2025-2026年福建省湘教版高中数学概率统计专项练习题

2025-2026年福建省湘教版高中数学概率统计专项练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某次篮球比赛中，甲队和乙队进行一场比赛，比赛规则为先胜3场的队伍获胜。已知甲队每次投篮命中的概率为0.6，乙队每次投篮命中的概率为0.7，且每次投篮命中与否相互独立。现假设比赛在甲队和乙队各胜1场后进入决胜局，求甲队最终获胜的概率。A.0.36B.0.42C.0.54D.0.64解析：甲队最终获胜的情况有两种：甲队连赢两场或甲队先赢一场再输一场后连赢两场。甲队连赢两场的概率为0.6×0.6=0.36；甲队先赢一场再输一场后连赢两场的概率为0.6×0.4×0.7×0.7=0.1176。因此，甲队最终获胜的概率为0.36+0.1176=0.4776，最接近选项C。2.某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有60名学生喜欢阅读科幻小说。现用样本估计总体，若用频率估计概率，则估计该校学生喜欢阅读科幻小说的概率约为多少？A.0.56B.0.60C.0.64D.0.70解析：样本中喜欢阅读科幻小说的学生比例为60/100=0.60，因此用频率估计概率，该校学生喜欢阅读科幻小说的概率约为0.60，即选项B。3.已知某随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，求n和p的值。A.n=10,p=0.6B.n=12,p=0.5C.n=9,p=0.7D.n=8,p=0.75解析：根据二项分布的性质，E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=3。联立方程组解得n=10，p=0.6，即选项A。4.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机抽取5名学生参加活动，求抽到的5名学生中恰好有3名男生和2名女生的概率。A.0.15B.0.20C.0.25D.0.30解析：从50名学生中抽取5名学生的总情况数为C(50,5)，抽到3名男生和2名女生的情况数为C(30,3)×C(20,2)。因此，所求概率为[C(30,3)×C(20,2)]/C(50,5)=0.25，即选项C。5.已知某随机变量X的分布列为：X0123P0.10.20.30.4求随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)。A.E(X)=1.8,D(X)=1.56B.E(X)=2.0,D(X)=1.44C.E(X)=1.6,D(X)=1.24D.E(X)=1.9,D(X)=1.64解析：E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=1.8，D(X)=(0-1.8)²×0.1+(1-1.8)²×0.2+(2-1.8)²×0.3+(3-1.8)²×0.4=1.56，即选项A。6.某城市每天发生交通事故的概率为0.005，现统计该城市连续7天的交通事故发生情况，求这7天中至少发生1次交通事故的概率。A.0.0414B.0.0563C.0.0573D.0.0643解析：7天中至少发生1次交通事故的概率为1-7天都不发生交通事故的概率=1-(1-0.005)⁷≈0.0414，即选项A。7.已知某校男生身高X服从正态分布N(170,10²)，现随机抽取一名男生，求该男生身高超过180cm的概率。A.0.0228B.0.0456C.0.0548D.0.0596解析：P(X>180)=P(Z>(180-170)/10)=P(Z>1)=1-0.8413=0.1587，即选项C。8.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现该射手连续射击3次，求恰好命中2次的概率。A.0.128B.0.256C.0.384D.0.512解析：该射手连续射击3次恰好命中2次的概率为C(3,2)×0.8²×(1-0.8)=0.384，即选项C。9.已知某随机变量X的分布函数为F(x)，求随机变量X的数学期望E(X)的表达式。A.E(X)=∫[0,∞]xF(x)dxB.E(X)=∫[-∞,∞]xf(x)dxC.E(X)=∫[0,1]xF(x)dxD.E(X)=∫[0,1]xf(x)dx解析：根据数学期望的定义，E(X)=∫[-∞,∞]xf(x)dx，即选项B。10.某班级有10名男生和10名女生，现要随机分成两组，每组5人，求两组中男生人数相等的概率。A.0.125B.0.25C.0.375D.0.5解析：从20名学生中随机分成两组，每组5人的总情况数为C(20,5)×C(15,5)，两组中男生人数相等的情况数为C(10,2)×C(10,3)×C(8,2)×C(7,3)。因此，所求概率为[C(10,2)×C(10,3)×C(8,2)×C(7,3)]/[C(20,5)×C(15,5)]=0.375，即选项C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若某随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=3，D(X)=1.2，则np=______。参考答案：3解析：根据二项分布的性质，E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=1.2。联立方程组解得np=3。2.已知某随机变量X的分布列为：X123P0.20.50.3则P(X≤2)=______。参考答案：0.7解析：P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.5=0.7。3.若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X<μ-σ)=0.1587，则P(X>μ+σ)=______。参考答案：0.1587解析：正态分布的对称性可知，P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ)=0.1587。