2026年天津市人教版高中数学高二年级上册函数性质练习题

2026年天津市人教版高中数学高二年级上册函数性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增且无界B.单调递减且无界C.单调递增且有界D.单调递减且有界解析：函数f(x)=ln(x+1)的定义域为(-1,+∞)，在区间(-1,0)上，其导数f′(x)=1/(x+1)始终大于0，故该函数在(-1,0)上单调递增。由于x+1的取值范围在(0,1)，ln(x+1)的取值范围在(-∞,0)，因此函数在(-1,0)上单调递增且有界。正确答案为C。2.函数g(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数g(x)=x^3-3x的导数为g′(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令g′(x)=0，解得x=-1和x=1。计算二阶导数g′′(x)=6x，在x=-1处g′′(-1)=-6<0，为极大值点；在x=1处g′′(1)=6>0，为极小值点。因此函数在(-2,2)上有2个极值点。正确答案为C。3.函数h(x)=e^x-2x在(-∞,+∞)上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.无数解析：函数h(x)=e^x-2x的导数为h′(x)=e^x-2。令h′(x)=0，解得x=ln2。当x<ln2时，h′(x)<0，函数单调递减；当x>ln2时，h′(x)>0，函数单调递增。计算h(ln2)=e^ln2-2ln2=2-2ln2<0，且当x→-∞时h(x)→+∞，当x→+∞时h(x)→+∞。由零点存在性定理，函数在(-∞,ln2)和(ln2,+∞)上各有一个零点，共2个零点。正确答案为C。4.函数k(x)=sinx+cosx在区间(0,π/2)上的最大值为（）A.√2B.1C.π/2D.2解析：函数k(x)=sinx+cosx可化为√2sin(x+π/4)。在区间(0,π/2)上，x+π/4∈(π/4,3π/4)，sin(x+π/4)的最大值为1，因此k(x)的最大值为√2。正确答案为A。5.函数m(x)=xlnx-x在(0,1)上的值域为（）A.(-1,0)B.(-∞,0)C.(0,1)D.(-1,1)解析：函数m(x)=xlnx-x的导数为m′(x)=lnx+1-1=lnx。令m′(x)=0，解得x=1/e。当x∈(0,1/e)时，m′(x)<0，函数单调递减；当x∈(1/e,1)时，m′(x)>0，函数单调递增。计算m(1/e)=1/eln(1/e)-1/e=-1/e-1/e=-2/e，m(1)=0。因此函数在(0,1)上的值域为(-2/e,0)。正确答案为A。6.函数n(x)=x^3-3x^2+2在(-∞,+∞)上的拐点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数n(x)=x^3-3x^2+2的二阶导数为n′′(x)=6x-6=6(x-1)。令n′′(x)=0，解得x=1。计算三阶导数n′′′(x)=6，在x=1处n′′(x)由负变正，因此x=1为拐点。正确答案为B。7.函数p(x)=|x-1|+|x+1|在(-∞,+∞)上的最小值为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数p(x)=|x-1|+|x+1|分段为：当x<-1时，p(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；当-1≤x≤1时，p(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x>1时，p(x)=(x-1)+(x+1)=2x。在区间[-1,1]上，p(x)恒等于2，因此函数的最小值为2。正确答案为C。8.函数q(x)=x^2e^(-x)在(-∞,+∞)上的最大值为（）A.1/eB.2/e^2C.1D.e解析：函数q(x)=x^2e^(-x)的导数为q′(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=xe^(-x)(2-x)。令q′(x)=0，解得x=0或x=2。计算q(0)=0，q(2)=4e^(-2)=4/e^2。当x<0时，q′(x)<0，函数单调递减；当0<x<2时，q′(x)>0，函数单调递增；当x>2时，q′(x)<0，函数单调递减。因此函数在x=2处取得最大值4/e^2。正确答案为B。9.函数r(x)=sin^2x+cos^2x在(0,π)上的值域为（）A.(0,1)B.[0,1]C.(0,1]D.[0,1)解析：根据三角恒等式sin^2x+cos^2x=1，该函数恒等于1。但在(0,π)区间内不包括端点，因此值域为(0,1]。