2024-2025学年河南郑州航空港区八年级(下)期末数学试卷及答案

数学2024-2025学年河南省郑州市航空港区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.(3分)未来将是一个可以预见的AI时代.AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.(3分)在数轴上表示不等式x⩾2的解集，正确的是（）A.B.C.D.3.(3分)下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A.xB.xC.xD.(x+y)4.(3分)已知a>b，则下列不等式中不成立的是（）A.a−6>b−6B.3a>3bC.−2a<−2bD.a5.(3分)选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是（）A.三角形B.四边形C.正六边形D.正八边形6.(3分)如图，直线l:y=ax+b经过点A(−2,−1)，与直线m:y=cx+d交于点B，点B的横坐标是1，则不等式组cx+d>ax+b>−1的解集为（）A.−2<x<1B.−1<x<1C.0<x<1D.−2<x<07.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACDA.6B.10C.12D.208.(3分)下列说法正确的个数是（）①等腰三角形的高、中线、角平分线重合；②三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等；③一个正多边形的内角和为720∘，则这个正多边形的一个外角等于60④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；⑤三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.A.1B.2C.3D.49.(3分)如图，▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，BC=5，EF=1，则AB长为（）A.3B.4C.5D.610.(3分)如图，面积为6cm2的△ABC纸片沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC长的2倍，则△ABC纸片扫过的面积为（）A.18cmB.24cmC.27cmD.30cm二、填空题（每小题3分，共15分）11.(3分)如图是华为手机天气APP上显示的郑州市某一天的气温情况，设这天气温为t∘C，那么t应满足条件是.(用含有12.(3分)已知五个正数的和等于1.用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于15，应先假设13.(3分)因式分解：x3−214.(3分)如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，且BC=2AB=4，当∠B=60∘时，DE的长为15.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=8，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60∘得到AQ，连接CQ，则三、解答题（本题共7小题，共75分）16.(10分)计算下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决相关问题.(1解：原式=1−(x−1)=1−x−1=−x=−x(1)该同学解答过程是从第______步开始出错的，其错误的原因是______；(2)请写出此题正确的解题过程，再求值，其中x是不等式组&2x−117.(10分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点)A,B,C的坐标分别为(0,4)，(2,2)，(1,1)，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法)。(1)将△ABC向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1(点A，B，C的对应点分别为A(2)以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90∘，得到△AB2C2(点B，C的对应点分别为(3)请直接写出以A，B2，A1，C(4)在线段AC上画一点D，使得△ADB的面积是△ABC面积的1218.(12分)“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读.已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同.(1)求A，B两类图书的单价分别是多少元？(2)学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.19.(9分)如图，已知∠ACB=∠BDA=90∘，AD与CB相交于点(1)请你添加一个条件使△ACB≌△BDA，并加以证明；(2)在第（1）问的条件下延长AC、BD交于点P，直线PE是线段AB的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.20.(11分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”.例如：12=42−22，20=62−4(1)按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出)______；(2)证明：任意一个完美数都能够被4整除；(3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为40，求阴影部分的总面积.21.(11分)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=6，BC=10，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.连接PO并延长交BC于点Q，设点P的运动时间为ts.(1)求BQ的长（用含t的代数式表示）；(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；(3)当点O在线段CQ的垂直平分线上时，直接写出t的值.22.