次答出low、high、mid是迭代变量，更新依据是折半规则，终止条件是区间为空。教师板书并给出提炼：任何一个迭代结构都能拆成迭代变量、迭代关系式、迭代终止条件三要素。回看对折纸张的例子，迭代变量是厚度h，关系式是h←2h，终止条件是折够30次。再找累加求和的例子验证一次，三要素框架两次印证无误。教师进一步追问：二分查找中区间长度如何从n缩到1？大约循环多少次？学生推算出每次减半，循环次数约为log₂n，这也是前面猜数游戏7次命中的理论依据。迭代效率的量化意识在此自然落地。设计意图：二分查找是学生相对熟悉的算法，用它作为抽象迭代三要素的载体，认知阻力小；猜数游戏保证全员亲历折半过程，代码补全而非默写，把精力留给思想提炼。（三）案例二：阶乘——递归的初次亮相教师从数学定义切入。板书阶乘的定义：n!=n×(n−1)×(n−2)×……×2×1。学生很快就能用for循环写出迭代实现：deffact_iter(n):s=1foriinrange(1,n+1):s=sireturns教师请学生用迭代三要素解释这段代码，巩固上一环节的成果。随后教师换一种眼光看这个定义：n!=n×(n−1)!，也就是说，n的阶乘问题里"藏着一个一模一样的更小的问题"。最小的情况是什么？1的阶乘等于1，这是不需要再拆的情况。教师据此给出递归的两个必要条件并用红板书出：边界条件——问题小到能直接回答；递推关系——大问题与同结构小问题的换算关系。紧接着师生共同完成递归版本：deffact_rec(n):ifn==1:return1else:returnnfact_rec(n1)这是学生第一次见到函数体内出现对自己的调用，认知冲突在此刻达到峰值。教师不急于解释，而是让学生在Thonny中以单步方式运行fact_rec(4)，观察右侧调用栈窗口：fact_rec(4)等待fact_rec(3)，fact_rec(3)等待fact_rec(2)，fact_rec(2)等待fact_rec(1)，fact_rec(1)返回1，然后逐层返回2、6、24。教师用"递去"与"归来"两个词概括这个过程：递去是把问题一层层往下压，压到边界；归来是把答案一层层往回组装。每一次调用都占用栈上的一帧空间，栈先长高后变矮，这正是递归借助的数据结构——栈，与本模块前面章节的知识形成呼应。教师现场演示两个事故：把边界条件删掉后运行，程序报告超过最大递归深度；把n−1误写成n，同样陷入无限递归。学生由此总结：递归程序的正确性必须双保险——边界可达，且每次调用都在向边界靠近。设计意图：阶乘结构简单、定义自带递推形式，是递归启蒙的最优载体。实物化的调用栈观察把抽象的"自己调用自己"变成可视的"压栈与弹栈"，两个故意的错误则把安全规范深植于第一印象之中。（四）案例三：斐波那契数列——递归的漂亮与代价教师出示兔子繁殖的经典情境，引导学生列出数列1,1,2,3,5,8,……并写出递推定义：当n等于1或2时，f(n)=1；当n大于2时，f(n)=f(n−1)+f(n−2)。学生很快写出递归版本：deffib_rec(n):ifn==1orn==2:return1returnfib_rec(n1)+fib_rec(n2)课堂第一次试运行fib_rec(10)，瞬间出结果，学生觉得递归优雅极了。教师不动声色地把参数改为35，运行——明显的卡顿出现。教室安静下来，疑问自然产生：这么短的代码为什么慢？学生在学案上画出fib_rec(5)的递归调用树：fib(5)分解为fib(4)与fib(3)，fib(4)又分解为fib(3)与fib(2)……画到一半学生自己发现：fib(3)被反复计算，fib(2)更是出现多次。教师请学生在代码中加入一个全局计数变量，统计调用fib_rec(40)的调用总次数，输出是一个超过2亿次的天文数字；而改用迭代版本：deffib_iter(n):a,b=1,1foriinrange(3,n+1):a,b=b,a+breturnb同样的输入，循环只执行n−2次，瞬间完成。强烈的数据反差促使学生得出结论：递归代码简洁、贴合数学定义，但可能存在大量重复子问题；迭代代码朴素，却往往更高效。教师补充一句方法论的提醒：解决重复计算的出路是记忆化或动态规划，那是后续学习的方向，今天先建立"有代价"的意识。设计意图：先让学生享受递归的美，再亲手撞上证递归的墙，最后用量化的调用次数解释墙的来源，完整经历"美感—困惑—证据—结论"的科学探究过程。两种实现对同一个问题并置，为下一环节的对比总结提供最鲜活的素材。（五）案例四：汉诺塔——递归思维的登高教师拿出三层汉诺塔模型，请学生尝试把三片圆盘从A柱借助B柱移到C柱，规则是大盘不能压小盘。学生操作成功后，教师加大难度：64片需要多少步？人力显然不可行，问题交给递归。教师引导学生完成关键的思维飞跃：要把最底下那片最大的盘子从A移到C，前提是上面的n−1片已经整体挪到B；最大盘就位后，再把B上的n−1片整体挪到C。至于"n−1片怎么挪"，那恰是原问题缩小一号的翻版。师生共同归纳递推关系与伪代码，再落实为：defhanoi(n,a,b,c):ifn==1:print(a,">",c)else:hanoi(n1,a,c,b)print(a,">",c)hanoi(n1,b,a,c)学生运行hanoi(3)与hanoi(4)，对照实物验证每一步的正确性，并通过计数发现移动步数为2的n次方减1：3片7步，4片15步。教师点出64片需要约1.8×10的19次方步，呼应开头的指数震撼，首尾闭环。组织讨论：汉诺塔为什么几乎不适合用迭代直接写？学生体会到：有些问题的结构天然是递归的——子问题与原问题同构、解决方案层层嵌套，此时递归表达简洁自然，强行迭代反而要用栈手工模拟，代码晦涩。这与斐波那契案例形成互补：递归不是炫技，而是当问题的递归结构足够清晰时最忠实的表达。设计意图：汉诺塔是递归思想的"试金石"，它把"信任子问题会被正确解决"这一递归信念推到前台。实物操作、代码输出、步数公式三方互证，既验证程序正确性，也渗透算法复杂度的量级观念。（六）对比梳理与课堂小结教师组织学生完成一张对比表，从思考方向、程序结构、空间开销、典型适用四个维度归纳。迭代从初始条件出发向前推进，依托循环结构，空间开销通常为常量级，适用于递推关系清晰、状态可显式更新的问题；递归从目标问题出发向边界回溯，依托函数自调用与系统栈，每次调用占用栈帧，深度过大有溢出风险，适用于子问题结构与原问题同构的场合，如分治类问题、树与图的遍历。教师补充两者的深层联系：任何递归程序都能改写为迭代加显式栈的形式，二者在表达力上等价，差别在于哪种写法更贴近问题结构、更经济。选择的标准不是偏好，而是问题本身的形状。学生用一句话在学案末端写下今天的最大收获，随机点名分享。教师的结语落在两句话上：迭代是"踩着昨天的脚印往前走"，递归是"把大石头敲成小石子，小石子自己会落地"。两种思想背后是同一种信念——再复杂的问题，都由可重复的简单结构堆叠而成。六、分层作业设计基础层：用迭代和递归两种方式分别实现1+2+3+……+n的求和与字符串反转，运行验证，并标注每份代码中的迭代三要素或递归两要素。提高层：用递归实现二分查找，与课上的迭代版本对比；为两个