正确答案为C。10.函数s(x)=x/(x^2+1)在(-∞,+∞)上的值域为（）A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-1,1]D.[-1,1)解析：函数s(x)=x/(x^2+1)的导数为s′(x)=[(x^2+1)-2x^2]/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2。令s′(x)=0，解得x=±1。计算s(1)=1/(1+1)=1/2，s(-1)=-1/(1+1)=-1/2。当x→+∞或x→-∞时，s(x)→0。因此函数的值域为(-1/2,1/2)，即(-1,1)。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值与最小值之差为________。解：函数f(x)=x^3-3x+1的导数为f′(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f′(x)=0，解得x=-1和x=1。计算f(-2)=-8+6+1=-1，f(-1)=-1+3+1=3，f(1)=-1-3+1=-3，f(2)=-8+6+1=-1。因此最大值为3，最小值为-3，差值为6。参考答案：6。2.函数g(x)=e^x-x^2在(0,2)上的最小值点为________。解：函数g(x)=e^x-x^2的导数为g′(x)=e^x-2x。令g′(x)=0，解得x=ln2。计算g(0)=1，g(ln2)=e^ln2-2ln2=2-2ln2，g(2)=e^2-4。比较g(0)=1，g(ln2)=2-2ln2≈0.6137，g(2)=e^2-4≈4.3891。因此最小值点为x=ln2。参考答案：x=ln2。3.函数h(x)=sinx-cosx在(0,π/2)上的最大值为________。解：函数h(x)=sinx-cosx可化为√2sin(x-π/4)。在区间(0,π/2)上，x-π/4∈(-π/4,π/4)，sin(x-π/4)的最大值为1/√2，因此h(x)的最大值为√2/2。参考答案：√2/2。4.函数k(x)=xlnx在(1/e,1)上的值域为________。解：函数k(x)=xlnx的导数为k′(x)=lnx+1。在区间(1/e,1)上，lnx∈(-1,0)，k′(x)<0，函数单调递减。计算k(1/e)=1/eln(1/e)=-1/e，k(1)=1ln1=0。因此值域为(-1/e,0)。参考答案：(-1/e,0)。5.函数m(x)=x^3-6x^2+9x在(-∞,+∞)上的极值点个数为________。解：函数m(x)=x^3-6x^2+9x的导数为m′(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)。令m′(x)=0，解得x=1和x=3。计算二阶导数m′′(x)=6x-12，在x=1处m′′(1)=-6<0，为极大值点；在x=3处m′′(3)=6>0，为极小值点。因此有2个极值点。参考答案：2。6.函数n(x)=|x-1|+|x+1|在(-∞,+∞)上的最小值为________。解：函数n(x)=|x-1|+|x+1|分段为：当x<-1时，n(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；当-1≤x≤1时，n(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x>1时，n(x)=(x-1)+(x+1)=2x。在区间[-1,1]上，n(x)恒等于2，因此最小值为2。参考答案：2。7.函数p(x)=x^2e^(-x)在(0,1)上的最大值为________。解：函数p(x)=x^2e^(-x)的导数为p′(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=xe^(-x)(2-x)。在区间(0,1)上，x∈(0,1)，2-x∈(1,2)，p′(x)>0，函数单调递增。因此最大值出现在x=1处，p(1)=1^2e^(-1)=1/e。参考答案：1/e。8.函数q(x)=sinx+cosx在(0,π/2)上的值域为________。解：函数q(x)=sinx+cosx可化为√2sin(x+π/4)。在区间(0,π/2)上，x+π/4∈(π/4,3π/4)，sin(x+π/4)的取值范围为(√2/2,1]，因此q(x)的值域为(1,√2]。参考答案：(1,√2]。9.函数r(x)=x/(x^2+1)在(-1,1)上的最大值为________。解：函数r(x)=x/(x^2+1)的导数为r′(x)=[(x^2+1)-2x^2]/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2。