2026年秋高一数学中档题专练专题3-3 函数的奇偶性与对称性（原卷版）

专题3-3函数的奇偶性与对称性

重难点题型

【题型1】判断函数的奇偶性

【题型2】利用奇偶性求值

【题型3】利用奇偶性求参数

【题型4】利用奇偶性求解析式

【题型5】利用函数奇偶性识别图像

【题型6】利用奇偶性与单调性比大小

【题型7】利用单调性解奇函数不等式

中档题型

【题型8】利用单调性解偶函数不等式

【题型9】已知f(x)=奇函数+M

【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用

【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用

【题型12】构造新函数解不等式

【课后作业】

重难点题型

【题型1】判断函数的奇偶性

一、函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，

偶函数关于y轴对称

那么函数f(x)就叫做偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)

f(x)，

奇函数关于原点对称

那么函数f(x)就叫做奇函数

二、判断奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称；

函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数yf(x)在x0处有意义，则有f(0)0；

偶函数yf(x)必满足f(x)f(|x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称

的两个区间上单调性相同.

(5)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得

的函数，如f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x).

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(g(x))

偶偶偶偶偶

偶奇不确定奇偶

奇偶不确定奇偶

奇奇奇偶奇

【注意】在f(g(x))中，g(x)的值域是f(x)定义域的子集．

1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（）

A．fxx21B．fxx31

1

C．fxx3D．fxx42x2

x

2．（2024·高一·山东·期中）（多选）已知fx,gx有相同的定义域，fx是偶函数，gx是奇

函数，且gx0，则（）

A．fxgx为奇函数B．fgx为偶函数

fx

C．fxgx是偶函数D．是奇函数

gx

【巩固练习1】判断下列函数的奇偶性

2

32x2x

(1)fxxx；(2)fx1x2x21；(3)fx.

x1

【巩固练习2】设函数fx,gx的定义域为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论中

正确的是（）

A．fxgx是偶函数B．fxgx是奇函数

C．fxgx是奇函数D．fxgx是奇函数

【题型2】利用奇偶性求值

由函数的奇偶性求函数值

由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(x)fx或

f(x)fx求解

3．已知函数yf(x)在R上是奇函数，且当x0时，f(x)x22x，则f(1)（）

A．1B．1C．0D．1

21

【巩固练习1】已知fx是偶函数，当x0时，fx3x，则f（）

x3

A．7B．5C．7D．5

2x3,x0

【巩固练习2】如果函数y是奇函数，则f(3)（）

fx,x0

A．2B．2C．3D．3

8

【巩固练习3】已知奇函数fx的定义域为R，且当x<2时，fx；当0x2时，

x2

f(x)=x2-2，则f3f0f1（）

A．7B．9C．-7D．-9

【题型3】利用奇偶性求参数

利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求

参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力

常见方法：

（1）定义法

奇函数：f(x)

f(x)；偶函数：f(x)f(x)

（2）特殊值法

可以取0，±1这类比较好计算的特殊值

（3）函数性质法

①f(|x|)为偶函数，

②奇奇=奇；偶偶=偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶，结合常见函数模型

③复合函数yf[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

（4）定义域对称法

若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值

x21

4．已知f(x)为R上的偶函数，则a.

(3x2)(xa)

2

5．已知定义在a2,a上的函数yfx是奇函数，则实数a的值为．

6．已知函数fxxa2x2a1为R上的奇函数，则fa的值是（）

A．0B．12C．12D．10

7．若fxxx2xa为奇函数，则a的值为（）

A．1B．0C．1D．2

【巩固练习1】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数fx1xax是偶函数，则

a.

【巩固练习2】（2024·高一·江西上饶·期末）若函数fxax2bx1是2a,1a上的偶函数，则ab

的值为.

2b

【巩固练习3】若函数fxxax1是定义在(b,2b2)上的偶函数，则f（）

2

157

A．B．C．D．2

444

【题型4】利用奇偶性求解析式

由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤

（1）在哪个区间上求解析是，x就设在哪个区间上；

（2）把x对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得f(x)；

（3）利用函数的奇偶性把f(x)改写成f(x)或f(x)，从而求出f(x)．

2

8．所函数f(x)是R上的偶函数，且当x0时，函数的解析式为f(x)1，则f(1)；

x

当x0时，函数的解析式为.

