全国统考数学三押题卷｜2022考研（真题+答案对照）

全国统考数学三押题卷｜2022考研（真题+答案对照）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sinx}=2$，则曲线$y=f(x)$在点$(0,0)$处的切线方程为（）A.$y=2x$B.$y=x$C.$y=-2x$D.$y=-x$2.设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2\sin\frac{1}{x},&x\ne0\\0,&x=0\end{array}\right.$，则$f(x)$在$x=0$处（）A.不可导B.可导但导数不连续C.可导且导数连续D.以上均不正确3.设函数$y=ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=(\quad)$A.1B.-1C.2D.-24.已知函数$y=2\lnx-x^2$的二阶导数为$y''$，则方程$y''=0$的解为（）A.1B.-1C.2D.-25.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，则下列说法正确的是（）A.必存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$B.必存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=1$C.必存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=-1$D.以上均不正确6.设函数$y=xe^{-x}$，则$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=1}=(\quad)$A.$e^{-1}$B.$-e^{-1}$C.$2e^{-1}$D.$-2e^{-1}$7.设函数$f(x)=\int_0^x(t^2-1)dt$，则$f'(x)=(\quad)$A.$x^2-1$B.$x^2+1$C.$2x$D.$2x-1$8.设函数$y=ln\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}\right)$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=(\quad)$A.1B.-1C.2D.-29.设函数$y=\sqrt{1+x^2}$，则$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=0}=(\quad)$A.0B.1C.2D.-110.设函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上可导，且$f'(x)>0$，$f(1)=1$，则下列说法正确的是（）A.$f(x)>1$，当$x>1$B.$f(x)<1$，当$x>1$C.$f(x)>1$，当$x<1$D.$f(x)<1$，当$x<1$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。）1.设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2&x\le1\\ax+b&x>1\end{array}\right.$，若$f(x)$在$x=1$处连续，则$a=$，$b=$。2.设函数$y=ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=$。3.设函数$y=x^3-3x^2+2$，则$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=1}=$。4.设函数$f(x)=\int_0^x(t^2-1)dt$，则$f'(x)=$。5.设函数$y=ln\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}\right)$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=$。6.设函数$y=\sqrt{1+x^2}$，则$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=0}=$。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，证明：必存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$。2.（10分）设函数$y=x^3-3x^2+2$，求函数的极值。3.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x(t^2-1)dt$，求函数的拐点。4.（10分）设函数$y=ln\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}\right)$，求函数的渐近线。5.（10分）设函数$y=\sqrt{1+x^2}$，求函数的曲率半径。6.（20分）设函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上可导，且$f'(x)>0$，$f(1)=1$，证明：$f(x)>1$，当$x>1$。【标准答案】一、单项选择题1.A2.C3.B4.A5.A6.D7.A8.B9.B10.A二、填空题1.$a=2$，$b=-1$2.$-1$3.$-3$4.$t^2-1$5.$-1$6.$1$三、解答题1.证明：由罗尔定理，因为函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且在$(0,1)$上可导，且$f(0)=f(1)$，所以必存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$。2.解：函数的导数为$y'=3x^2-6x$，令$y'=0$，解得$x=0$或$x=2$，函数的二阶导数为$y''=6x-6$，当$x=0$时，$y''=-6<0$，所以$x=0$是极大值点，极大值为$y(0)=2$；当$x=2$时，$y''=6>0$，所以$x=2$是极小值点，极小值为$y(2)=-2$。3.