《高等数学（上册）》教案 第5课 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质

函数的连续性、闭区间上连续函数的性质第；■课

课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质

课时2课时(90min)

知识技能目标：

(1)掌握连续函数的概念。

(2)能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。

(3)理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间.

教学目标(4)理解闭区间上连续函数的性质。

思政育人目标：

通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，

是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思

考的良好三惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力

教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断

教学重难点

教学难点：计算函数的连续区间

教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法

教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

第1节课：考勤(2min)一知识讲解(35min)一问题讨论(10min)

教学设计第2节课：知识讲解(20min)一问题讨论(10min)照(10min)一课堂小

结(5min)

教学过程主要教学内容及步骤设计意图

第一节课

■【教师】清点上课人数，记录好考勤培养学生的组

考勤织纪律性，掌握学

(2min)■【学生】班干部报请假人员及原因生的出勤情况

学习连续函数

■【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用

的概念、函数间断

知识讲解案例［平直内曲线］在坐标平面内画一连续曲线y=/。)，点的分类。边做边

(35min)如图1-27所示.在坐标平面内画间断曲线,=5(人)，如图讲，及时巩固练

1-28所示.习，实现教学做一

体化

版课函数的连续性、闭区间上连褰函数的性质

第

分析对比两个图形，我们发现：对于y=/(x),当自变量

x的改变量Arf0时，函数相应的改变量△)，-0,如图1-27

所示；对于y=g(x),当自变量X的改变量八Yf。时，函数

相应的改变量Ay不能够无限变小，如图1-28所示.于是我

们可以用增量来定义函数的连续性.

定义1设函数)，=/(“)在点・%的某个邻域内有定义，如果

limAy=lim[/(A-+Av)-/(x)]=0,

At-»0Ar->000

则称函数/(x)在点/处连续.

若记x=贝=相应地函数/*)的增量

△v=/(x)-/(%)•当以―>0，即人->多时，A>1—>0,

/(-V)-1/(.0)-。，也即/(-v)7/(-r0).

因此，函数y=/(x)在点x=处连续的定义也可表述如下:

定义1'设函数)，=/(用在/点的某一个邻域内有定义，若

limf(x)=f(x0)，则称函数/5)在/点连续.

由函数)=fix)在/点连续的定义可知，函数/(幻在X。点

连续，必须同时满足下面三个条件：

(1)/(X)在点有定义；

(2)极限值limf(x)存在；

(3)极限值lim/(X)恰好等于/(%)在该点的函数值,即

XT厢

2

函数的连续性、闭区间上连续函数的性质第；■课

lim/(x)=/&)).

*T.%

若/CV)=Hm/(x)存在且等于/(x0),则称函数)，=/(x)

在/点右连续;若f(汇)=lim/(x)存在且等于/(X。)，则

称函数)，=/(X)在玉)点左连续.

定理1函数)，=/(x)在/点连续0函数)，=/(x)在点

左右连续.

例1证明函数/(©=/+1在1=1处连续.

证明一f(x)=x2+1的定义域为R,所以/(x)在/=1的某

邻域有定义.

当自变量在x=l处有改变量Ar时，

Ay=(l+Zlr)2+1-(12+l)=24x-+(W,

因此，limAy=lim[2Av+(Ax)2]=0,所以f(x)在x=l处

AKTOAV->0

连续.

证明二fM=x2+\的定义域为R,所以/(x)在/=1的某

邻域有定义，

limf(x)=lim，+1)=2,

X->1X->1

即xf1时/(x)的极限值为2.而/(I)=俨+1=2=lim/(x),

.V->1

即极限值等于函数在该点的函数值，所以/(X)在工=1处连

续.

丫342丫0

例2讨论函数/(幻='…'在点式=0的连续

T+2,x<0

性.

解因为

版课函数的连续性、闭区间上连褰函数的性质

第

+(炉+，

/(0)=lim4/(x)=lim2)=2=/(0)

.r->0XTO'

/(0一)=limf(x)=lim(—x+2)=2=/(O),

XT)-XT。-

所以/a)在x=O点左右连续，故/(x)在点x=O处连续.

函数在一点连续的定义，可以推广到区间上.

定义2如果一个函数在某区间(4,㈤内的每一点处都连续，

则称这个函数在区间(4,份内连续，或称其为区间(。，〃)内

的连续函数.如果函数y=/(x)在(〃")内连续，且Q点右

连续，b点左连续，则称函数八幻在闭区间［a,用上连续.

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.

■【学生】掌握连续函数的概念

■【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用

如果》'=/(X)在点方处不连续，则称点犬=/0是函数/(X)的

间断点.

由y=/(X)在X=%)处连续的定义知，如果/(X)在玉)处有以

下三种情况之一，则/(X)在X。处间断：

(1)y=/(%)在点与处无定义；

(2)xf与时lim/(x)不存在；

(3)函数值/(x0)和极限值limf(x)都存在，但

limf(x)/(x0).