1

9．函数fx是一个偶函数，gx是一个奇函数，且fxgx，则fx等于（）

x1

12x222x

A．B．C．D．

x21x21x21x21

【巩固练习1】设fx为奇函数，且当x0时，fxx3x，则当x0时，fx（）

A．x3xB．x3xC．x3xD．x3x

【巩固练习2】fx是定义在R上的偶函数，当x0时，fxx22x3，求当x0时，fx的

解析式．

x(x1),x0

【巩固练习3】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数f(x)是奇函数，那么g(x)

g(x),x0

（）

A．x(x1)B．x(x1)C．x(x1)D．x(x1)

【巩固练习4】已知函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)g(x)x2x1，则f(2)（）

A．2B．1C．1D．2

【巩固练习5】（2024·高一·河南·期中）已知fx,gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

fxgxx3x2x，则f1g1（）

A．1B．3C．3D．1

【题型5】利用函数奇偶性识别图像

判断函数图像常用的办法是排除法

一:判断奇偶性(依选项而判断)

二:代入特殊点看正负

2x21

10．函数fx的部分图象大致是（）

x3

A．B．C．D．

x1

11．函数fxx的图象大致为（）

1x22

ABCD

x21

【巩固练习1】函数fx的图象大致是（）

x

A．B．C．D．

【巩固练习2】（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，

形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解

析式来分析函数的图像特征，函数yx21x21在[﹣2，2]上的图像大致是（）

A．B．C．D．

2x

【巩固练习3】（2024·高一·重庆·期中）函数f(x)的图像大致是（）

x21

A．B．

C．D．

【题型6】利用奇偶性与单调性比大小

利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用

其单调性比较大小

f(x)f(x)

12．已知奇函数f(x)的定义域为,00,，且不等式120对任意两个不相等的正

x1x2

实数x1，x2都成立，在下列不等式中，正确的是()

A．f5f3B．f5f3C．f(3)f(5)D．f(3)f(5)

13．设偶函数fx的定义域为R，当x0,时，fx是增函数，则f7，fπ，f3的

大小关系是（）

A．f(π)f(3)f(7)B．fπf7f3

C．fπf3f7D．fπf7f3

【巩固练习1】已知函数f(x)ax2b是定义在[a,a2]上的偶函数，又g(x)f(x2)，则

g(2),g(3),g(2)的大小关系为（）

A．g(2)g(3)g(2)B．g(3)g(2)g(2)

C．g(2)g(2)g(3)D．g(2)g(3)g(2)

【巩固练习2】已知函数fx在3,上单调递减，且fx的图象关于直线x3对称，则af0.2，

bf2,cf0的大小关系是（）

A．abcB．bcaC．cbaD．bac

【巩固练习3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是

定义在R上的奇函数，且fx，gx在0,上单调递减，则（）

A．ff2ff3B．fg2fg3

C．gg2gg3D．gf2gf3

【题型7】利用单调性解奇函数不等式

先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义

域的限制

14．已知奇函数fx在R上单调递增，且f21，则不等式fx10的解集为（）

A．1,1B．2,2C．2,D．,2

15．若定义在R上的奇函数fx在(,0)单调递减，且f20，则满足xfx0的x的取值范围

是（）

A．2,0[2,)B．2,2

C．[,2]0,2D．[,2][2,]

【巩固练习1】奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范

围．

axb12

【巩固练习2】函数f(x)是定义在(1,1)上的单调递增的奇函数，且f.

1x225

(1)求函数f(x)的解析式；(2)求满足f(t1)f(t)0的t的范围；

【巩固练习3】设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为()

A．(－1,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)

【巩固练习4】设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)0的解集为

A．(1，0)(1，)B．(，1)(0，1)

C．(，1)(1，)D．(1，0)(0，1)

中档题型

【题型8】利用单调性解偶函数不等式

利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定

义域的限制

16．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2(,0]，当x1x2时总有

f(x)f(x)1

120，则满足f(12x)f()0的x的范围是（）

x1x23

12121212

A．,B．,C．,D．,

33332323

111

17．已知fx是定义在,上的偶函数，且在,0上递减，则不等式fxf12x0的

222

解集是．

【巩固练习1】已知fx是定义在R上的偶函数，且在区间0,单调递减，则不等式

fx1f2x1的解集为（）

A．,20,B．2,0

C．0,2D．,02,

【巩固练习2】已知定义在[4,4]上的偶函数f(x)在[0,4]上为减函数，且f(x1)f(2)，则实数x

的取值范围是（）

A．3,B．3,3C．3,1D．1,3

2axb19

【巩固练习3】已知定义在[2,2]上的偶函数f(x)，且f()．

x21310

(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于m的不等式f13mfm10．

【题型9】已知f(x)=奇函数+M

已知f(x)奇函数M，x[a,a]，则

（1）f(x)f(x)2M

（2）f(x)maxf(x)min2M

b

18．（22-23高一上·浙江台州·期中）已知f(x)ax33，f(4)5，则f4（）

x

A．3B．1C．-1D．-5

x3

19．已知函数fx3在区间2024,2024上的最大值为M，最小值为m，则

x22

Mm．

(x1)2g(x)

20．定义在R上的奇函数g(x)，设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则

x21

Mm．

【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数fxax3bx4，若f20242，则

f2024．

2

2x1

【巩固练习2】若函数fx在区间2024,2024上的最大值为M，最小值为m，则

x21

Mm．

【巩固练习3】已知f(x)与g(x)均为奇函数，F(x)af(x)bg(x)3（a､b为非零常数），若F(4)4，

则F(4).