解：函数的导数为$f'(x)=x^2-1$，函数的二阶导数为$f''(x)=2x$，令$f''(x)=0$，解得$x=0$，当$x<0$时，$f''(x)<0$，当$x>0$时，$f''(x)>0$，所以$x=0$是拐点，拐点为$(0,0)$。4.解：函数的导数为$y'=\frac{x}{1+x^2}$，当$x\to+\infty$时，$y\to0$，所以水平渐近线为$y=0$。5.解：函数的导数为$y'=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，函数的二阶导数为$y''=\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$，曲率半径为$\rho=\frac{(1+x^2)^{3/2}}{1}=1+x^2$，当$x=0$时，曲率半径为$\rho=1$。6.证明：因为函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上可导，且$f'(x)>0$，所以函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，又因为$f(1)=1$，所以当$x>1$时，$f(x)>f(1)=1$，即$f(x)>1$，当$x>1$。【解析】一、单项选择题1.因为$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sinx}=2$，所以$f(0)=0$，且$f'(0)=2$，所以曲线$y=f(x)$在点$(0,0)$处的切线方程为$y=2x$。2.因为$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$，当$x\to0$时，$f'(x)$没有极限，所以$f'(x)$不连续，但$f'(0)=0$，所以$f(x)$在$x=0$处可导且导数不连续。3.函数的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{1-x^2}$，当$x=0$时，$\frac{dy}{dx}=-1$。4.函数的导数为$y'=2\frac{1}{x}-2x$，函数的二阶导数为$y''=-\frac{2}{x^2}-2$，令$y''=0$，解得$x=-1$，但$x=-1$不在区间$[0,1]$上，所以方程$y''=0$无解。5.由罗尔定理，因为函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且在$(0,1)$上可导，且$f(0)=f(1)$，所以必存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$。6.函数的导数为$y'=e^{-x}-xe^{-x}$，函数的二阶导数为$y''=-e^{-x}+e^{-x}-xe^{-x}=-2e^{-x}+xe^{-x}$，当$x=1$时，$y''=-2e^{-1}+e^{-1}=-e^{-1}$。7.由牛顿-莱布尼茨公式，$f'(x)=x^2-1$。8.函数的导数为$y'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-1}-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+1}=\frac{2}{x\sqrt{1+x^2}}$，当$x=0$时，$y'=-1$。9.函数的导数为$y'=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，函数的二阶导数为$y''=\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$，当$x=0$时，$y''=1$。10.因为函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上可导，且$f'(x)>0$，所以函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，又因为$f(1)=1$，所以当$x>1$时，$f(x)>f(1)=1$，即$f(x)>1$，当$x>1$。二、填空题1.因为$f(x)$在$x=1$处连续，所以$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)$，即$1=a+b$，又因为$f'(x)=2x$，当$x=1$时，$f'(1)=2$，所以$a=2$，$b=-1$。2.函数的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=-\frac{2}{1-x^2}$，当$x=0$时，$\frac{dy}{dx}=-1$。3.函数的导数为$y'=3x^2-6x$，函数的二阶导数为$y''=6x-6$，当$x=1$时，$y''=0$。4.由牛顿-莱布尼茨公式，$f'(x)=x^2-1$。5.函数的导数为$y'=\frac{x}{1+x^2}$，当$x=0$时，$y'=-1$。6.函数的导数为$y'=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，函数的二阶导数为$y''=\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$，当$x=0$时，$y''=1$。三、解答题1.证明：由罗尔定理，因为函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且在$(0,1)$上可导，且$f(0)=f(1)$，所以必存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$。2.解：函数的导数为$y'=3x^2-6x$，令$y'=0$，解得$x=0$或$x=2$，函数的二阶导数为$y''=6x-6$，当$x=0$时，$y''=-6<0$，所以$x=0$是极大值点，极大值为$y(0)=2$；当$x=2$时，$y''=6>0$，所以$x=2$是极小值点，极小值为$y(2)=-2$。3.解：函数的导数为$f'(x)=x^2-1$，函数的二阶导数为$f''(x)=2x$，令$f''(x)=0$，解得$x=0$，当$x<0$时，$f''(x)<0$，当$x>0$时，$f''(x)>0$，所以$x=0$是拐点，拐点为$(0,0)$。4.解：函数的导数为$y'=\frac{x}{1+x^2}$，当$x\to+\infty$时，$y\to0$，所以水平渐近线为$y=0$。5.解：函数的