(12分)【问题提出】在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D是直线BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90∘得到AE，点P为CD的中点，作射线AP交BE于点F，判断AP【问题探究】(1)先将问题特殊化，当点D与点B重合时，直接写出AP和BE的关系______；(2)再探究一般情况，如图所示，判断AP与BE的关系，并说明理由；【问题应用】(3)当BC=9，且BD=CP时，请直接写出AP的长.数学2024-2025学年河南省郑州市航空港区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1、【答案】D【知识点】轴对称图形,中心对称图形2、【答案】D【知识点】在数轴上表示不等式的解集3、【答案】B【知识点】因式分解的意义4、【答案】D【知识点】不等式的性质5、【答案】D【知识点】平面镶嵌（密铺）6、【答案】A【知识点】一次函数与一元一次不等式,两条直线相交或平行问题7、【答案】C【知识点】角平分线的性质8、【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质9、【答案】A【知识点】平行四边形的性质10、【答案】D【知识点】平移的性质二、填空题（每小题3分，共15分）11、【答案】10⩽t⩽19【知识点】不等式的定义,在数轴上表示不等式的解集12、【答案】这五个数都小于1【知识点】反证法13、【答案】x【知识点】提公因式法与公式法的综合运用14、【答案】2【知识点】平行四边形的性质15、【答案】4【知识点】垂线段最短,含30度角的直角三角形,旋转的性质三、解答题（本题共7小题，共75分）16、【解答】解：(1)由题干中的解题步骤可得该同学解答过程是从第二步开始出错的，其错误的原因是括号前面是负号，去括号时没有变号，故答案为：二；括号前面是负号，去括号时没有变号；(2)原式====−1解不等式①得：x⩾−1，解不等式②得：x⩽2，故原不等式组的解集为−1⩽x⩽2，则其整数解为−1，0，1，2，∵(x+1)(x−1)≠0且x−2≠0∴x≠±1且x≠2，∴x=0，原式=−1【知识点】分式的化简求值,解一元一次不等式组,一元一次不等式组的整数解17、【解答】解：（1）如图，△A1(2)如图，△AB(3)以A，B2，A1，C为顶点的四边形的面积为(4)如图，取AC的中点D，则点D即为所求.【知识点】点的坐标,作图-平移变换,作图-旋转变换18、【解答】解：（1）设A类图书的单价为a元，则B类图书的单价为(a+5)元，根据题意得：150a解得：a=25，经检验，a=25是所列分式方程的解，∴a+5=30，答：A类图书的单价为25元，B类图书的单价为30元；(2)购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱，理由如下：设购买A类图书x本，则购买B类图书(120−x)本，由题意得：&x≥30解得：60⩽x⩽80，设购买总费用为w，由题意得：w=25×0.8x+30×0.6(100−x)=2x+1800∵2>0，∴w随x的增大而增大，∴当x=60时，w有最小值，此时，100−x=40，答：购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱.【知识点】分式方程的应用19、【解答】解：（1）添加条件为：∠CAB=∠DBA，∵∠ACB=∠BDA=90∘，∠CAB=∠DBA，∴△ACB≌△BDA(AAS)(2)是，证明如下：如图所示，延长AC、BD交于点P，∵△ACB≌△BDA，∴AC=BD，∵∠ACB=∠BDA=90∘，∴△ACE≌△BDE(AAS)∴AE=BE，CE=DE，∴点E在AB的垂直平分线上，∴AD=BC，∵∠ACB=∠BDA=90∴∠ADP=∠BCP=90∵∠P=∠P，∴△ADP≌△BCP(AAS)∴AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，∴直线PE是线段AB的垂直平分线.【知识点】线段垂直平分线的性质20、【解答】(1)解：36=10故答案为：36=10(2)证明：设两个连续的偶数为2n、2(n+1)，n为自然数，则完美数为[2∴==2=4(2n+1)∵n为自然数，∴2n+1为正整数，∴4(2n+1)能被4即任意一个完美数都能够被4整除；(3)解：根据题意，得：S==2=2=840.【知识点】因式分解的应用21、【解答】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO(ASA)∴AP=CQ=t，∵BC=10，∴BQ=10−t；(2)∵AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=10−t，解得t=5，∴当t=5秒时，四边形ABQP是平行四边形；(3)如图，过点O作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，在Rt△ABC中，AB=6，BC=10，∴AC=BC2∴S∴AB·AC=BC·EF，∴6×8=10EF，∴EF=24∴OF=12∵OF是CQ的垂直平分线，∴CF=12QC=由勾股定理得CF∴(1∴t=325或∴当t=325秒时，点O在线段【知识点】平方根,全等三角形的判定与性质,勾股定理,四边形综合题22、【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠BAC=90∴当点D与点B重合时，点E于点C重合，如图1所示：∵P为CD的中点，∴AP⊥BE，AP=1故答案为：AP⊥BE，AP=1(2)AP与BE的关系是：AP⊥BE，AP=1延长AP到M，使MP=AP，连接MD，MC，如图2所示：∴AP=1在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠BAC=90∘，∵MP=AP，点P为CD的中点，∴四边形ADMC是平行四边形，∴DM=AC=AB,DM∥AC，∴∠MDC=∠ACB=45∘，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=45∴∠MDA=∠MDC+∠ADC=45由旋转的性质得：AD=AE，∠DAE=90∴∠BAE=∠DAE+∠BAD=90∴∠MDA=∠BAE=90在△MDA和△BAE中，&DM=AB∴△MDA≌△BAE(SAS)∴AM=BE，∠DMA=∠ABE，又∵AP=1∴AP=1∵∠DMA=∠CAF，∠DMA=∠ABE，∴∠CAF=∠ABE，∵∠BAF+∠CAF=∠BAC=90∴∠