例如，函数人外=一!一在点x=-l处没有定义，x=T就是

X+1

函数八此=一!一的一个间断点.如果不考虑函数/。)在与

X+1

是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类.

4

函数的连续性、闭区间上连续函数的性质第；■课

设函数y=f(x)在点儿处间断，但在点.”的左右极限/(V)

与/(%+)均存在，则称与为/(幻的第一类间断点，其中：

(1)若/(%+)=/(4)，即极限lim/G)存在,则称点与是

f(x)的可去间断点.

(2)若/(%+)♦.〃为「),即极限不存在，则称点与

是f(x)的跳跃间断点.

设函数y=.f(x)在点与处间断，若在点的左右极限/(七一)

与/(m,)至少有一个不存在，则称/为了(幻的第二类间断

点，其中：

(1)若/(•<)与/(/+)至少有一个为无穷大，则称点与是

/(冷的无穷间断点.

(2)若limf(x)振荡性地不存在,则称点/是/(x)的振荡

间断点.

x+1,x>0,

例3函数/*)={(),x=0,在点x=0处有定义，且

-X+1,XV0

/(0)=0.但由于/((T)=lim(x+l)=l,

/(O)=lim(-x+l)=l,/(0+)=/(0~)=1^/(0)=0,故

ir

x=0是函数/(幻的可去间断点，如图1-29所示.

但如果将函数/(外在x=0的定义改为/(0)=1,则函数在

x=0点连续.由此可见，如果函数/Q)在几点是可去间断

点，可通过补充或改变f(x)在点的函数值，使f(x)在几点

连续.

1,x>0,

例4符号函数/*)=sgnx=«0,x=0,在点x=0处有

-1,x<0

定义，且/(0)=0.但由于/(0+)=liml=l,

第5课函数的连续性、闭区间上连履函数的性质

/(O)=lim(-1)=-1,即/(0-)和/(0-)都存在但不相等，

故x=0是函数/(幻的跳跃间断点，如图1-30所示.

图1-29图1-30

例5函数y=L在点x=0处无定义，由于/(()')=+»,

X

/(()-)=-8,故x=O是函数y=।的无穷间断点，如图131

X

所示.

例6函数y=sin，在点x=0处无定义，取工”=-------，

x2〃兀一四

2

X；=----------(77=1,2,当〃―8时，-0,X：f0,

2"

2

但)=sin；2〃兀=,/(X：)=sin[2〃兀+])=1,即

当xfO时，函数sin，值在-1与+1之间变动无限多次.故

x

x=0是函数sin，的振荡间断点，如图1-32所示.

x

6

函数的连续性、闭区间上连续函数的性质第；■课

图1-31图1-32

例7判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判别间断

点的类型：

sinx八

(1)=X''在点x=0处：

e'+1,x...0

r2-]

(2)/«=--------在点内=1和9=2处.

•X3»v+2

解(1)函数/(幻在点x=0处有定义，且/(0)=2.但

sinY

/(0-)=lim--=1,/(0+)=lim(er+l)=2,

K-MTXx->0+

/(O')w〃(T),故x=0为函数/(x)的跳跃间断点，属于第

一类间断点.

(2)/(©=在型"毛=2处无

定义，故石=1,9=2是“X)的间断点.

_r+1

由于lim/(x)=lim----=-2,故$=1是f(x)的可去间断

工f人Tx—2

点，属于第一类间断点.

r4-1

由于lim=---=8,故％=2是f(x)的无穷间断

XT2-V->2X—2

点，属于第二类间断点.

■【学生】掌握函数间断点的分类

■【教师】组织学生讨论以下问题

通过课堂讨论，

问题讨论1.函数/")在点X。处有定义、有极限、连续三个结论有什活跃课堂气氛，力口

(10min)么区别与联系.深学生对知识点

的理解

2.若函数f(x)在点与处无定义，则凡点是函数/(幻的第一

第5课函数的连续性、闭区间上连履函数的性质

类间断点，还是第二类间断点？

3.分段函数/(幻=［，3''…"'在分段点一定是间

h(x)，x<a

断点吗？

■【学生】讨论、发言

第二节课

■【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题讲解介绍其应用

1.连续函数的和、差、积、商的连续性

根据函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得下

面的定理.

定理2设函数和g(x)在点与连续，则它们的和、差、

积、商都在点见连续.

例如，由于sinx,cosx在(-oo,+oo)上的每一点都连续，故

sinxcosx

tanx="-即cotx=—在其各自定义域上每一点都是

cos尤sinx

学习初等函数

连续的.

的连续性.闭区间

知识讲解2.初等函数的连续性上连续函数的性

(20min)利用函数连续的定义和性质可以证明：六种基本初等函数在质。边做边讲，及

其定义域上都是连续的.时巩固练习，实现

教学做一体化

由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合

而得到的函数，函数的连续性对四则运算和复合运算是封闭

的，所以我们又有结论：

所有初等函数在其定义区间上都是连续的.