在区间(-1,1)上，1-x^2>0，r′(x)>0，函数单调递增。因此最大值出现在x=1处，r(1)=1/(1+1)=1/2。参考答案：1/2。10.函数s(x)=x^3-3x^2+2在(0,2)上的值域为________。解：函数s(x)=x^3-3x^2+2的导数为s′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。在区间(0,2)上，x∈(0,2)，s′(x)<0，函数单调递减。计算s(0)=2，s(2)=-2。因此值域为(-2,2)。参考答案：(-2,2)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增。（）解：函数f(x)=x^3的导数为f′(x)=3x^2≥0，且仅在x=0处f′(x)=0，因此函数在(-∞,+∞)上单调递增。正确。参考答案：√。2.函数g(x)=sinx在(0,π)上存在极值点。（）解：函数g(x)=sinx的导数为g′(x)=cosx。令g′(x)=0，解得x=π/2。计算二阶导数g′′(x)=-sinx，在x=π/2处g′′(π/2)=-1<0，为极大值点。正确。参考答案：√。3.函数h(x)=e^x在(-∞,+∞)上存在极值点。（）解：函数h(x)=e^x的导数为h′(x)=e^x>0，因此函数在(-∞,+∞)上单调递增，不存在极值点。错误。参考答案：×。4.函数k(x)=x^2在(-1,1)上存在拐点。（）解：函数k(x)=x^2的二阶导数为k′′(x)=2。二阶导数恒不为0，因此函数不存在拐点。错误。参考答案：×。5.函数m(x)=|x|在(-1,1)上单调递减。（）解：函数m(x)=|x|分段为：当x∈(-1,0)时，m(x)=-x单调递增；当x∈(0,1)时，m(x)=x单调递增。因此函数在(-1,1)上单调递增。错误。参考答案：×。6.函数n(x)=xlnx在(0,1)上单调递减。（）解：函数n(x)=xlnx的导数为n′(x)=lnx+1。在区间(0,1)上，lnx<0，n′(x)<1，但n′(x)始终大于0，因此函数单调递增。错误。参考答案：×。7.函数p(x)=sin^2x在(0,π)上存在极值点。（）解：函数p(x)=sin^2x的导数为p′(x)=2sinxcosx=sinx。令p′(x)=0，解得x=π。计算二阶导数p′′(x)=cosx，在x=π处p′′(π)=-1<0，为极大值点。正确。参考答案：√。8.函数q(x)=x^3-3x+1在(-∞,+∞)上存在两个极值点。（）解：函数q(x)=x^3-3x+1的导数为q′(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令q′(x)=0，解得x=-1和x=1。计算二阶导数q′′(x)=6x，在x=-1处q′′(-1)=-6<0，为极大值点；在x=1处q′′(1)=6>0，为极小值点。正确。参考答案：√。9.函数r(x)=x/(x^2+1)在(-∞,+∞)上恒大于0。（）解：当x=0时，r(0)=0。因此函数不恒大于0。错误。参考答案：×。10.函数s(x)=x^3-6x^2+9x在(-∞,+∞)上单调递增。（）解：函数s(x)=x^3-6x^2+9x的导数为s′(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)^2。导数恒大于等于0，且仅在x=1处s′(x)=0，因此函数在(-∞,+∞)上单调递增。正确。参考答案：√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在(-2,2)上的单调区间有哪些？解：函数f(x)=x^3-3x+1的导数为f′(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f′(x)=0，解得x=-1和x=1。当x∈(-2,-1)时，f′(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时，f′(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数单调递增。单调递增区间为(-2,-1)和(1,2)；单调递减区间为(-1,1)。2.函数g(x)=e^x-x^2在(0,2)上的极值点有哪些？解：函数g(x)=e^x-x^2的导数为g′(x)=e^x-2x。令g′(x)=0，解得x=ln2。计算二阶导数g′′(x)=e^x-2，在x=ln2处g′′(ln2)=e^ln2-2=2-2=0，需进一步判断。当x∈(0,ln2)时，g′(x)<0，函数单调递减；当x∈(ln2,2)时，g′(x)>0，函数单调递增。因此x=ln2为极小值点。3.函数h(x)=sinx+cosx在(0,π/2)上的最大值是多少？解：函数h(x)=sinx+cosx可化为√2sin(x+π/4)。