第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 （含答案）2026-2027学年人教版数学九年级全一册

第二十五章一元二次方程(时间:120分钟分值:120分)一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内)1.下列方程中,是一元二次方程的是()A.x(x-3)=0 B.x3+2x=0 C.1x2-x=1 D.y-x22.将一元二次方程x2=-2x+8化为一般形式后,若二次项系数为1,则常数项为()A.-2 B.2 C.-8 D.83.用配方法解下列方程,其中应在两端同时加上1的是()A.x2-x=5 B.x2+2x=5 C.x2+4x=5 D.x2-4x=54.若x=2±4-4×3×(-1)2×3是一元二次方程ax2A.-2 B.4 C.2 D.05.近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑.某款燃油汽车2月份的售价为23万元,4月份售价为18.63万元,设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x,则下列方程正确的是()A.18.63(1+x)2=23 B.23(1-x)2=18.63 C.18.63(1-x)2=23 D.23(1-2x)=18.636.(数学文化·几何原本)欧几里得的《几何原本》中记载,方程x2+ax=b2的图解法是先画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=a2,AC=b,再在斜边AB上截取BD=BC,则该方程的一个正根是()A.线段AC的长 B.线段BC的长 C.线段CD的长 D.线段AD的长二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.若一元二次方程(x-2)2=n+1(n为常数)有实数根,则n的取值范围是.

8.方程(x-4)(x+3)=0的解是.

9.已知m是方程x2-2x-7=0的一个根,则2m2-4m+1=.

10.已知关于x的方程x2+2x-3=m的解是x1=1,x2=-3,则关于y的方程(2y-3)2+2(2y-3)-3=m的解是.

11.若一元二次方程ax2-x-14=0(a为常数,且a≠0)有两个不相等的实数根,则点P(a+1,-a-3)在第象限12.(新考法·分类讨论)已知△ABC的三边长都是关于x的方程x2-3kx+8=0的解,其中k为整数,且k<5,则△ABC的周长等于.

三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.(1)解方程:(x-2)2-9=0.(2)当x为何值时,代数式x2+1和4x+1的值相等?14.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-5x+6=0的两根,求此直角三角形的斜边长.15.(新考法·正误辨析)小红解方程3x(x-1)-x+1=0的过程如下:解:3x(x-1)-(x-1)=0,…①3x-1=0,…②3x=1,…③x=13.…(1)小红的解答过程是有错误的,开始出现错误的是.(填对应的序号)

(2)写出正确的解答过程.16.(传统文化·四大发明)造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校科技节活动中,计划在如图所示的长100cm、宽40cm的展板上展出介绍四大发明的海报,每幅海报面积均为640cm2,若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为xcm的彩色纸带,求彩色纸带的宽度.17.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根.(1)求k的取值范围.(2)当k取最大整数时,求此时方程的根.四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0.(1)求证:方程总有两个实数根.(2)若方程有一个根为负数,求m的取值范围.19.阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.【问题】解方程:x2+2x+4x2+2x-5=【提示】可以用“换元法”解方程.解:设x2+2x=t(t≥0),则有x2+2x=t原方程可化为t2+4t-5=0,【续解】20.(新情境·日常生活)端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是两名调查员的对话:小王:该水果的进价是每千克22元.小李:当销售价格为每千克38元时,每天可售出160千克,若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价格.五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(新素养·运算能力)解高次方程的思想是“降次”,将含未知数的某部分用低次项替换,例如解四次方程x4+2x2-8=0时,可设y=x2,则原方程可化为y2+2y-8=0,先解出y,再将y的值代入y=x2中解x的值,由此高次方程得解.解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体,例如上述方程中,可将x2看作一个整体,得(x2)2+2x2-8=0,先解出x2的值,再进一步求解即可.根据上述方法,解答下列问题:(1)若(2x2+2y2-3)(2x2+2y2+3)=7,求x2+y2的值.(2)解方程:(y2-3y)2-4y2+12y=0.22.追本溯源题(1)来自课本中的习题,请你完成解答,并用类似方法解答题(2).(1)一个长方体的长与宽的比为5∶2,高为5cm,表面积为40cm2,画出这个长方体的展开图.方案设计(2)现有一张长80cm、宽40cm的矩形硬纸板制作成的一个有盖的长方体收纳盒.如图,把该硬纸板的四角剪去四个全等的矩形,折成一个有盖的长方体收纳盒,连接处恰好重合且无重叠部分.若该收纳盒的底面积(阴影部分的面积)为250cm2,求该收纳盒的高.六、解答题(本大题共12分)23.阅读下列材料.法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在b2-4ac≥0时,两根分别可表示为x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a,那么可推得x利用一元二次方程根与系数的关系,解答下列问题:(1)已知方程x2+2x-9=0的两根为x1,x2,求(x1+1)(x2+1)的值.(2)已知实数x,y满足xy+(x+y)=13,x2y+xy2=42,求x2+y2的值.