根据这一结论，求初等函数在其定义域内某点的极限时，只

要求出该点的函数值即可.

例8求1加三士野二也.

76一3

解由于该函数是初等函数，且在x=4处有定义，故由初等

8

函数的连续性、闭区间上连续函数的性质第；■课

函数的连续性可以得出

e'+cos(4-x)e4+cosO,

lim-------f=----------=-------------=-e4-1.

2-3

1

例9求lim(l+x)sinx.

XTO

解因为y=e'在(T»,+8)上连续，y=lnx在(O,+8)连

续，故

_L1［高

lim(l+x)sinx=lim|(l+x)A］=limeln|<1''''1

XT(；XTO

11

X-x"

linln(l+.v)Alim——Inlim(l4.r)x....

—g.r-<o$inx-gA>o$inxr->o__gllnc_g1'_Q

结论一般地，对形如y=z/(x)v(r)(u(x)>O,u(x)工1)的某指

函数，如果lim〃(x)=a>0,limv(x)=b,则

XT."MT与

出口心严二心

x->7>

3.反函数的连续性

定理3如果函数y=/(x)在区间5，句上单调递增(或递

减)且连续，那么它的反函数)，=.广1(工)也在对应的区间上

单调递增〔或递减)且连续.

4.复合函数的连续性

定理4设函数y=/［g(x)］是由函数)=/(〃)与函数

u=g(x)复合而成的，〃(.%)在复合函数)的定义域

内.若函数〃=g(x)在x=连续，且8(%))=〃0,而函数

y=/(〃)在〃=%连续，则复合函数)，=/［g(x)］在犬=%也

连续.

例10求］皿处由.

D%

版课函数的连续性、闭区间上连褰函数的性质

第

Inf1+%)--1

解lim————=limln(l+x)x=Inlim(l+x)x=Ine=1.

XTOxx->0XTO

6'_1

例11求lim^-

1。X

本题可通过变量替换转化为例10求出结果.

解令，=/一1,则x=ln(l+f),且x-0时，有7-0,

故

..ev—1.t

lim--------=hm------------=1.

x-»oxr->oln(l+r)

由例10和例11我们又得到几个等价无穷小量公式，即

ln(l+x)~x(x-0)：e'-1~.r(.r—>0).

■【学生】理解初等函数的连续性，学会计算函数的连续区间

■【教师】讲解闭区间上连续函数的性质，并通过例题讲解介绍

其应用

定理1(有界性)若函数/(X)在闭区间［。，句上连续，则

/*)在侬，口上有界.

定理1是指如果“X)在［也句上连续，则小/>0,对［a,勿,

使1/(切,，

定理2(最大值与最小值)若函数在闭区间［4,勿上

连续，则在［。，句上一定能取得最大值与最小值.

定理2是指，如果/*)在口，句上连续，则在［a,用上至少

存在一点。，使得/©)是/(人)在［a,。］上的最大值，即

Vxe［a,b］,，(X),,/(《)；同样在［a,勿上至少存在一点2，

使得/'©)是7M在［。方］上的最小值，即VXG［6/,Z?］,

/(x).../(^2),如图1-33所示.

10

函数的连续性、闭区间上连续函数的性质第；■课

图1-33

如果/*0)=0，则称/点为函数/(X)的零点.

定理3(零点定理)设函数/*)在闭区间m，6上连续，

且/(〃)•/(〃)V。，则至少存在一点彳£(4,份，使得

定理4(介值定理)设函数/(%)在闭区间他，勿上连续，

旦/(«)*f(b),则在/(a)与f(b)之间的任意一个常数C，

至少存在一点自£(々，〃)，使得/C)=C.

介值定理的几何意义是连续曲线)，=/(不)与水平直线)，=C

在(。，加内至少有一个交点，如图1-36所示.

推论若函数/(处在闭区间他，勿上连续，”和M分别为

f(x)在[。，句上的最小值与最大值,则对介于〃?和M之间

的任一实数C，至少存在一点使得一c.

设〃Z=/(A),M=/(^2),,在闭区间K，/](或

[%,$])上应用介值定理，即得上述推论.

例1证明方程V+2x—1=0在(0,1)上至少有一个实根.

第5课函数的连续性、闭区间上连履函数的性质

分析本例实际上是证明函数/(x)=x2+2x-1ft(0,1)±

存在零点.

证明设/(力=/+2..1,显然/(x)在［0,1］上连续，且

/(0)=-1,/(1)=2,/(0)./(I)<0.由零点定理知，在(0,1)

至少存在一个久使得/O=0,即。2+24-1=0.所以J

足方程9十2一1一0的实根.

■【学生】理解闭区间上连续函数的性质

■【教师】组织学生讨论以下问题

1.举几个非初等函