在区间(0,π/2)上，x+π/4∈(π/4,3π/4)，sin(x+π/4)的最大值为1，因此h(x)的最大值为√2。4.函数k(x)=x^3-3x^2+2在(-∞,+∞)上的拐点有哪些？解：函数k(x)=x^3-3x^2+2的二阶导数为k′′(x)=6x-6=6(x-1)。令k′′(x)=0，解得x=1。计算三阶导数k′′′(x)=6，在x=1处k′′(x)由负变正，因此x=1为拐点。5.函数m(x)=x/(x^2+1)在(-∞,+∞)上的值域是什么？解：函数m(x)=x/(x^2+1)的导数为m′(x)=[(x^2+1)-2x^2]/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2。令m′(x)=0，解得x=±1。计算m(1)=1/2，m(-1)=-1/2。当x→+∞或x→-∞时，m(x)→0。因此值域为(-1/2,1/2)。6.函数n(x)=|x-1|+|x+1|在(-∞,+∞)上的最小值是多少？解：函数n(x)=|x-1|+|x+1|分段为：当x<-1时，n(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；当-1≤x≤1时，n(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x>1时，n(x)=(x-1)+(x+1)=2x。在区间[-1,1]上，n(x)恒等于2，因此最小值为2。7.函数p(x)=x^2e^(-x)在(0,1)上的最大值是多少？解：函数p(x)=x^2e^(-x)的导数为p′(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=xe^(-x)(2-x)。在区间(0,1)上，x∈(0,1)，2-x∈(1,2)，p′(x)>0，函数单调递增。因此最大值出现在x=1处，p(1)=1^2e^(-1)=1/e。8.函数q(x)=sin^2x+cos^2x在(0,π)上的值域是什么？解：根据三角恒等式sin^2x+cos^2x=1，该函数恒等于1。但在(0,π)区间内不包括端点，因此值域为(0,1)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^2+10x+100（x为产量），求产量为多少时平均成本最低？解：平均成本函数为C(x)/x=x+10+100/x。求导数C′(x)/x=1-100/x^2。令C′(x)/x=0，解得x=10。计算二阶导数C′′(x)/x=200/x^3，在x=10处C′′(10)=200/1000=0.2>0，因此x=10时平均成本最低。最低平均成本为10+10+100/10=30。2.某商品的需求函数为p=50-2q（p为价格，q为销量），求边际收益函数并求销量为10时的边际收益。解：收益函数R(q)=pq=50q-2q^2。边际收益函数为R′(q)=50-4q。当q=10时，边际收益为R′(10)=50-410=10。3.某物体做直线运动，位移函数为s(t)=t^3-6t^2+9t，求速度函数和加速度函数，并求t=2时的速度和加速度。解：速度函数v(t)=s′(t)=3t^2-12t+9。加速度函数a(t)=v′(t)=6t-12。当t=2时，v(2)=32^2-122+9=3，a(2)=62-12=0。4.某公司生产某种产品，固定成本为1000元，可变成本为每件10元，售价为每件20元，求边际利润函数并求销量为50时的利润。解：成本函数C(q)=1000+10q。收益函数R(q)=20q。利润函数L(q)=R(q)-C(q)=10q-1000。边际利润函数为L′(q)=10。当q=50时，利润为L(50)=1050-1000=0。5.某函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，求证f(x)=x在[0,1]上成立。证明：假设存在x∈(0,1)，使得f(x)≠x。由f(x)单调递增，若f(x)>x，则f(1)>1，矛盾；若f(x)<x，则f(0)<0，矛盾。因此f(x)=x在[0,1]上成立。6.某函数g(x)在区间(-1,1)上满足g(x)=x^3，求证g(x)在(-1,1)上单调递增。证明：函数g(x)=x^3的导数为g′(x)=3x^2≥0，且仅在x=0处g′(x)=0，因此g(x)在(-1,1)上单调递增。7.某函数h(x)在区间(0,2)上满足h(x)=xlnx，求证h(x)在(0,1)上单调递减。证明：函数h(x)=xlnx的导数为h′(x)=lnx+1。在区间(0,1)上，lnx<0，h′(x)<1，但h′(x)始终大于0，因此h(x)在(0,1)上单调递增。8.某函数k(x)在区间(-∞,+∞)上满足k(x)=e^(-x^2)，求证k(x)在(0,1)上存在唯一极值点。证明：函数k(x)=e^(-x