4.已知某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现该射手连续射击4次，求至少命中3次的概率。参考答案：0.4116解析：至少命中3次的概率为C(4,3)×0.7³×(1-0.7)+C(4,4)×0.7⁴=0.4116。5.若某随机变量X的分布函数为F(x)，则P(a<X≤b)=______。参考答案：F(b)-F(a)解析：根据分布函数的定义，P(a<X≤b)=F(b)-F(a)。6.已知某随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=1，则随机变量Y=3X-4的数学期望E(Y)和方差D(Y)分别为______和______。参考答案：2,9解析：根据数学期望和方差的性质，E(Y)=3E(X)-4=2，D(Y)=9D(X)=9。7.若某随机变量X服从泊松分布P(λ)，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=______。参考答案：2解析：根据泊松分布的性质，P(X=k)=λ^k/e^λ/k!。由P(X=1)=P(X=2)可得λ=2。8.已知某班级有30名男生和20名女生，现要随机抽取5名学生，求抽到的5名学生中男生人数不少于3人的概率。参考答案：0.634解析：抽到的5名学生中男生人数不少于3人的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.634。9.若某随机变量X的分布列为：X-101P0.20.50.3则E(X²)=______。参考答案：0.55解析：E(X²)=(-1)²×0.2+0²×0.5+1²×0.3=0.55。10.已知某随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X=c)=______。参考答案：F(c)-F(c-)解析：根据分布函数的定义，P(X=c)=F(c)-F(c-)，其中F(c-)表示X在c处左极限。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若某随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的取值范围是{0,1,2,...,n}。（√）解析：二项分布的随机变量X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，因此X的取值范围是{0,1,2,...,n}。2.若某随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)是单调不减的。（√）解析：根据分布函数的定义，F(x)是单调不减的，且满足0≤F(x)≤1。3.若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则X的分布函数是连续的。（√）解析：正态分布的分布函数是连续的，且是光滑曲线。4.若某随机变量X的数学期望E(X)存在，则X的方差D(X)也存在。（√）解析：根据方差的定义，D(X)=E[(X-E(X))²]，因此若E(X)存在，则D(X)也存在。5.若某随机变量X服从泊松分布P(λ)，则E(X)=D(X)=λ。（√）解析：根据泊松分布的性质，E(X)=D(X)=λ。6.若某随机变量X和Y相互独立，且X服从二项分布B(n,p)，Y服从二项分布B(m,p)，则X+Y服从二项分布B(n+m,p)。（√）解析：根据二项分布的性质，若X和Y相互独立，且X服从二项分布B(n,p)，Y服从二项分布B(m,p)，则X+Y服从二项分布B(n+m,p)。7.若某随机变量X的分布列为：X012P0.20.50.3则X的数学期望E(X)为0.9。（×）解析：X的数学期望E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1，因此X的数学期望E(X)不为0.9。8.若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则X的分布函数关于x=μ对称。（√）解析：正态分布的分布函数关于x=μ对称。9.若某随机变量X的方差D(X)为0，则X的数学期望E(X)也为0。（×）解析：根据方差的定义，D(X)=E[(X-E(X))²]，若D(X)=0，则X的数学期望E(X)为常数，不一定为0。10.若某随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ,σ²)，Y服从正态分布N(μ,σ²)，则X+Y服从正态分布N(2μ,2σ²)。（×）解析：根据正态分布的性质，若X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ,σ²)，Y服从正态分布N(μ,σ²)，则X+Y服从正态分布N(2μ,2σ²)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述二项分布的定义及其性质。参考答案：二项分布是指n次独立重复试验中事件A发生的次数的分布，记作B(n,p)。其性质包括：（1）每次试验只有两种结果：事件A发生或事件A不发生；（2）每次试验是相互独立的；（3）每次试验事件A发生的概率相同；（4）E(X)=np，D(X)=np(1-p)。2.简述正态分布的定义及其性质。参考答案：正态分布是指随机变量X的取值服从正态分布的分布，记作N(μ,σ²)。其性质包括：（1）正态分布的密度函数是关于x=μ对称的；（2）正态分布的数学期望为μ，方差为σ²；（3）正态分布的分布函数是连续的；（4）标准正态分布的数学期望为0，方差为1。3.简述泊松分布的定义及其性质。参考答案：泊松分布是指随机变量X的取值服从泊松分布的分布，记作P(λ)。其性质包括：（1）泊松分布是描述在固定时间间隔内事件发生次数的分布；（2）泊松分布的数学期望为λ，方差为λ；（3）泊松分布适用于描述稀有事件在大量试验中发生的次数。4.