【巩固练习4】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数fxx3x1，且fa2f3a42，则

实数a的取值范围是（）

A．4,1B．,4U1,

C．,14,D．1,4

【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用

奇函数、偶函数图象对称性的推广

yf(x)在定义域内恒满足yf(x)的图象的对称轴（中心）

f(ax)f(ax)直线xa

a

f(x)f(ax)直线x

2

ab

f(ax)f(bx)直线x

2

f(ax)f(ax)0点(a,0)

ab

f(ax)f(bx)0点(,0)

2

abc

f(ax)f(bx)c点(,)

22

21．（多选）函数yfx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是函数yfxab为

1

奇函数.现已知函数fxax，gxx33x23，则下列说法正确的是（）

x1

A．函数fx对称中心为1,aB．函数gx对称中心为1,1

C．当a0时，fx在1,上单调递增

D．若a1，fx与gx的图象共有2022个交点，记为Aixi,yi,i1,2,3,,2022，则

x1y1x2y2x2022y2022的值为4044

【巩固练习1】我们知道函数yfx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

yfx为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数yfx的图像关于点Ha,b成中心对称图

1

形的充要条件是函数yfxab为奇函数，则函数fxx的对称中心是（）

x1

A．1,1B．1,1

C．0,0D．1,1

【巩固练习2】已知函数fxxR满足fxfx2，若yx1与yfx的图像有交点

x,yx,y

11，22，x3,y3，则x1x2x3y1y2y3（）

A．3B．0C．3D．6

x1

【巩固练习3】已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点

x

x,yx,y

为11，22，…，x2020,y2020，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）

A．2020B．2020C．1010D．1010

【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用

奇函数、偶函数图象对称性的推广

yf(x)在定义域内恒满足yf(x)的图象的对称轴（中心）

f(ax)f(ax)直线xa

a

f(x)f(ax)直线x

2

ab

f(ax)f(bx)直线x

2

22．设函数fx的定义域为0,4，若fx在0,2上单调递减，且关于x2对称，则下列结论正

确的是（）

5775

A．f1ffB．fff1

2222

5775

C．ff1fD．f1ff

2222

【巩固练习1】已知函数fx在2,上单调递减且对任意满足f1xf3x，则不等

�∈�

式f2x3f5的解集是（）

A．,14,B．,4C．D．

1,+∞1,4

【巩固练习2】已知函数fx满足f2xf2x，对任意x1,x2,2，且x1x2，都有

fxfx

120成立，且f00，则fx0的解集是（）

x1x2

A．,22,B．2,2

C．,40,D．4,0

【题型12】构造新函数解不等式

常见的构造函数模型

xfxxfx

（1）1122g(x)xf(x)

x1x2

fx2fx1

（2）ag(x)f(x)ax

x2x1

23．若函数fx是定义域为R，且对x1,x2R，且x1x2，有fx1fx2x2x1，不等式

fxf2x2x2的解集为（）

A．1,B．0,C．1,D．2,

x2fx1x1fx2

24．定义在上的函数fx满足：对x1,x20,，且x1x2，都有0

x1x2

0,+∞

fx

成立，且f36，则不等式2的解集为（）

x

A．3,B．0,3

C．0,2D．2,

【巩固练习1】已知fx为R上的奇函数，f22，若x1,x20,且x1x2，都有

xfxxfx

11220，则不等式x1fx14的解集为（）

x1x2

A．,13,B．,3

C．1,3D．1,

【巩固练习2】设fx是定义在,00,上的奇函数，对任意的x1,x20,,x1x2，满足：

xfxxfx9

22110，且f33，则不等式fx0的解集为.

x2x1x

【巩固练习3】已知fx是定义在R上的奇函数，f10，若x1,x2,0，且x1x2时，

x1fx1x2fx2

0恒成立，则不等式xf2x0的解集是.

x1x2

【巩固练习4】定义在R上的函数fx满足：fxfx2x，且对于0,上的x1,x2x1x2

fx2fx1

有：1.则关于fxf12x22x2x1的不等式解集为.

x2x1

【巩固练习5】已知定义在R上的函数fx满足f2x=fx，且当x2x11时，恒有

fxfx

210，则不等式fx1f2x1的解集为（）

x2x1

22

A．2,0B．2,C．,2,D．,20,

33

【巩固练习6】已知偶函数fx的定义域为xRx0，且有f2x8fx，f11，若对x1，

22fx

x20,，都有x1x2x2fx1x1fx20，则不等式x的解集为.

2x

【课后作业】

1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分

家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式

ax

来琢磨函数的图象特征，如函数y(a0)的图象大致为（）

x21

A．B．C．D．

2．已知偶函数fx，当x0时，fxx2x，则当x0时，fx（）

A．x2xB．x2xC．x2xD．x2x

3．（多选）fx是定义在R上的奇函数，下列结论中，正确的是（）

A．fx