【参考答案】1.A2.C3.B4.D5.B6.D提示:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC2+BC2=AB2.∵AC=b,BD=BC=a2∴b2+a22=AD+a22=AD2+aAD+a22,∴AD2+aAD=b2.∵AD2+aAD=b2与方程x2+ax=b2相同,且AD的长度为正数,∴线段AD的长是方程x2+ax=b2的一个正根.7.n≥-18.x1=4,x2=-39.1510.y1=2,y2=011.四12.6或12或10提示:据题意得k≥0且(3k)2-4×8≥0,解得k≥329∵整数k<5,∴k=4.当k=4时,方程为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.∵△ABC的边长均满足方程x2-6x+8=0,∴△ABC的边长为2,2,2或4,4,4或4,4,2,∴△ABC的周长为6或12或10.故答案为6或12或10.13.(1)解:∵(x-2)2-9=0,∴(x-2)2=9,∴x-2=±3,∴x-2=3或x-2=-3,解得x1=5,x2=-1.3分(2)解:由题意,得x2+1=4x+1,∴x2-4x=0,1分x(x-4)=0,2分x1=0,x2=4.3分14.解:(解法不唯一)设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为a2+b2=∵a+b=--51=5,∴a2+b2=5215.解:(1)②.2分(2)∵3x(x-1)-x+1=0,∴3x(x-1)-(x-1)=0,则(x-1)(3x-1)=0,∴x-1=0或3x-1=0,解得x1=1,x2=13.6分16.解:由题意可得(100-5x)(40-2x)=640×4,3分解得x1=4,x2=36(不符合题意,舍去).答:彩色纸带的宽度为4cm.6分17.解:(1)∵关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根,∴k解得k≤2且k≠1.3分(2)当k=2时,方程为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,解得x1=x2=1.6分18.解:(1)证明:∵a=1,b=-(m+1),c=m,∴Δ=b2-4ac=[-(m+1)]2-4×1×m=m2+2m+1-4m=m2-2m+1=(m-1)2.2分∵(m-1)2≥0,即Δ≥0,∴方程总有两个实数根.4分(2)由(1)得一元二次方程x2-(m+1)x+m=0的Δ=(m-1)2.用公式法解得x=m+1±(m∴x1=m,x2=1.6分∵方程有一个根为负数,∴m<0.8分19.解:(t+5)(t-1)=0,t+5=0或t-1=0,∴t1=-5,t2=1.2分当t=-5时,x2+2x当t=1时,x2+2x=1,则x2+2x=1,配方得(x+1)2解得x1=-1+2,x2=-1-2.6分经检验,原方程的解为x1=-1+2,x2=-1-2.8分20.解:设每千克降低x元,超市每天可获得销售利润3640元.由题意得(38-x-22)160+x3×120=3640,整理得x2-12x+27=0,∴解得x1=3,x2=9.5分∵要尽可能让顾客得到实惠,∴x=9,6分∴售价为38-9=29(元/千克).7分答:当水果的销售价格为每千克29元时,超市每天可获得销售利润3640元,且顾客尽可能得到实惠.8分21.解:(1)设t=x2+y2,则t≥0,原方程可化为(2t-3)(2t+3)=7,整理得t2=4,解得t1=2,t2=-2(不合题意,舍去),∴x2+y2的值是2.4分(2)(y2-3y)2-4y2+12y=0,(y2-3y)2-4(y2-3y)=0,(y2-3y)(y2-3y-4)=0,y2-3y=0或y2-3y-4=0,解方程y2-3y=0,得y1=0,y2=3;解方程y2-3y-4=0,得y3=-1,y4=4,∴原方程的解为y1=0,y2=3,y3=-1,y4=4.9分22.解:(1)设该长方体的长为5xcm,宽为2xcm,∴2(5x×2x+5×5x+2x×5)=40,∴2x2+7x-4=0,∴x1=0.5,x2=-4(舍去),∴该长方体的长为2.5cm,宽为1cm,高为5cm.画图略.4分(2)如图,设该收纳盒的高为xcm,则BC=40-2x,AB=80-2x∴40-2x>0,∴x<20,∴(40-2x)(40-x)=250,整理得x2-60x+675=0,解得x=15或x=45(舍去),∴该收纳盒的高为15cm.9分23.解:(1)∵方程x2+2x-9=0的两根分别为x1,x2,∴x1+x2=-2,x1x2=-9,∴