简述数学期望的定义及其性质。参考答案：数学期望是指随机变量X的加权平均值，记作E(X)。其性质包括：（1）E(aX+b)=aE(X)+b；（2）若X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；（3）E(X²)=D(X)+[E(X)]²。5.简述方差的定义及其性质。参考答案：方差是指随机变量X的离散程度的度量，记作D(X)。其性质包括：（1）D(X)=E[(X-E(X))²]；（2）D(aX+b)=a²D(X)；（3）若X和Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。6.简述分布函数的定义及其性质。参考答案：分布函数是指随机变量X的取值不大于x的概率，记作F(x)。其性质包括：（1）F(x)是单调不减的；（2）F(x)是右连续的；（3）F(-∞)=0，F(+∞)=1。7.简述独立性的定义及其性质。参考答案：独立性是指随机变量X和Y之间没有相互影响，记作X和Y相互独立。其性质包括：（1）若X和Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y)；（2）若X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；（3）若X和Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。8.简述条件概率的定义及其性质。参考答案：条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率，记作P(A|B)。其性质包括：（1）P(A|B)=P(AB)/P(B)；（2）P(A|B)≤1；（3）P(A|B)=P(A)若A和B相互独立。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现该射手连续射击5次，求恰好命中3次的概率。参考答案：C(5,3)×0.7³×(1-0.7)=0.3087解析：该射手连续射击5次恰好命中3次的概率为C(5,3)×0.7³×(1-0.7)=0.3087。2.某班级有30名男生和20名女生，现要随机抽取5名学生，求抽到的5名学生中男生人数不少于3人的概率。参考答案：C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.634解析：抽到的5名学生中男生人数不少于3人的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.634。3.若某随机变量X的分布列为：X-101P0.20.50.3求E(X)和D(X)。参考答案：E(X)=-0.1,D(X)=0.49解析：E(X)=-1×0.2+0×0.5+1×0.3=-0.1，D(X)=(-1+0.1)²×0.2+(0+0.1)²×0.5+(1+0.1)²×0.3=0.49。4.若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X<μ-σ)=0.1587，求P(X>μ+σ)。参考答案：0.1587解析：根据正态分布的对称性，P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ)=0.1587。5.若某随机变量X服从泊松分布P(λ)，且P(X=1)=P(X=2)，求λ。参考答案：2解析：根据泊松分布的性质，P(X=1)=λ/e=0.3679，P(X=2)=λ²/(2e)=0.4472。由P(X=1)=P(X=2)可得λ=2。6.若某随机变量X的分布函数为F(x)，且F(x)=0.2当x=0，F(x)=0.8当x=2，求P(0<X≤2)。参考答案：0.6解析：P(0<X≤2)=F(2)-F(0)=0.8-0.2=0.6。7.若某随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=1，求随机变量Y=3X-4的数学期望E(Y)和方差D(Y)。参考答案：E(Y)=2,D(Y)=9解析：根据数学期望和方差的性质，E(Y)=3E(X)-4=2，D(Y)=9D(X)=9。8.若某随机变量X和Y相互独立，且X服从二项分布B(n,p)，Y服从二项分布B(m,p)，求X+Y的分布列。参考答案：X+Y服从二项分布B(n+m,p)解析：根据二项分布的性质，若X和Y相互独立，且X服从二项分布B(n,p)，Y服从二项分布B(m,p)，则X+Y服从二项分布B(n+m,p)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.A4.C5.A6.A7.C8.C9.B10.C二、填空题1.32.0.73.0.15874.0.41165.F(b)-F(a)6.2,97.28.0.6349.0.5510.F(c)-F(c-)三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.×四、简答题1.二项分布是指n次独立重复试验中事件A发生的次数的分布，记作B(n,p)。其性质包括：每次试验只有两种结果：事件A发生或事件A不发生；每次试验是相互独立的；每次试验事件A发生的概率相同；E(X)=np，D(X)=np(1-p)。2.正态分布是指随机变量X的取值服从正态分布的分布，记作N(μ,σ²)。其性质包括：正态分布的密度函数是关于x=μ对称的；正态分布的数学期望为μ，方差为σ²；正态分布的分布函数是连续的；标准正态分布的数学期望为0，方差为1。3.泊松分布是指随机变量X的取值服从泊松分布的分布，记作P(λ)。其性质包括：泊松分布是描述在固定时间间隔内事件发生次数的分布；泊松分布的数学期望为λ，方差为λ；泊松分布适用于描述稀有事件在大量试验中发生的次数。4.数学期望是指随机变量X的加权平均值，记作E(X)。其性质包括：E(aX+b)=aE(X)+b；若X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；E(X²)=D(X)+[E(X)]²。5.方差是指随机变量X的离散程度的